Задача №2739: Основная теорема арифметики (ОТА) — Каталог задач по ЕГЭ - Математика — Школково

Тема 19. Задачи на теорию чисел

19.05 Основная теорема арифметики (ОТА)

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи на теорию чисел

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#2739

Известно, что $n ∈ ℕ$ . Может ли число $n(n + 1)$ быть степенью натурального числа (полным квадратом, кубом и т.д.)?

Показать ответ и решение

Пусть $n(n + 1 ) = km$ .

Так как числа $n$ и $n + 1$ взаимно просты, то число $n$ само представимо в виде

n = am, a ∈ ℕ

а число $n + 1$ представимо в виде

m n + 1 = b , b ∈ ℕ

Тогда $b > a$ и имеем:

1 = (n + 1) − n = bm − am = (b − a)(bm− 1 + bm −2a + ...+ bam −2 + am− 1)

Отсюда

bm− 1 + bm −2a + ...+ bam −2 + am −1 = 1

что невозможно при условии

m ≥ 2, a ∈ ℕ, b > a

Следовательно, наше предположение неверно и $n (n + 1)$ не может быть степенью натурального числа.

Ответ: Нет

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse