а) Докажем, что после операции сумма чисел в таблице не изменяется. Будем называть «соседними» те клетки, которые граничат с выбранной клеткой по стороне.

Если у выбранной клетки было соседних клеток, а сумма всех чисел в таблице была равна то после уменьшения чисел в соседних клетках на 1 сумма чисел во всей таблице стала равняться Тогда после увеличения числа в выбранной клетке на сумма чисел во всей таблице снова стала равняться

Изначально сумма чисел в таблице была равна Значит, после любого количества операций она останется равной 45.

б) Да, так могло получиться, если в первой строчке стояли числа 1, 5, 8. Во второй — числа 2, 3, 4. В третьей — числа 6, 7, 9. Тогда полученное число равно

в) В таблицу расставлено 9 натуральных чисел, значит, одно из них хотя бы 9. Будем вести перебор по наименьшему значению наибольшего числа.

Пусть можно расставить натуральные числа от 1 до 9 так, как это сказано в условии. Рассмотрим эту расстановку. Обратим внимание на число 7. Так как оно присутствует в таблице, то произведение хотя бы в одном столбце делится на 7. Значит, произведение чисел в любом столбце и в любой строке делится на 7. Заметим, что в таблице всего одно число, которое делится на 7, следовательно, в двух столбцах из трех нет числа, которое делится на 7. Тогда произведение в них не делится на 7. Противоречие. Значит, либо должно быть хотя бы три числа, которые делятся на 7, либо их не должно быть вовсе. Если такие три числа есть, то в таблице точно есть число не меньше 21. Пусть в таблице нет чисел, которые делятся на 7.

Пусть можно расставить натуральные числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 так, как это сказано в условии. Рассмотрим эту расстановку. Обратим внимание на числа 5 и 10. Так как они присутствуют в таблице, то произведение хотя бы в одном столбце делится на 5. Значит, произведение чисел в любом столбце и в любой строке делится на 5. Заметим, что в таблице всего два числа, которые делятся на 5, следовательно, в каком-то из трех столбцов нет числа, которое делится на 5. Тогда произведение в нем не делится на 5. Противоречие. Значит, либо должно быть хотя бы три числа, которые делятся на 5, либо их не должно быть вовсе. Если такие три числа есть, то в таблице точно есть число не меньше 15.

Пусть в таблице нет чисел, которые делятся на 5. Тогда оценим наименьшее значение наибольшего числа в таблице, взяв девять самых маленьких натуральных чисел, которые мы можем брать. Значит, в таблице расставлены числа 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 12.

Заметим, что с числом 11 можно провести рассуждения, аналогичные рассуждениям с 7. Тогда либо в таблице есть число не меньше 33, либо нет чисел кратных 11.

Если таких чисел нет, то минимальные девять чисел это 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 13. Но с 13 можно провести аналогичные 7 рассуждения. Тогда минимальное возможное наибольшее число равно 15, потому что если есть число 14, то есть и число не меньше 21. Но 15 делится на 5, значит, среди чисел таблицы есть еще числа 5 и 10.

Тогда произведение в каждом столбце и строке должно делиться на 5. Для этого поставим числа 5, 10 и 15 в клетки одной из диагоналей. Тогда произведение в столбцах и строках должно делиться на 10 и на 15, то есть на 30.

Тогда будем пробовать строить пример на произведение, кратное 30. Для произведения 120 получим следующую расстановку: