а) Покажем как переместить ровно четыре камня из третьей коробки в четвертую:

б) Рассмотрим разность числа камней в четвертой и первой коробках. Пусть в первой сейчас камней, в четвертой камней. Тогда разность равна . Если мы переложим три камня в первую коробку, то разность будет равна . Если мы переложим три камня во вторую коробку, то разность будет равна . Если мы переложим три камня в третью коробку, то разность будет равна . Если мы переложим три камня в четвертую коробку, то разность будет равна . Мы получили, что после любой операции разность либо изменяется на 4, либо остается прежней, то есть после любых операций разность должна измениться на число, кратное 4. Тогда, если в четвертой коробке после некоторых операций могли оказаться все камни (их всего ), то в конце разность должна быть равна . Изначально разность была равна , значит, она изменилась на . 487 не делится на 4, значит, в четвертой коробке не могли оказаться 366 камней.

в) Аналогично предыдущему пункту мы можем доказать, что разность между любыми двумя коробками может измениться только на число, кратное 4. Тогда посмотрим на изначальную разность между первой и второй коробками. Она равна . Разность между третьей и второй равна . Тогда, если в первой коробке после всех операций не оказалось камней, то во второй и в третьей коробках лежит хотя бы по 1 и 2 камня соответственно, то есть в первых трех коробках есть хотя бы 3 камня. Если в первой один камень, то во второй есть хотя бы 2 камня, то есть количество камней хотя бы 3. Если в первой коробке 2 камня, то во второй коробке есть хотя бы 3 камня, то есть количество камней в первых трех коробках не меньше 5. Если в первой коробке есть хотя бы 3 камня, то в первых трех коробках уже точно есть хотя бы 3 камня.

Значит, в четвертой коробке не больше 363 камней. Покажем как можно добиться этого. Переложим из третьей коробки 120 камней в четвертую с помощью операций из пункта а). Получим ситуацию .

Теперь аналогично будем перекладывать по 4 камня из второй коробки в четвертую:

С помощью таких операций переложим 116 камней. Получим ситуацию . Теперь аналогично будем перекладывать по 4 камня из первой коробки в четвертую:

С помощью таких операций переложим 116 камней. Получим ситуацию .

Далее так:

Пусть , тогда .

Вот способ расстановки:

Сначала набираем полное 9-литровое ведро. Затем выливаем из него воду в 4-литровое, пока то не заполнится до краев. Как только это случилось, в 9-литровом ведре осталось ровно литров воды — ровно столько, сколько нужно для супа.

Подожжем первый шнур с двух концов, а второй шнур с одного. Когда первый шнур целиком догорит, пройдет ровно 30 секунд, значит, второму шнуру, если ничего не изменится, также останется гореть 30 секунд. Но в этот момент мы подожжем его со второго конца. Тогда он догорит в два раза быстрее, то есть за 15 секунд. В итоге второй шнур горел всего секунд, именно это время нам и требовалось отмерить.

Приведем один из возможных примеров, как бурундучкам справиться с этой работой. Пронумеруем грузовики числами 1, 2, 3, 4 и 5. Расставим эти грузовики мысленно по кругу так, чтобы после пятого грузовика шел первый. Пусть за первый час бурундучки поменяют по одному колесу на грузовиках с номерами 1, 2, 3 и 4. Затем бурундучки переходят к следующим по часовой стрелке грузовикам и за второй час меняют по одному колесу на грузовиках 2, 3, 4 и 5. В третий час они меняют по одному колесу на грузовиках с номерами 3, 4, 5, 1. В четвертый час — на грузовиках с номерами 4, 5, 1 и 2, и, наконец, за пятый час они меняют колеса на грузовиках с номерами 5, 1, 2 и 3. Заметим, что над каждый грузовиком трудились ровно 4 часа. Значит, все 4 колеса бурундучки успели поменять.

Приведем последовательность этажей, начиная с 13-го и заканчивая 8-м, на которые надо ездить. При этом если следующий этаж выше текущего, то нажимать надо первую кнопку, а если выше, то вторую:

Обратите внимание, что алгоритм единственный: с любого этажа этого здания можно поехать либо только наверх, либо только вниз, поэтому в любой момент следующий этаж определяется однозначно.

а) Да, может равняться 9, если взять числа 0, 1, 2, 3, 4. Тогда

б) Пусть 2 является суммой членов арифметической прогрессии с начальным членом и шагом Тогда

Заметим, что — целое число, значит, тоже целое. Тогда — делитель 4, то есть По предположению Противоречие.

в) Предствим любое натуральное число в виде суммы хотя бы пяти последовательных членов арифметической прогрессии. Рассмотрим последовательность …, При в такой последовательности не меньше шести членов, значит, она подходит под условие. Найдем ее сумму:

Если мы заменим числа на противоположные по знаку, то получим отрицательное число, значит, можем принимать все целые значения, которые больше 2 по модулю, то есть

По предыдущему пункту мы не можем получить число 2, значит, аналогично можем доказать, что число мы тоже не сможем получить.

Пусть 1 является суммой членов арифметической прогрессии с начальным членом и шагом Тогда

Заметим, что — целое число, значит, тоже целое. Тогда — делитель 2, то есть По предположению Противоречие. Аналогично докажем, что и число мы тоже не сможем получить.

Число 0 можно получить последовательностью Значит,

а) Примером двадцати таких чисел является последовательнось 5014, 5015, …, 5032, 5033. Среди этих чисел есть три очень счастливых: 5014, 5023 и 5032.

б) Предположим, что разность двух очень счастливых четырёхзначных чисел может равняться 2016. Пусть — десятичная запись меньшего из них, а — десятичная запись большего из них.

Из условия следует, что либо либо, если при сложении и 2016 в разряде десятков был переход через десяток, Тогда

Значит, число даёт при делении на 9 или остаток 7, или остаток 6.

Аналогично из условия следует, что либо либо Тогда

Значит, число даёт при делении на 9 или остаток 2, или остаток 3. По условию

Но числа и дают разные остатки при делении на 9. Противоречие.

в) Покажем, что искомое простое число равно 11. Для начала приведем пример очень счастливого четырёхзначного числа, которое делится на 2, 3, 5 и 7 — число 1890.

Теперь докажем, что не существует очень счастливого четырёхзначного числа, кратного 11. Пусть — запись какого-либо очень счастливого числа, которое делится на 11. Тогда

Значит, число кратно 11. Поскольку и — цифры, отсюда следует, либо либо либо

В первом случае имеем и Вычитая эти равенства, получаем то есть — противоречие, поскольку все цифры должны быть различны.

Во втором случае и Вычитая эти равенства, получаем то есть — тоже противоречие, так как 11 не кратно 2. Аналогичное противоречие получается и в третьем случае. Значит, не существует очень счастливых четырёхзначные чисел, кратных 11.

а) Докажем, что после операции сумма чисел в таблице не изменяется. Будем называть «соседними» те клетки, которые граничат с выбранной клеткой по стороне.

Если у выбранной клетки было соседних клеток, а сумма всех чисел в таблице была равна то после уменьшения чисел в соседних клетках на 1 сумма чисел во всей таблице стала равняться Тогда после увеличения числа в выбранной клетке на сумма чисел во всей таблице снова стала равняться

Изначально сумма чисел в таблице была равна Значит, после любого количества операций она останется равной 45.

б) Да, так могло получиться, если в первой строчке стояли числа 1, 5, 8. Во второй — числа 2, 3, 4. В третьей — числа 6, 7, 9. Тогда полученное число равно

в) В таблицу расставлено 9 натуральных чисел, значит, одно из них хотя бы 9. Будем вести перебор по наименьшему значению наибольшего числа.

Пусть можно расставить натуральные числа от 1 до 9 так, как это сказано в условии. Рассмотрим эту расстановку. Обратим внимание на число 7. Так как оно присутствует в таблице, то произведение хотя бы в одном столбце делится на 7. Значит, произведение чисел в любом столбце и в любой строке делится на 7. Заметим, что в таблице всего одно число, которое делится на 7, следовательно, в двух столбцах из трех нет числа, которое делится на 7. Тогда произведение в них не делится на 7. Противоречие. Значит, либо должно быть хотя бы три числа, которые делятся на 7, либо их не должно быть вовсе. Если такие три числа есть, то в таблице точно есть число не меньше 21. Пусть в таблице нет чисел, которые делятся на 7.

Пусть можно расставить натуральные числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 так, как это сказано в условии. Рассмотрим эту расстановку. Обратим внимание на числа 5 и 10. Так как они присутствуют в таблице, то произведение хотя бы в одном столбце делится на 5. Значит, произведение чисел в любом столбце и в любой строке делится на 5. Заметим, что в таблице всего два числа, которые делятся на 5, следовательно, в каком-то из трех столбцов нет числа, которое делится на 5. Тогда произведение в нем не делится на 5. Противоречие. Значит, либо должно быть хотя бы три числа, которые делятся на 5, либо их не должно быть вовсе. Если такие три числа есть, то в таблице точно есть число не меньше 15.

Пусть в таблице нет чисел, которые делятся на 5. Тогда оценим наименьшее значение наибольшего числа в таблице, взяв девять самых маленьких натуральных чисел, которые мы можем брать. Значит, в таблице расставлены числа 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 12.

Заметим, что с числом 11 можно провести рассуждения, аналогичные рассуждениям с 7. Тогда либо в таблице есть число не меньше 33, либо нет чисел кратных 11.

Если таких чисел нет, то минимальные девять чисел это 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 13. Но с 13 можно провести аналогичные 7 рассуждения. Тогда минимальное возможное наибольшее число равно 15, потому что если есть число 14, то есть и число не меньше 21. Но 15 делится на 5, значит, среди чисел таблицы есть еще числа 5 и 10.

Тогда произведение в каждом столбце и строке должно делиться на 5. Для этого поставим числа 5, 10 и 15 в клетки одной из диагоналей. Тогда произведение в столбцах и строках должно делиться на 10 и на 15, то есть на 30.

Тогда будем пробовать строить пример на произведение, кратное 30. Для произведения 120 получим следующую расстановку:

Пусть в первой роте солдат, во второй — Запишем условия на и которые нам даны.

Далее идет условие про построение в ряды. Поймем, что оно на самом деле для нас означает. В каждом ряду могут стоять солдаты только одной роты, то есть ряды могут быть двух типов: только из солдатов первой роты, либо только из солдатов второй. Пусть в ряду человек, рядов первого типа второго тогда ясно, что Таким образом мы поняли, что условие про ряды фактически означает, что существует некоторое такое, что и

а) Подойдут, например, количества солдат 54 в первом взводе и 63 во втором взводе при

б) Заметим, что

То есть более полным и удобным для нас комплектом условий будет

Эти условия можно сформулировать так: и это два числа, кратные некоторому лежащие между 50 и 70 и имеющие сумму меньше 120.

Проверим, может ли быть равно 11. Только два числа между 50 и 70 кратны 11 — 55 и 66, но их сумма больше 120. Значит, такого быть не может.

в) Будем перебирать по начиная с 8, наверх и рассматривать все возможные натуральные кратные этому

При подходят только 56 и 64, но их сумма не меньше 120.

При подходят только 54 и 63, они подходят, их сумма 117.

При подходит только 60.

При по пункту б) нет возможных вариантов.

При подходит только 60.

При подходят 52 и 65, их сумма 117.

При подходит только 56.

При подходит только 60.

При подходит только 64.

При подходят 51 и 68, их сумма 119.

При подходит только 54.

При подходит только 57.

Дальше перебирать нет смысла, т.к. чтобы два различных числа были кратны некоторому их разность должна быть не меньше 20, значит, они не могут одновременно лежать в интервале

Итого, общее количество людей может быть равно 117 или 119.

а) Да, например, числа на круге можно расположить так:

б) Рассмотрим число 13. Оно простое и взаимно просто со всеми остальными числами, следовательно, оба НОДа с его участием будут равны 1. Значит, такое невозможно.

в) Рассмотрим числа 11, 13 и 17. Они простые и взаимно просты со всеми остальными числами, следовательно, все НОДы с их участием будут равны 1. Пусть они стоят по кругу в некотором порядке. Каждое из чисел участвует ровно в двух НОДах.

Пусть — количество пар соседних среди наших чисел, тогда очевидно, что а количество НОДов единичек не менее чем Всего 10 НОДов, среди которых хотя бы 4 единицы, значит, различных НОДов не более чем 7.

Построим пример с учетом знания того, что для достижения максимума числа 11, 13 и 17 должны стоять подряд:

а) Да, может. Пусть стерты оказались пары

Тогда остались числа 2, 3, 5, 10 с суммой 20.

б) Заметим, что число, кратное 5, может быть стерто в паре только с другим числом, кратным 5. Таким образом, четность количества чисел, кратных 5, не меняется после стираний.

Посчитаем, сколько чисел, кратных 5, содержится среди чисел от 103 до 208. Наименьшее из них, кратное 5, равно 105, наибольшее — 205. Тогда всего чисел, кратных 5, будет ровно

Пусть остались числа и Тогда хотя бы одно из них должно делиться на 5, так как 21 нечетно и хотя бы одно кратное 5 число не будет вычеркнуто, но тогда и второе должно делиться 5, так как Значит, каким-то образом последовательность вычеркиваний изменила количество чисел, кратных 5, с 21 до 2, что противоречит факту про четность, доказанному выше.

в) Посчитаем количество чисел с каждым из остатков по модулю 5 среди чисел от 103 до 208, то есть заменим числа на их остатки по модулю 5 и посчитаем количество каждого из остатков. Так как число 103 дает остаток 3 по модулю 5, то блок длины 5, который будет повторяться, начинается с 3:

Всего от 103 до 208 включительно 106 чисел. Количество таких полных блоков равно 21 как целая часть от деления Остаток равен 1, следовательно, после последнего цельного блока будет стоять остаток 3 и ему соответствует последнее число 208. Получаем, что остаток 3 встречается 22 раза, остатки 4, 0, 1 и 2 по 21 разу.

В пункте б) мы уже доказали, что среди двух оставшихся чисел будет хотя бы одно, кратное 5. Кроме того, хотя бы одно будет давать остаток 3, так как число, дающее остаток 3, должно вычеркиваться в паре с числом, дающим остаток 2, при этом остаток 3 дают 22 числа, а остаток 2 — только 21 число.

Мы доказали, что из двух оставшихся чисел одно будет делиться на 5, а второе — давать остаток 3. Разберем два случая:

• Большее из чисел дает остаток 3. Мы хотим максимизировать отношение, значит, мы должны минимизировать меньшее число и максимизировать большее. Наибольшее число с остатком 3 — это 208, наименьшее с остатком 0 — 105, тогда в этом случае максимальное отношение равно
• Большее из чисел дает остаток 0. Мы хотим максимизировать отношение, значит, мы должны минимизировать меньшее число и максимизировать большее. Наибольшее число с остатком 0 — это 205, наименьшее с остатком 3 — 103, тогда в этом случае максимальное отношение равно

Сравним полученные дроби:

Тогда наибольшее значение равно

a) Каждый пират должен получить количество дукатов, равное

Выдадим 15 пиратам по 4 монеты достоинством 5 дукатов, троим — по 20 монет достоинством 1 дукат.

б) Каждый пират должен получить количество дукатов, равное

Тогда нужно будет выдать каждому не менее 4 монет достоинством 1 дукат. Значит, всего монет достоинством 1 дукат нужно не менее 160 штук, а в сундуке их только 60. Следовательно, без сдачи и размена поделить все монеты поровну не получится.

в) Рассмотрим случай, когда пиратов 17 или больше. Приведём пример раздела, который капитан не сможет реализовать.

Пусть капитан хочет достичь следующего раздела: 16 пиратов должны получить по 4 дуката, один — все оставшиеся деньги, остальные, если они есть, — ничего. Тогда распределить монеты нельзя по тем же причинам, что и в пункте б).

Пусть пиратов 16. Покажем, как реализовать произвольный раздел. Заметим, что если некоторый раздел можно осуществить с помощью монет по 5 дукатов, то его можно осуществить и с помощью монет по 5 и по 1 дукату (при том, что сумма денег одна и та же), просто формируя пятерки из единиц.

Пусть некоторому пирату полагается дукатов. Выдадим ему количество дукатов, равное остатку числа по модулю 5, монетами по 1 дукату. Произведем эту операцию с каждым пиратом.

Сумма таких остатков для всех пиратов должна быть кратна 5, так как общая сумма денег кратна 5. Также эта сумма не больше чем так как каждому пирату придется выдать не более 4 монет по одному дукату, ведь остаток числа при делении на 5 не превышает 4. Наибольшее натуральное число, не превышающее 64 и кратное 5, равно 60. Значит, для описанной процедуры точно хватит монет по 1 дукату.

После вышеописанного каждому пирату недовыдано некоторое количество монет, кратное 5. Тогда очевидно, что оставшиеся монеты можно распределить нужным образом.

Обозначим количество ясеней через , количество дубов через . Запишем систему неравенств, отражающую все условия задачи

а) Проверим, является ли пара решением системы.

Все условия удовлетворены, значит, такое возможно.

б) Проверим, является ли пара решением системы.

При таком количестве дубов и ясеней нарушается второе неравенство системы, значит, такого быть не могло.

в) Из второго неравенства системы получим

Объединяя результат с третьим неравенством системы, получим

Мы доказали, что количество дубов не должно превышать 8. Попробуем найти такое количество ясеней, чтобы при 7 дубах все неравенства системы были удовлетворены. Для этого просто подставим в систему и решим ее относительно .

При 13 ясенях и 7 дубах все условия выполняются, следовательно, максимально возможное количество дубов равно 7.

а) Сумма масс имеющихся у Игоря гирь: – нечётна, следовательно, имеющиеся у Игоря гири нельзя поставить на весы так, чтобы чаши уравновесились.

б) Так как теперь гирь , то их нельзя разбить на пары. Тогда возьмём и отложим в сторону гири с массами , и .

Разберёмся сначала с остальными гирями – их уже можно разбить на пары так, чтобы суммарные массы во всех парах были одинаковы: , , ..., – всего пар. Теперь можно на одну чашу весов положить все гири, которые попали в первые пары, а на другую чашу весов все остальные гири, кроме гирь с массами , и .

На данный момент весы находятся в равновесии, а не использовали мы только те самые гири с массами , и . Остаётся только гирю с массой положить на одну чашу весов (любую), а гири с массами и – на другую чашу весов.

Сумма восьми каких-нибудь чисел из множества может быть равна , , , ..., или . Пусть – сумма чисел в -ой строке, – сумма чисел в -ом столбце, тогда среди чисел , ..., , , ..., должны встретиться все числа из множества , кроме одного.

При этом , так как обе эти суммы есть просто сумма всех чисел в данной квадратной таблице. Тогда можно попробовать положить

, , , , , , , ,..., , , , .
Соответствующий способ заполнения квадратной таблицы приведён ниже:

Вот как это можно сделать:

а) Заметим, что если вдоль каждой стенки будет стоять по две монеты, то всего монет будет не больше , а у нас их , значит нельзя.
 
б)–д) В этих пунктах можно расположить монеты требуемым образом. Примеры расстановки приведены на рисунках:

г) Заметим, что каждая монета может стоять максимум около двух стенок коробки, и даже если мы поставим по монет одна на другую (оптимальная расстановка), то всего монет будет , а у нас их – противоречие.