Комбинации нескольких графиков —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Тема 11. Задачи на свойства графиков функций

11.10 Комбинации нескольких графиков

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи на свойства графиков функций

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#35284

На рисунке изображены графики двух линейных функций, пересекающиеся в точке $A.$ Найдите абсциссу точки $A.$

$110xy$

Показать ответ и решение

Найдем уравнения прямых.

Определим коэффициенты $k$ и $b$ для нижней прямой. Найдём $k$ как тангенс угла наклона прямой:

Δy 0− (−2) 2 k = Δx-= 0−-(−1) = 1 = 2

Чтобы найти $b,$ подставим одну из точек на прямой в уравнение с уже рассчитанным коэффициентом $k.$ Подставим точку $(−1;−2):$

−2= 2 ⋅(− 1) +b ⇔ − 2= −2 +b ⇔ b =0

Значит, первая функция имеет вид $f1(x) =2x.$

Теперь определим коэффициенты $k$ и $b$ для верхней прямой. Найдём $k$ как тангенс угла наклона прямой:

Δy 4 − 0 4 k = Δx-= 0−-(−4) = 4 = 1

Чтобы найти $b,$ подставим одну из точек на прямой в уравнение с уже рассчитанным коэффициентом $k.$ Подставим точку $(−4;0):$

0 = 1⋅(− 4)+ b ⇔ 0= (−4)+ b ⇔ b= 4

Значит, вторая функция имеет вид

f2(x)= x+ 4

Теперь найдем абсциссу точки пересечения двух прямых.

f1(x)= f2(x) ⇔ 2x = x+ 4 ⇔ x= 4

Ответ: 4

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#35281

На рисунке изображены графики двух линейных функций, пересекающиеся в точке $A.$ Найдите абсциссу точки $A.$

$xy110$

Показать ответ и решение

Найдем уравнения прямых.

Определим коэффициенты $k$ и $b$ для нижней прямой. Найдём $k$ как тангенс угла наклона прямой:

Δy 2 − 0 2 k = Δx-= 1-− 0 = 1 = 2

Чтобы найти $b,$ подставим одну из точек на прямой в уравнение с уже рассчитанным коэффициентом $k.$ Подставим точку $(1;2) :$

2 =2 ⋅1+ b ⇔ 2= 2+ b ⇔ b= 0

Значит, первая функция имеет вид $f1(x) =2x.$

Теперь определим коэффициенты $k$ и $b$ для верхней прямой. Найдём $k$ как тангенс угла наклона прямой:

Δy- -3-− 0- 3 k = Δx = 0− (−3) = 3 = 1

Чтобы найти $b,$ подставим одну из точек на прямой в уравнение с уже расcчитанным коэффициентом $k.$ Подставим точку $(−3;0):$

0 = 1⋅(− 3)+ b ⇔ 0= (−3)+ b ⇔ b= 3

Значит, вторая функция имеет вид

f2(x)= x+ 3

Теперь найдем абсциссу точки пересечения двух прямых.

f1(x)= f2(x) ⇔ 2x = x+ 3 ⇔ x= 3

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#19947

На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите ординату точки пересечения графиков.

$xy110$

Показать ответ и решение

Способ 1.

Найдём уравнение функции $y(x)= kx+ b,$ график которой представляет из себя убывающую прямую, на которой отмечены точки $(1;4),$ $(5;−2).$ Найдём угловой коэффициент:

k = Δy-= −-2−-4= −1,5 Δx 5− 1

Получим уравнение функции в виде

y(x)= −1,5x +b

Найдём значение $b,$ подставив в уравнение точку $(1;4):$

4= −1,5⋅1+ b ⇔ b= 5,5

Получится уравнение

y(x)= −1,5x + 5,5

Найдём уравнение функции $g(x)= kx+ b,$ график которой представляет из себя возрастающую прямую, на которой отмечены точки $(−1;−5),$ $(1;2).$ Найдём угловой коэффициент:

Δg 2− (−5) k = Δx-= 1−-(−1) =3,5

Получим уравнение функции в виде

g(x)= 3,5x + b

Найдём значение $b,$ подставив в уравнение точку $(1;2):$

2= 3,5 ⋅1+ b ⇔ b= −1,5

Получится уравнение

g(x) =3,5x− 1,5

Теперь решим уравнение $y(x) = g(x):$

−1,5x+ 5,5 =3,5x− 1,5 ⇔ x = 1,4

Тогда ордината точки пересечения прямых равна

y(1,4)= −1,5⋅1,4+ 5,5= 3,4

Способ 2.

По картинке видим, что целые точки $(1;4)$ и $(5;− 2)$ принадлежат графику первой прямой $y(x)= kx+ b,$ поэтому можем составить систему из двух уравнений:

( ( {4 =f1(1) {4 = k1+ b1 ( ⇔ ( − 2= f1(5) − 2= 5k1+ b1 ( ( {k1 = 4− b1 ⇔ {b1 = 5,5 (− 2= 5(4 − b1)+ b1 (k1 = − 1,5

Также целые точки $(1;2)$ и $(− 1;− 5)$ принадлежат графику второй прямой $g(x)= kx +b,$ поэтому можем составить систему из двух уравнений:

( ( { 2= f2(1) { 2= k2+ b2 ( −5 = f2(−1) ⇔ ( −5= − k2+b2 ({ k = 2− b ({b = − 1,5 2 2 ⇔ 2 ( −5 = −(2− b2)+ b2 (k2 =3,5

Значит, функции имеют вид

y(x)= −1,5x+ 5,5, g(x)= 3,5x − 1,5

Аналогично первому способу решаем уравнение $y(x)= g(x)$ и получаем ответ.

Ответ: 3,4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#18616

На рисунке изображены графики двух функций вида $y = kx+ b,$ которые пересекаются в точке $A (x0;y0).$ Найдите $x0.$

$xy110$

Показать ответ и решение

Первый способ.

Пусть $y = k1x +b1$ — уравнение первой прямой, $y = k2x+ b2$ — уравнение второй прямой.

Заметим, что первая прямая проходит через точки $(−1;4)$ и $(− 3;3).$ Если прямая проходит через точку на плоскости, то координаты этой точки обращают уравнение этой прямой в верное равенство. Тогда получаем систему из двух уравнений:

( ( { 4= k1⋅(−1)+ b1 {4= − k1+ b1 ⇔ ( 3= k1⋅(−3)+ b1 (1= 2k1 ( ( { b1 = 4+ k1 {b1 = 92 ( k1 = 1 ⇔ (k1 = 1 2 2

Значит, уравнение первой прямой имеет вид

x-+9- y = 2

Вторая прямая проходит через точки $(2;− 1)$ и $(− 1;− 4).$ Следовательно, получаем следующую систему:

( ( { −1= k2⋅2+ b2 ⇔ {− 1= 2k2+ b2 ( −4= k2⋅(−1)+ b2 (3 = 3k2 ( ( { b2 = −(2k2 +1) { b2 = −3 ( ⇔ ( k2 = 1 k2 = 1

Значит, уравнение второй прямой имеет вид

y = x − 3

Обе прямые проходят через точку $A (x0;y0)$ по условию, тогда имеем систему:

({ x+9 y0 = -02-- ⇒ x0− 3= x0+-9 ( y0 = x0− 3 2 2x0− 6= x0+ 9 ⇔ x0 = 15

Второй способ.

Если прямая $l$ на плоскости проходит через две точки $M (x ;y) 1 1 1$ и $M (x ;y ), 2 2 2$ то можем составить ее каноническое уравнение:

x− x1 y − y1 l : x2− x1-= y2−-y1

На рисунке видно, что одна из прямых проходит через точки $(− 1;4)$ и $(−3;3).$ Тогда имеем:

-x−-(−1)- y-− 4 x+-1- y−-4 − 3− (− 1) = 3− 4 ⇔ −2 = −1 x +1 x+ 9 --2--= y− 4 ⇔ y = -2---

Другая прямая проходит через точки $(2;−1)$ и $(− 1;− 4).$ Аналогично запишем ее каноническое уравнение:

x-− 2-= y-−-(−-1)-- ⇔ x−-2= y-+1 −1− 2 −4− (−1) − 3 − 3 x− 2= y+ 1 ⇔ y =x − 3

Если прямая проходит через точку на плоскости, то координаты этой точки обращают уравнение прямой в верное равенство. Обе прямые проходят через точку $A(x0;y0)$ по условию, тогда имеем систему:

({ x0+9- y0 = 2 ⇒ x0− 3= x0+-9 ( y0 = x0− 3 2 2x0− 6= x0+ 9 ⇔ x0 = 15

Ответ: 15

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#46562

На рисунке изображены графики функций $f(x) =a√x-$ и $g(x)= kx+ b,$ которые пересекаются в точке $A.$ Найдите абсциссу точки $A.$

$xy110$

Источник: СтатГрад 24.04.2024

Показать ответ и решение

По картинке видим, что точка $(4;3)$ принадлежит графику функции $f,$ следовательно,

f(4)= 3 ⇔ a√4-= 3 ⇔ √- a= 3 ⇒ f(x)= 3 x 2 2

Посмотрим теперь на график функции $g.$ Это прямая, которой принадлежат точки $(− 4;− 4)$ и $(4;0).$ Найдем угловой коэффициент:

0−-(−-4) 1 k = 4− (− 4) = 2

Найдем $b,$ подставив в уравнение $g$ точку $(4;0)$ и $1 k = 2 :$

1 g(4) = 0 ⇔ 2 ⋅4 +b =0 ⇔ 1 b= −2 ⇒ g(x)= 2x − 2

Найдем абсциссу точки $A,$ приравняв $f$ и $g :$

3√x = 1x− 2 ⇔ 3√x-= x− 4 ⇔ ( 2 2 ( { 9x= (x− 4)2 {− x2+ 17x− 16= 0 ( ⇔ ( ⇔ x− 4≥ 0 x ≥ 4 ({ x= 1;16 ⇔ x =16 ( x≥ 4

Ответ: 16

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#11718

На рисунке изображены графики функций $f(x)= −2x2− 2x+ 4$ и $g(x)= ax2+ bx+ c,$ которые пересекаются в точках $A(−1;4)$ и $B(x0;y0).$ Найдите $x0.$

$xy110A$

Показать ответ и решение

Для начала разберемся, какой из графиков какой функции соответствует.

Координата по $x$ вершины параболы $f$ равна $−-(−2) =− 1, 2⋅(−2) 2$ что соответствует правой параболе.

Любую параболу вида $2 g(x)= ax + bx+ c$ можно представить в виде

g(x)= a(x − xB )2+ yB

Здесь $(xB;yB)$ — координаты ее вершины. По картинке несложно видеть, что вершина левой параболы $g$ имеет координаты $(−2;5),$ значит функция имеет вид

g(x)= a(x+ 2)2+ 5

Также по картинке видно, что в точке -4 функция $g$ равна 1. Это условие можно записать следующим образом:

1= g(− 4)= a(− 4+ 2)2+ 5 ⇔

⇔ −4 = 4a ⇔ a= −1

Теперь мы полностью восстановили функцию $g,$ она имеет вид

g(x)= −(x+ 2)2 +5

Найдем точки пересечения $f$ и $g :$

− (x +2)2+ 5= − 2x2 − 2x +4 ⇔

⇔ x2− 2x− 3 =0 ⇔ x= −1;3

Пересечение, соответствующее $x = −1,$ это точка $A.$ Тогда координата $x0$ точки $B$ равна 3.

Ответ: 3

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#45222

На рисунке изображены графики функций

f(x) = 3x + 3 и g(x)= ax2 +bx +c,

которые пересекаются в точках $A (− 1;0)$ и $B (x0;y0).$ Найдите $y0.$

$xy110A$

Показать ответ и решение

Парабола на рисунке получается из параболы $y =x2$ отражением относительно оси абсцисс с получением параболы $2 y =− x ,$ поднятием на 1 вверх с получением параболы $2 y = −x + 1$ и сдвигом влево на 2 с получением параболы $y = −(x+ 2)2+ 1.$ Следовательно, ее уравнение

y = − (x +2)2+ 1= − x2− 4x − 3

Значит, так как $− x2 − 4x − 3 = ax2+ bx +c,$ то имеем: $a= −1,$ $b= −4,$ $c =− 3.$

Найдем координаты точки $B :$

⌊( ( ( |{ x= − 1 {y = 3x + 3 { y = 3x+ 3 ||( y = 0 ( 2 ⇔ ( 2 ⇔ ||( 3x +3 = −x − 4x− 3 x + 7x + 6= 0 |⌈{ x= − 6 ( y = − 15

Следовательно, $y0 = −15.$

Ответ: -15

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#32016

На рисунке изображены графики функций $f(x)= −3x +13$ и $g(x)= ax2+ bx + c,$ которые пересекаются в точках $A$ и $B.$ Найдите ординату точки $B.$

$xy110A$

Показать ответ и решение

По картинке видно, что график функции $g(x)$ проходит через точки $(− 1;8),$ $(1;2)$ и $(3;4).$ Если график функции проходит через определенную точку, то ее координаты обращают уравнение функции в верное равенство. Значит, мы можем составить систему из трех уравнений:

( |||g(−1)= 8 {g(1)= 2 ||| (g(3)= 4 ( |||{a⋅(−1)2+ b⋅(−1)+ c= 8 a⋅(1)2+ b⋅(1)+ c= 2 |||( 2 a⋅(3) + b⋅(3)+ c= 4 ( |||{a− b+ c= 8 a+ b+ c= 2 |||( 9a+ 3b+ c= 4

Из первого уравнения следует, что $a= 8+ b− c.$ Тогда, подставив этот результат во второе уравнение, получим

a+ b+ c= 2 (8+ b− c)+ b+ c= 2 8+ 2b = 2 b= −3

Подставив $a= 8 +b− c= 5 − c$ и $b = −3$ в третье уравнение, получим

9(5− c)+ 3⋅(−3)+ c= 4 45− 9c− 9+ c= 4 36− 8c= 4 c= 4

Тогда можем найти $a:$

a = 5− c= 5− 4= 1

Значит, мы нашли уравнение функции $g(x):$

g(x)= x2− 3x+ 4

По условию графики функций $f(x)$ и $g(x)$ пересекаются в точках $A(3;4)$ и $B(x0;y0).$ Тогда координаты точки $B$ обращают уравнения функций $f(x)$ и $g(x)$ в верные равенства:

( { f(x0)= y0 ( ⇒ f(x0)= g(x0) g(x0)= y0 2 −3x0+ 13= x0− 3x0+ 4 9= x20 ⇒ x0 = −3 x0⁄=3

Тогда ордината $y0$ точки $B$ равна

y0 = f(x0)= f(− 3)= = − 3⋅(− 3)+ 13 = 9+ 13= 22

Ответ: 22

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#19984

На рисунке изображены графики функций $2 f(x) =ax +bx+ c$ и $g(x)= kx+ d,$ которые пересекаются в точках $A (− 1;0)$ и $B (x0;y0).$ Найдите $y0.$

$11xy0A$

Показать ответ и решение

Заметим, что любую квадратичную функцию можно представить в виде

2 f(x) =a(x− x0) + y0

Здесь $(x0;y0)$ — координаты вершины параболы. По графику видно, что $x0 = −2,$ $y0 =1.$

Найдём $a,$ подставив точку $(− 1;0)$ в уравнение параболы:

0 = a(− 1+ 2)2+ 1 ⇔ a =− 1

Получим уравнение параболы

f(x)= −(x +2)2+ 1

Найдём уравнение линейной функции

g(x)= kx+ d

Ее график проходит через точки $(−1;0)$ и $(0;3).$ Найдём значение углового коэффициента:

Δg 3 − 0 k = Δx-= 0−-(−1) = 3

Значение коэффициента $d$ равно 3, поскольку прямая пересекает ось ординат в точке $(0;3).$

Получим уравнение функции

g(x)= 3x+ 3

Чтобы найти координаты точки $B,$ надо решить уравнение $f(x)= g(x):$

−(x+ 2)2 +1 = 3x + 3 2 − x − 4x − 4+ 1= 3x+ 3 x2 +7x +6 = 0 ⌊ ⌈x =− 1 x =− 6

Первое значение $x$ соответствует абсциссе точки $A,$ тогда второе — абсциссе точки $B.$ Найдём её ординату, подставив $x = −6$ в уравнение любой из функций. Подставим в $g(x)= 3x + 3:$

g(−6)= 3⋅(−6)+ 3= −15

Ответ: -15

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#32271

На рисунке изображены графики функций $f(x)= 2x2− 5x+ 4$ и $g(x)= ax2+ bx + c,$ которые пересекаются в точках $A$ и $B.$ Найдите ординату точки $B.$

$xyA110$

Показать ответ и решение

Определим какой из графиков, то есть «верхний» или «нижний», принадлежит функции $f(x).$ Заметим, что $f(0)= 4,$ значит, график функции $f(x)$ проходит через точку $(0;4).$ Тогда функции $f(x)$ соответствует «верхний» график.

Восстановим уравнение функции $g(x).$ Заметим, что «нижний» график проходит через точку $(0;− 3),$ следовательно, справедливо равенство

2 g(0)= −3 ⇔ a ⋅0 + b⋅0+ c= −3 ⇔ c= − 3

Также график функции $g(x)$ проходит через целые точки $(−2;−5)$ и $(1;1).$ Значит, можем составить систему уравнений:

({ ({ 2 g(−2)= −5 ⇔ a⋅(−2) + b⋅(− 2)+ c= −5 ( g(1) =1 ( a⋅12+ b⋅1+ c= 1 ( ( { 4a− 2b− 3= −5 { 2a− b= −1 ( ⇔ ( a+ b− 3= 1 a+ b= 4 ({ ({ ({ b= 2a+ 1 ⇔ 2a+ 1= 4− a ⇔ a= 1 ( b= 4− a ( b= 4− a ( b= 3

Таким образом, мы полностью восстановили уравнение функции $g(x):$

g(x)= x2+ 3x− 3

Теперь найдем абциссы точек пересечения графиков функций $f(x)$ и $g(x):$

2 2 2 2x − 5x+ 4= x + 3x− 3 ⇔ x − 8x+ 7= 0 ⌊ (x− 1)(x − 7)= 0 ⇔ ⌈x= 1 x= 7

Значит, абсцисса точки $B$ равна 7. Тогда ордината точки $B$ равна

g(7)= 72+ 3⋅7− 3= 49+ 21− 3= 67

Ответ: 67

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#23739

На рисунке изображены графики функций $√ - f(x) = a x$ и $g(x)= kx+ b,$ которые пересекаются в точках $A(x0;y0)$ и $B (4;5).$ Найдите $y0.$

$xy110AB$

Показать ответ и решение

Найдём уравнение функции $g(x).$ По графику видно, что $k = 1,$ поскольку функция увеличивается на 1 при увеличении аргумента на 1. Также прямая пересекает ось ординат в точке $(0;1),$ откуда $b = 1.$ Тогда уравнение прямой имеет вид

g(x)= x +1

Найдём уравнение функции $f(x).$ Подставим точку $(4;5)$ на графике в уравнение функции:

f(4)= 5 ⇔ 2a = 5 ⇔ a= 2,5

Тогда уравнение корня имеет вид

f(x)= 2,5√x

Найдём координаты точек пересечения графиков, приравняв функции:

x+ 1= 2,5√x

Сделаем замену $t =√x-$ и получим квадратное уравнение:

t2− 2,5t+ 1= 0 2 2t − 5t+ 2= 0 D = 52− 4⋅2⋅2 =52− 42 = 32 5± 3 1 t= --4- = 2; 2

Сделаем обратную замену и получим совокупность

⌊ ⌊ t= 0,5 x = 0,25 ⌈t= 2 ⇔ ⌈x = 4

Точке $A$ соответствует координата $x0 = 0,25.$ Подставим её в уравнение $g(x)$ и получим

y0 = g(0,25)= 0,25+ 1= 1,25

Ответ: 1,25

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#20627

На рисунке изображены графики функций $√ ---- f(x) =a x− b+ c$ и $g(x)= 0,75x+ 1,$ которые пересекаются в точках $A(0;1)$ и $B.$ Найдите абсциссу точки $B.$

$xy110A$

Показать ответ и решение

Заметим, что область определения функции $√ ---- f(x)= a x− b+ c$ совпадает с областью определения функции $√---- x − b$ и равна $[b;+∞ ).$

Из графика видно, что $f(x)$ определена на $[− 1;+ ∞),$ откуда получаем $b= − 1.$

Тогда функция примет вид

f(x) =a√x-+-1+ c

По графику $f(−1)= − 2,$ то есть

a√−-1+-1+ c= −2 ⇔ c = −2 ⇒ f(x)= a√x-+1-− 2

По графику $f(0)= 1,$ то есть

a√0-+1 − 2 = 1 ⇔ a= 3 ⇒ f(x)= 3√x-+1-− 2

Найдем отличную от $A$ точку пересечения графиков функций $f(x)$ и $g(x):$

$pict$

Из последней системы получаем $x= 8.$ Тогда абсцисса точки $B$ пересечения графиков равна 8.

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#11248

На рисунке изображены графики двух функций: одна из них линейная, другая — вида

√----- y = a x− x0+ y0

Найдите абсциссу точки пересечения графиков этих функций. Если таких точек несколько, в ответе укажите наименьшую абсциссу.

$xy110$

Показать ответ и решение

Для решения найдём уравнения обеих функций, после чего решим уравнение, приравняв эти функции, что и будет означать пересечение графиков функций.

Найдём уравнение линейной функции. Заметим, что прямая проходит через точки $(−4;0)$ и $(3;2).$ Тогда угловой коэффициент можно найти по формуле

k = y1−-y0= --2−-0- = 2 x1− x0 3 − (−4) 7

Получим уравнение прямой

2 y = 7x+ b

Для нахождения свободного коэффициента $b$ подставим произвольную точку на прямой в это уравнение. Подставим точку $(3;2) :$

2 = 2⋅3+ b ⇔ b= 8 7 7

Получаем уравнение прямой

y = 2 x+ 8 7 7

Найдём уравнение второй функции. Заметим, что график имеет вершину $(2;3),$ из чего можно сделать вывод, что $x0 = 2,$ $y0 = 3.$ Чтобы найти $a,$ подставим в полученную функцию $y = a√x-− 2-+3$ координаты точки $(3;4),$ которая находится на графике.

√ ---- 4= a 3− 2+ 3 ⇔ a= 1

Получаем уравнение второй функции

√----- y = x − 2+ 3

Приравняем полученные функции:

√x-−-2+ 3= 2x + 8 7 7 √x-−-2= 2x− 13 |⋅7 √ ----7 7 7 x− 2= 2x− 13

Возведём в квадрат обе части уравнения, отметив, что правая чать должна быть неотрицательной, то есть $2x − 13 ≥0 ⇔ x≥ 6,5 :$

2 49(x− 2)= 4x + 169− 52x 4x2− 101x+ 267= 0 2 2 D = 101 − 4 ⋅4⋅267 = 5929 = 77 101±-77 x1,2 = 8 = 3;22,25

Поскольку решение уравнения существует при $x≥ 6,5$ , получим единственное решение $x= 22,25.$

Ответ: 22,25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#32272

На рисунке изображены графики функций $f(x) = k x$ и $g(x)= ax+ b,$ которые пересекаются в точках $A (− 2;− 3)$ и $B(x0;y0).$ Найдите $x0.$

$xy110A$

Показать ответ и решение

Восстановим уравнение функции $f(x).$ Ее график проходит через точку $(−3;−2).$ Значит, можем составить уравнение:

k f(−3)= −2 ⇔ −3-=− 2 ⇔ k = 6

Тогда функция $f(x)$ имеет вид

f(x)= 6 x

Восстановим уравнение функции $g(x).$ Ее график проходит через точку $(0;5),$ следовательно,

g(0)= 5 ⇔ a⋅0 +b =5 ⇔ b= 5

Также график $g(x)$ проходит через точку $(−2;−3),$ следовательно,

g(− 2)= −3 ⇔ a ⋅(− 2)+ 5 =− 3 ⇔ a= 4

Значит, функция $g(x)$ имеет вид

g(x)= 4x+ 5

Найдем абсциссу точки $B :$

6= 4x +5 ⇔ 4x2 +5x − 6 = 0 x ⌊ ⌈x= − 2 ⇒ x0 =0,75 x= 0,75

Ответ: 0,75

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#23738

На рисунке изображены графики функций $k f(x) = x$ и $g(x)= ax+ b,$ которые пересекаются в точках $A$ и $B(x0;y0).$ Найдите ординату точки $B.$

$xy110A$

Показать ответ и решение

Способ 1.

Подставим точку $(− 2;2),$ расположенную на графике гиперболы, в функцию $f (x):$

k f(−2)= −-2 = 2 ⇔ k = −4

Найдём коэффициент по точкам на графике линейной функции

a = Δy-= −2-− (−5)-= 3 Δx 4− (− 4) 8

Найдём $b,$ подставив точку $(4;−2):$

3 −2= 8 ⋅4+ b ⇔ b= −3,5

Найдём точки пересечения, приравняв $f(x)$ и $g(x):$

f(x)= g(x) −4 3 x--= 8x− 3,5 2 −32 =3x − 28x 3x2− 28x+ 32= 0

Решим данное уравнение методом переброски коэффициента. Решим уравнение

x2− 28x +32 ⋅3 = 0

По теореме Виета легко находятся корни $x′1 = 4$ и $x′2 = 24.$ Тогда у исходного уравнения корни равны

′ ′ x1 = x1 = 4 и x2 = x2= 8 3 3 3

Видно, что точке $A$ соответствует координата $x1,$ тогда точке $B$ — координата $x2.$ Найдём ординату, подставив $x2$ в $g(x):$

3 g(8)= 8 ⋅8− 3,5 = −0,5

Способ 2.

По картинке видим, что целая точка $(− 2;2)$ принадлежит графику гиперболы $f(x)= kx,$ и целые точки $(−4;−5)$ и $(4;−2)$ принадлежат графику прямой $g(x) = ax + b.$ Можем полностью восстановить вид обеих функций:

$pict$

Получили, что $f(x)= − 4, x$ $g(x)= 3x − 3,5. 8$ Найдем теперь абсциссы точек пересечения $f$ и $g$

( ( 4 3 {− 32= 3x2− 28x {x = 4;8 4 −x = 8x − 3,5 ⇔ ( ⇔ ( 3 ⇔ x= 3;8 x ⁄= 0 x ⁄= 0

Точка $B$ находится правее точки $A,$ следовательно, ей соответствует большая координата по оси абсцисс $x = 8.$ Осталось найти ординату точки $B$

f(8)= − 4= −0,5 8

Ответ: -0,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#18130

На рисунке изображены графики функций $f(x)= k x$ и $g(x)= ax+ b,$ которые пересекаются в точках $A (− 4;− 2)$ и $B(x0;y0).$ Найдите абсциссу точки $B.$

$xy110A$

Показать ответ и решение

По условию график функции $f(x)$ проходит через точку $A(−4;−2),$ значит, координаты точки $A$ обращают уравнение $k f(x)= x$ в верное равенство, то есть

k −2 = −4- k = (−2)⋅(− 4) k = 8

Тогда уравнение $f(x)$ можно записать в виде

8 f(x)= x

По условию график функции $g(x)$ проходит через точки $A(−4;−2)$ и $(8;0).$ Значит, координаты точек $A$ и $(8;0)$ обращают уравнение $g(x)= ax +b$ в верное равенство, то есть

$pict$

Тогда уравнение $g(x)$ можно записать в виде

x 4 g(x)= 6 − 3

Так как $B(x0;y0)$ — вторая точка пересечения графиков функций $f(x)$ и $g(x),$ то

f(x0)= g(x0) 8 x 4 x-= -06 − 3 0 48 = x0(x0− 8) ⌊ ⌈x0 = 12 x = −4 0

Поскольку $x = −4$ — абcцисса точки $A,$ то абсцисса точки $B$ равна $x0 = 12.$

Ответ: 12

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#80087

Даны функции $f(x) = (x − 6)2 − 2,$ $g(x) = x− 2$ и $p(x) = x− 6.$ Графики $f(x)$ и $g(x)$ пересекаются в точках $A$ и $D.$ Графики $f (x)$ и $p(x )$ пересекаются в точках $B$ и $C.$ Найдите площадь четырехугольника $ABCD.$

Показать ответ и решение

Найдём координаты точек пересечения $f(x)$ и $g(x) :$

(x− 6)2 − 2 = x − 2,

x2 − 13x +36 = 0.

2 2 D = 13 − 4 ⋅1⋅36 = 25 = 5 ,

13+-5- 13−-5- x1 = 2 = 9, x2 = 2 = 4.

y1(x1) = 9 − 2 = 7,

y(x ) = 4 − 2 = 2. 2 2

Таким образом, $A(4,2)$ и $D(9,7).$

Найдём координаты точек пересечения $f(x)$ и $p(x) :$

(x− 6)2 − 2 = x − 6,

2 x − 13x +40 = 0.

D = 132 − 4⋅1 ⋅40 = 9 = 32,

x = 13+-3-= 8, x = 13−-3-= 5. 3 2 4 2

y3(x3) = 8 − 6 = 2.

y4(x4) = 5− 6 = − 1.

Таким образом, $B(5,− 1)$ и $C (8,2).$

Рассмотрим рисунок на координатной плоскости:

$PIC$

Найдём площадь фигуры $ABCD$ по формуле Пика ( $B$ — количество точек с целочисленными координатами внутри фигуры, а $Γ$ — количество точек с целочисленными координатами на контуре фигуры):

Γ- S = B + 2 − 1,

10 S = 12+ 2-− 1 = 16.

Ответ: 16

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#75429

Даны функции $f(x) = − 2x3 − x2 + x − 2$ и $g(x) = 0,5(x − 2)2 + b.$ Определите, при каком значении $b$ графики $f (x)$ и $g(x)$ пересекаются ровно в одной точке, причём с положительной абсциссой.

Показать ответ и решение

Пусть графики функций пересекаются в точке $A.$ Тогда для выполнения касания в ней нам требуется записать систему из трёх условий — о равенстве значений функций в точке $A$ и равенстве значений производной в этой же точке (ну и помним про положительность абсциссы):