12. Исследование функций с помощью производной —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#2191

Найдите точку локального минимума функции $y = x3 − 3x$ .

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольный.

1)

y′ = 3x2 − 3

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

2 3x − 3 = 0 ⇔ x = ±1.

Производная существует при любом $x$ .

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ :

$PIC$

3) Эскиз графика $y$ :

$PIC$

Таким образом, $x = 1$ – точка локального минимума функции $y$ .

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#2082

Найдите точку минимума функции $y = x2 + 2x + 2$ на отрезке $[− 2;2]$ .

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольный.

1)

y′ = 2x + 2

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

2x + 2 = 0 ⇔ x = − 1.

Производная существует при любом $x$ .

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ :

$PIC$

3) Найдём промежутки знакопостоянства $′ y$ на рассматриваемом отрезке $[− 2;2]$ :

$PIC$

4) Эскиз графика на отрезке $[− 2;2]$ :

$PIC$

Таким образом, $x = − 1$ – точка минимума функции $y$ на $[− 2;2]$ .

Ответ: -1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#2081

Найдите точку максимума функции $y = − x2$ .

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольный.

1)

y′ = − 2x

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

− 2x = 0 ⇔ x = 0.

Производная существует при любом $x$ .

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ :

$PIC$

3) Эскиз графика:

$PIC$

Таким образом, $x = 0$ – точка максимума функции $y$ .

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#32523

Найдите наибольшее значение функции $x2+-25- y = x$ на отрезке $[− 10;− 1].$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ∈ℝ ∖{0}.$ Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

2x ⋅x− (x2 +25) x2− 25 y′ =------x2------ = --x2--

Найдем нули производной:

y′ = 0 ⇒ x = ±5

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ [− 10;− 5)$ производная положительна, то есть функция $y = y(x)$ возрастает. При $x ∈(−5;−1]$ производная отрицательна, то есть функция убывает. Следовательно, $x= −5$ является точкой максимума и наибольшего значения функция достигает в этой точке:

25 +25 y(−5)= --−5-- = −10

Ответ: -10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#32522

Найдите наименьшее значение функции

x2+-49 y = x

на отрезке $[1;10].$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x∈ ℝ∖{0}$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ 2x⋅x− (x2 +49) x2− 49 y = -----x2------= --x2--

Найдем нули производной:

y′ =0 ⇒ x= ±7

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ [1;7)$ производная отрицательна, то есть функция $y = y(x)$ убывает; при $x∈ (7;10]$ производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, $x =7$ является точкой минимума и наименьшего значения функция достигает в этой точке, и оно равно

y(7)= 49+-49= 14 7

Ответ: 14

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#32521

Найдите наименьшее значение функции

x2+-25 y = x

на отрезке $[1;10]$ .

Показать ответ и решение

Функция $y =y(x)$ определена при всех $x∈ ℝ∖{0}$ . Определим участки, на которых функция возрастает или убывает. Для этого найдем ее производную:

( 25)′ 25 x2− 25 y′ = x+ x- = 1− x2 =--x2--

Найдем нули производной:

y′ =0 ⇔ x2− 25 =0 ⇔ x= ±5

Производная не существует в точке $x= 0.$

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

Тогда из точек, где производная равна нулю или не существует, на отрезок $[1;10]$ попадает нуль производной $x =5$ . При $x∈ [1;5)$ производная отрицательна (для проверки можно подставить в производную точку из этого промежутка $x= 1$ ), то есть функция $y = y(x)$ убывает; при $x∈(4;10]$ производная положительна (подставляем $x= 10$ ), то есть функция возрастает. Следовательно, на отрезке $[1;10]$ функция имеет точку минимума $x= 5$ , в которой и достигается наименьшее значение на этом отрезке, и оно равно

y(5)= 52+-25= 10 5

Ответ: 10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#32505

Найдите наименьшее значение функции

∘-2-------- y = x − 6x+ 13

Показать ответ и решение

Функцию можно переписать в виде

∘ ----2---- y = (x− 3) +4

Эта функция является композицией двух функций: возрастающей $√ - y1 = x$ и возрастающей при $x> 3$ и убывающей при $x <3$ функции $2 y2 = (x− 3) + 4$ .

Следовательно, исходная функция возрастает при $x> 3$ и убывает при $x <3$ , то есть $x= 3$ является точкой минимума.

Следовательно, наименьшего значения функция достигает в точке $x= 3$ , и оно равно

∘ --------- √- y(3)= (3− 3)2+ 4= 4= 2

P.S. Композиция двух возрастающих или двух убывающих функций — возрастающая, а возрастающей и убывающей — убывающая.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#32504

Найдите точку минимума функции

∘-2-------- y = x − 6x+ 11

Показать ответ и решение

Функцию можно переписать в виде

∘ ----2---- y = (x− 3) +2

Эта функция является композицией двух функций: возрастающей $√ - y1 = x$ и возрастающей при $x> 3$ и убывающей при $x <3$ функции $2 y2 = (x− 3) + 2$ .

Следовательно, исходная функция возрастает при $x> 3$ и убывает при $x <3$ , то есть $x= 3$ является точкой минимума.

P.S. Композиция двух возрастающих или двух убывающих функций — возрастающая, а возрастающей и убывающей — убывающая.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#32501

Найдите точку минимума функции

∘-2-------- y = x + 6x+ 12

Показать ответ и решение

Функцию можно переписать в виде

∘ ----2---- y = (x+ 3) +3

Эта функция является композицией двух функций: возрастающей $√ - y1 = x$ и возрастающей при $x> −3$ и убывающей при $x < −3$ функции $2 y2 = (x+ 3) + 3$ .

Следовательно, исходная функция возрастает при $x> −3$ и убывает при $x< −3$ , то есть $x= −3$ является точкой минимума.

P.S. Композиция двух возрастающих или двух убывающих функций — возрастающая, а возрастающей и убывающей — убывающая.

Ответ: -3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#32500

Найдите точку максимума функции

∘ ---------2- y = −6+ 12x − x

Показать ответ и решение

Функцию можно переписать в виде

∘-------2--- y = − (x − 6) +30

Эта функция является композицией двух функций: возрастающей $√ - y1 = x$ и возрастающей при $x< 6$ и убывающей при $x >6$ функции $2 y2 = −(x− 6) +30$ .

Следовательно, исходная функция возрастает при $x< 6$ и убывает при $x >6$ , то есть $x= 6$ является точкой максимума.

P.S. Композиция двух возрастающих или двух убывающих функций — возрастающая, а возрастающей и убывающей — убывающая.

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#32498

Найдите точку максимума функции

∘ -------2- y = 4− 4x − x

Показать ответ и решение

Функцию можно переписать в виде

∘ ------2--- y = −(x+ 2) + 8

Эта функция является композицией двух функций: возрастающей $√ - y1 = x$ и возрастающей при $x< −2$ и убывающей при $x > −2$ функции $2 y2 = −(x+ 2) +8$ .

Следовательно, исходная функция возрастает при $x< −2$ и убывает при $x> −2$ , то есть $x= −2$ является точкой максимума.

P.S. Композиция двух возрастающих или двух убывающих функций — возрастающая, а возрастающей и убывающей — убывающая.

Ответ: -2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#32496

Найдите наибольшее значение функции

∘ -------2- y = 5− 4x − x

Показать ответ и решение

Функцию можно переписать в виде

∘ ------2--- y = −(x+ 2) + 9

Эта функция является композицией двух функций: возрастающей $√ - y1 = x$ и возрастающей при $x< −2$ и убывающей при $x > −2$ функции $2 y2 = −(x+ 2) +9$ .

Следовательно, исходная функция возрастает при $x< −2$ и убывает при $x> −2$ , то есть $x= −2$ является точкой максимума.

Следовательно, в ней достигается наибольшее значение, и оно равно

√---- y(−2)= 0+ 9= 3

P.S. Композиция двух возрастающих или двух убывающих функций — возрастающая, а возрастающей и убывающей — убывающая.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#32452

Найдите точку максимума функции $y =ln(x+ 5)− 2x + 9.$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x >− 5.$ Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

1 y′ = x+-5-− 2

Найдем нули производной:

y′ = 0 ⇒ x+ 5 =0,5 ⇔ x= − 4,5

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ (−5;−4,5)$ производная положительна, то есть функция $y = y(x)$ возрастает. При $x∈ (−4,5;+∞ )$ производная отрицательна, то есть функция убывает. Следовательно, $x= − 4,5$ является точкой максимума.

Ответ: -4,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#32451

Найдите точку максимума функции

2 y =2x − 5x+lnx− 3

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x >0$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ 1 4x2 − 5x+ 1 y = 4x − 5+ x =----x-----

Найдем нули производной:

y′ =0 ⇒ 4x2− 5x+ 1= 0 ⇔ x= 0,25;1

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ (0;0,25)$ производная положительна, то есть функция $y = y(x)$ возрастает; при $x∈(0,25;1)$ производная отрицательна, то есть функция убывает; при $x∈ (1;+∞ )$ производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, $x =0,25$ является точкой максимума.

Ответ: 0,25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#32450

Найдите точку минимума функции $2 y = 2x − 5x + lnx − 3.$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x >0.$ Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

1 4x2− 5x+ 1 y′ = 4x− 5+ x =----x-----

Найдем нули производной:

y′ = 0 ⇒ 4x2− 5x+ 1 =0 ⇔ x= 0,25;1

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ (0;0,25)$ производная положительна, то есть функция $y = y(x)$ возрастает. При $x ∈(0,25;1)$ производная отрицательна, то есть функция убывает. При $x∈ (1;+ ∞)$ производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, $x = 1$ является точкой минимума.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#32449

Найдите точку минимума функции $y = 4x− 4ln(x +7).$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x >− 7.$ Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

4 y′ = 4− x+-7

Найдем нули производной:

y′ = 0 ⇒ x + 7= 1 ⇔ x= − 6

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ (−7;−6)$ производная отрицательна, то есть функция $y =y(x)$ убывает. При $x∈ (−6;+∞ )$ производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, $x= −6$ является точкой минимума.

Ответ: -6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#32447

Найдите точку минимума функции $y = 2x− ln(x+ 3)+ 7.$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x >− 3.$ Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

1 y′ = 2− x+-3

Найдем нули производной:

y′ =0 ⇒ x+ 3= 1 ⇔ x = −2,5 2

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ (−3;−2,5)$ производная отрицательна, то есть функция $y = y(x)$ убывает; при $x∈ (−2,5;+ ∞)$ производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, $x= −2,5$ является точкой минимума.

Ответ: -2,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#32262

Найдите точку минимума функции $y = −21x2− x3+32.$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ∈ℝ$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ 2 y= −42x− 3x

Найдем нули производной:

′ y =0 ⇒ −3x(x+ 14)= 0 ⇔ x= −14;0

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

Следовательно, $x= −14$ является точкой минимума.

Ответ: -14

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#32252

Найдите точку минимума функции $y = 5+ 9x− x3. 3$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ∈ℝ$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ 2 y = 9− x

Найдем нули производной:

′ 2 y= 0 ⇒ x = 9 ⇔ x =±3

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

Следовательно, $x= −3$ является точкой минимума.

Ответ: -3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#32251

Найдите точку максимума функции $y = 5+ 9x − x3. 3$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ∈ℝ$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ 2 y = 9− x

Найдем нули производной:

′ 2 y= 0 ⇒ x = 9 ⇔ x =±3

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

Следовательно, $x= 3$ является точкой максимума.

Ответ: 3