11. Задачи на свойства графиков функций —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по ЕГЭ - Математика
Задачи на свойства графиков функций

Тема 11. Задачи на свойства графиков функций

11.01 Задачи на свойства графиков функций

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи на свойства графиков функций

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#73810

На рисунке изображен график функции $f(x) =pax.$ Найдите $f(4).$

$110xy$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024г. Вариант 5

Показать ответ и решение

График проходит через точки $A (1;1)$ и $B(2;5).$ Следовательно, эти точки удовлетворяет уравнению, задающему график. Тогда получаем следующую систему

{1= pa 5= pa2 { a =5 p= 0,2

Следовательно,

f(x)= 0,2⋅5x = 5x−1.

Тогда

4−1 f(4) = 5 = 125.

Ответ: 125

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#73811

На рисунке изображен график функции $f(x)= pax.$ Найдите значение $x,$ при котором $f (x)= 32.$

$110xy$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 6

Показать ответ и решение

График проходит через точки $A (0;4)$ и $B(2;1).$ Следовательно, эти точки удовлетворяет уравнению, задающему график. Тогда получаем следующую систему:

({ 0 ({ 4 =pa ⇔ a= 0,5 (1 =pa2 ( p= 4

Следовательно, $f(x)= 4⋅0,5x.$ Тогда

4⋅0,5x = 32 ⇔ 0,5x = 8 ⇔ x= − 3

Ответ: -3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#73812

На рисунке изображены части графиков функций $f(x) = k x$ и $g(x)= c +d. x$ Найдите ординату точки пересечения графиков этих функций.

$110xy$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 25

Показать ответ и решение

График функции $y = f(x)$ проходит через точки $(2;3)$ и $(6;1).$ Следовательно, эти точки удовлетворяют уравнению функции, значит, получаем следующую систему:

(| k { 3= 2 |( k 1= 6 k = 6 f(x)= -6 x

График функции $y = g(x)$ проходит через точки $(1;1)$ и $(3;−1),$ следовательно, система следующая:

(| c { 1= 1 +d |( −1= c + d 3 {c = 3 d = −2 g(x)= 3 − 2 x

Найдем абсциссу точки пересечения графиков:

6 = 3 − 2 x x 3 = −2 x x =− 3 2

Тогда ордината точки пересечения графиков равна

( 3) 6 f −2 = --3= − 4 − 2

Ответ: -4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#73813

На рисунке изображены части графиков функций $f(x) = k x$ и $g(x)= c +d. x$ Найдите абсциссу точки пересечения графиков этих функций.

$110xy$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 12

Показать ответ и решение

График функции $y = f(x)$ проходит через точку $(4;−3).$ Следовательно, эта точка удовлетворяет уравнению функции, значит, получаем следующую систему:

k 12 −3 = 4 ⇔ k = −12 ⇒ f(x)= −-x

График функции $y = g(x)$ проходит через точки $(2;−1)$ и $(4;0),$ следовательно, система следующая:

( |{ −1 = c+ d ({ c= −4 c2 ⇔ ⇒ g(x)= − 4+ 1 |( 0= 4 + d ( d= 1 x

Найдем абсциссу точки пересечения графиков:

− 12= − 4+ 1 ⇔ − 8 =1 ⇔ x= −8 x x x

Ответ: -8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#73816

На рисунке изображен график функции $f(x)= ax2+bx +c.$ Найдите $c.$

$110xy$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 13

Показать ответ и решение

График проходит через точки $(3;−1),$ $(5;− 3)$ и $(6;2).$ Следовательно, координаты этих точек удовлетворяют уравнению функции, значит, получаем следующую систему:

( |||{ −1 = 9a + 3b +c −3 = 25a +5b+ c |||( 2= 36a+ 6b+ c

Выразим $c$ из первых двух уравнений и приравняем:

−1− 9a− 3b= −3 − 25a − 5b ⇔ b =− 1− 8a

Подставим это $b$ в первое и третье уравнения:

({ ({ −1 = 9a − 3− 24a +c ⇔ a= 2 ( 2= 36a− 6− 48a+ c ( c= 32

Тогда $c =32.$

Ответ: 32

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#73818

На рисунке изображен график функции $f(x)= ax2+bx +c.$ Найдите $c.$

$110xy$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 14

Показать ответ и решение

График проходит через точки $(−8;0),$ $(−6;4)$ и $(− 4;− 4).$ Следовательно, координаты этих точек удовлетворяют уравнению функции, значит, получаем следующую систему:

( |||{ 0= 64a− 8b+ c 4= 36a− 6b+ c |||( −4 = 16a − 4b+ c

Сложим первое и третье уравнения, а второе умножим на 2:

(| ||{−4 = 80a − 12b+ 2c 8= 72a− 12b+ 2c |||( 0= 64a− 8b+ c

Вычтя из первого уравнения второе, получим

3 a =− 2

Выразим $c$ из исходных первого и третьего уравнений и приравняем:

8b− 64a= 4b− 16a − 4 b= 12a− 1= − 19

Тогда

c= 4b− 16a− 4= −56

Ответ: -56

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#32009

На рисунке изображён график функции $f (x)= kx +b.$ Найдите значение $x,$ при котором выполнено $f(x) =− 13,5.$

$xy110$

Показать ответ и решение

Определим коэффициенты $k$ и $b.$ Найдём $k$ как тангенс угла наклона прямой:

Δy 4− (− 3) 7 k = Δx = 3−-(−-1) = 4 = 1,75

Чтобы найти $b,$ подставим одну из точек прямой в уравнение с уже найденным коэффициентом $k.$ Подставим точку $(3;4) :$

4= 1,75 ⋅3+ b ⇔ 4= 5,25 +b ⇔ b = −1,25

Значит, функция имеет вид

f(x) =1,75x− 1,25

Имеем уравнение на $x:$

f(x)= −13,5 ⇔ 1,75x− 1,25 =− 13,5 ⇔ 7x − 5= −54 ⇔ x = −7

Ответ: -7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#31968

На рисунке изображён график функции вида $f(x)= ax2+bx +c,$ где числа $a$ , $b$ и $c$ — целые. Найдите значение $f(− 1).$

$xy110$

Показать ответ и решение

Любую параболу вида $2 f(x)= ax + bx +c$ можно представить в виде

2 f(x)= a(x− x0) + y0,

где $(x0;y0)$ — координаты ее вершины. По картинке несложно видеть, что вершина параболы имеет координаты $(4;1).$ Также ветви параболы направлены вверх, значит, функция имеет вид

f(x)= a(x− 4)2 +1, где a> 0

По картинке видно, что в точке $x = 3$ функция равна 4. Для того чтобы попасть в точку $(3;4)$ из вершины с координатами $(4;1),$ нам нужно сместиться на 1 влево и на 3 вверх. Тогда понятно, что перед нами график функции $y = 3x2,$ вершину которого сместили из точки $(0;0)$ в точку $(4;1).$ Значит, теперь мы полностью восстановили нашу функцию, она имеет вид

2 f(x)= 3(x− 4) + 1

Тогда

f(− 1)= 3(− 1− 4)2+ 1= 3 ⋅25 +1 = 76

Ответ: 76

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#35284

На рисунке изображены графики двух линейных функций, пересекающиеся в точке $A.$ Найдите абсциссу точки $A.$

$110xy$

Показать ответ и решение

Найдем уравнения прямых.

Определим коэффициенты $k$ и $b$ для нижней прямой. Найдём $k$ как тангенс угла наклона прямой:

Δy 0− (−2) 2 k = Δx-= 0−-(−1) = 1 = 2

Чтобы найти $b,$ подставим одну из точек на прямой в уравнение с уже рассчитанным коэффициентом $k.$ Подставим точку $(−1;−2):$

−2= 2 ⋅(− 1) +b ⇔ − 2= −2 +b ⇔ b =0

Значит, первая функция имеет вид $f1(x) =2x.$

Теперь определим коэффициенты $k$ и $b$ для верхней прямой. Найдём $k$ как тангенс угла наклона прямой:

Δy 4 − 0 4 k = Δx-= 0−-(−4) = 4 = 1

Чтобы найти $b,$ подставим одну из точек на прямой в уравнение с уже рассчитанным коэффициентом $k.$ Подставим точку $(−4;0):$

0 = 1⋅(− 4)+ b ⇔ 0= (−4)+ b ⇔ b= 4

Значит, вторая функция имеет вид

f2(x)= x+ 4

Теперь найдем абсциссу точки пересечения двух прямых.

f1(x)= f2(x) ⇔ 2x = x+ 4 ⇔ x= 4

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#35281

На рисунке изображены графики двух линейных функций, пересекающиеся в точке $A.$ Найдите абсциссу точки $A.$

$xy110$

Показать ответ и решение

Найдем уравнения прямых.

Определим коэффициенты $k$ и $b$ для нижней прямой. Найдём $k$ как тангенс угла наклона прямой:

Δy 2 − 0 2 k = Δx-= 1-− 0 = 1 = 2

Чтобы найти $b,$ подставим одну из точек на прямой в уравнение с уже рассчитанным коэффициентом $k.$ Подставим точку $(1;2) :$

2 =2 ⋅1+ b ⇔ 2= 2+ b ⇔ b= 0

Значит, первая функция имеет вид $f1(x) =2x.$

Теперь определим коэффициенты $k$ и $b$ для верхней прямой. Найдём $k$ как тангенс угла наклона прямой:

Δy- -3-− 0- 3 k = Δx = 0− (−3) = 3 = 1

Чтобы найти $b,$ подставим одну из точек на прямой в уравнение с уже расcчитанным коэффициентом $k.$ Подставим точку $(−3;0):$

0 = 1⋅(− 3)+ b ⇔ 0= (−3)+ b ⇔ b= 3

Значит, вторая функция имеет вид

f2(x)= x+ 3

Теперь найдем абсциссу точки пересечения двух прямых.

f1(x)= f2(x) ⇔ 2x = x+ 3 ⇔ x= 3

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#19947

На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите ординату точки пересечения графиков.

$xy110$

Показать ответ и решение

Способ 1.

Найдём уравнение функции $y(x)= kx+ b,$ график которой представляет из себя убывающую прямую, на которой отмечены точки $(1;4),$ $(5;−2).$ Найдём угловой коэффициент:

k = Δy-= −-2−-4= −1,5 Δx 5− 1

Получим уравнение функции в виде

y(x)= −1,5x +b

Найдём значение $b,$ подставив в уравнение точку $(1;4):$

4= −1,5⋅1+ b ⇔ b= 5,5

Получится уравнение

y(x)= −1,5x + 5,5

Найдём уравнение функции $g(x)= kx+ b,$ график которой представляет из себя возрастающую прямую, на которой отмечены точки $(−1;−5),$ $(1;2).$ Найдём угловой коэффициент:

Δg 2− (−5) k = Δx-= 1−-(−1) =3,5

Получим уравнение функции в виде

g(x)= 3,5x + b

Найдём значение $b,$ подставив в уравнение точку $(1;2):$

2= 3,5 ⋅1+ b ⇔ b= −1,5

Получится уравнение

g(x) =3,5x− 1,5

Теперь решим уравнение $y(x) = g(x):$

−1,5x+ 5,5 =3,5x− 1,5 ⇔ x = 1,4

Тогда ордината точки пересечения прямых равна

y(1,4)= −1,5⋅1,4+ 5,5= 3,4

Способ 2.

По картинке видим, что целые точки $(1;4)$ и $(5;− 2)$ принадлежат графику первой прямой $y(x)= kx+ b,$ поэтому можем составить систему из двух уравнений:

( ( {4 =f1(1) {4 = k1+ b1 ( ⇔ ( − 2= f1(5) − 2= 5k1+ b1 ( ( {k1 = 4− b1 ⇔ {b1 = 5,5 (− 2= 5(4 − b1)+ b1 (k1 = − 1,5

Также целые точки $(1;2)$ и $(− 1;− 5)$ принадлежат графику второй прямой $g(x)= kx +b,$ поэтому можем составить систему из двух уравнений:

( ( { 2= f2(1) { 2= k2+ b2 ( −5 = f2(−1) ⇔ ( −5= − k2+b2 ({ k = 2− b ({b = − 1,5 2 2 ⇔ 2 ( −5 = −(2− b2)+ b2 (k2 =3,5

Значит, функции имеют вид

y(x)= −1,5x+ 5,5, g(x)= 3,5x − 1,5

Аналогично первому способу решаем уравнение $y(x)= g(x)$ и получаем ответ.

Ответ: 3,4

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#18616

На рисунке изображены графики двух функций вида $y = kx+ b,$ которые пересекаются в точке $A (x0;y0).$ Найдите $x0.$

$xy110$

Показать ответ и решение

Первый способ.

Пусть $y = k1x +b1$ — уравнение первой прямой, $y = k2x+ b2$ — уравнение второй прямой.

Заметим, что первая прямая проходит через точки $(−1;4)$ и $(− 3;3).$ Если прямая проходит через точку на плоскости, то координаты этой точки обращают уравнение этой прямой в верное равенство. Тогда получаем систему из двух уравнений:

( ( { 4= k1⋅(−1)+ b1 {4= − k1+ b1 ⇔ ( 3= k1⋅(−3)+ b1 (1= 2k1 ( ( { b1 = 4+ k1 {b1 = 92 ( k1 = 1 ⇔ (k1 = 1 2 2

Значит, уравнение первой прямой имеет вид

x-+9- y = 2

Вторая прямая проходит через точки $(2;− 1)$ и $(− 1;− 4).$ Следовательно, получаем следующую систему:

( ( { −1= k2⋅2+ b2 ⇔ {− 1= 2k2+ b2 ( −4= k2⋅(−1)+ b2 (3 = 3k2 ( ( { b2 = −(2k2 +1) { b2 = −3 ( ⇔ ( k2 = 1 k2 = 1

Значит, уравнение второй прямой имеет вид

y = x − 3

Обе прямые проходят через точку $A (x0;y0)$ по условию, тогда имеем систему:

({ x+9 y0 = -02-- ⇒ x0− 3= x0+-9 ( y0 = x0− 3 2 2x0− 6= x0+ 9 ⇔ x0 = 15

Второй способ.

Если прямая $l$ на плоскости проходит через две точки $M (x ;y) 1 1 1$ и $M (x ;y ), 2 2 2$ то можем составить ее каноническое уравнение:

x− x1 y − y1 l : x2− x1-= y2−-y1

На рисунке видно, что одна из прямых проходит через точки $(− 1;4)$ и $(−3;3).$ Тогда имеем:

-x−-(−1)- y-− 4 x+-1- y−-4 − 3− (− 1) = 3− 4 ⇔ −2 = −1 x +1 x+ 9 --2--= y− 4 ⇔ y = -2---

Другая прямая проходит через точки $(2;−1)$ и $(− 1;− 4).$ Аналогично запишем ее каноническое уравнение:

x-− 2-= y-−-(−-1)-- ⇔ x−-2= y-+1 −1− 2 −4− (−1) − 3 − 3 x− 2= y+ 1 ⇔ y =x − 3

Если прямая проходит через точку на плоскости, то координаты этой точки обращают уравнение прямой в верное равенство. Обе прямые проходят через точку $A(x0;y0)$ по условию, тогда имеем систему:

({ x0+9- y0 = 2 ⇒ x0− 3= x0+-9 ( y0 = x0− 3 2 2x0− 6= x0+ 9 ⇔ x0 = 15

Ответ: 15

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#83754

На рисунке изображены графики функций $f(x)= a√x-$ и $g(x)= kx+ b,$ которые пересекаются в точках $A(1;3)$ и $B (x0;y0).$ Найдите $y0.$

$110xyA$

Показать ответ и решение

Найдём уравнение функции $g(x).$ По графику видно, что $k = 1,$ поскольку функция увеличивается на 4 при увеличении аргумента на 4. Также прямая проходит через точку $(− 3;− 1),$ откуда

− 1= 1⋅(−3)+ b ⇒ b= 2

Тогда уравнение прямой имеет вид

g(x)= x+ 2

Найдём уравнение функции $f(x).$ Подставим точку $(1;3)$ графика корня в уравнение функции:

f(1)= 3 ⇔ a ⋅1 = 3 ⇔ a= 3

Тогда уравнение корня имеет вид

√ - f(x) =3 x

Найдём координаты точек пересечения графиков, приравняв функции:

√- x +2 = 3 x

Сделаем замену $t =√x-$ и получим квадратное уравнение:

t2− 3t+ 2= 0 2 D = (− 3) − 4⋅2 =9 − 8= 1 t= 3±-1 =1; 2 2

Сделаем обратную замену и получим совокупность

⌊ ⌊ ⌈t =1 ⇔ ⌈x = 1 t =2 x = 4

Точке $B$ соответствует координата $x0 = 4.$ Подставим её в уравнение $g(x)$ и получим

y = g(4)= 4 +2 = 6 0

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#83441

На рисунке изображён график функции $f(x)= ax2+ bx+ c.$ Найдите $f(10).$

$110xy$

Источники: ЕГЭ 2024, досрочная волна

Показать ответ и решение

По картинке видно, что график функции $f (x)$ проходит через точки $(4;− 2),$ $(3;1)$ и $(6;4).$ Тогда можем составить систему уравнений:

( ( |{ f(4) =− 2 |{a ⋅42+b ⋅4+ c= −2 f(3) =1 ⇔ a ⋅32+b ⋅3+ c= 1 ⇔ |( f(6) =4 |(a ⋅62+b ⋅6+ c= 4 ( ( |{ 16a + 4b +c =− 2 |{ −7a− b= 3 ⇔ |( 9a+ 3b+c = 1 ⇔ |( 9a + 3b +c =1 ⇔ 36a + 6b +c =4 27a +3b =3 (| b= −7a− 3 (|b= − 7a − 3 ⇔ { 9a+ 3(− 7a− 3) +c =1 ⇔ {9a− 21a− 9+ c= 1 ⇔ |( 9a+ (− 7a− 3)= 1 |(2a= 4 ( ( |{ b= −7⋅2 − 3 |{ b= −17 ⇔ | −12⋅2+ c= 10 ⇔ | c= 34 ( a= 2 ( a= 2

Значит, функция имеет вид

2 f(x)= 2x − 17x+ 34.

Осталось найти $f(10):$

f(10)= 2⋅(10)2 − 17 ⋅(10)+ 34= 200− 170 +34 =64.

Ответ: 64

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#76267

На рисунке изображены графики функций $f(x) = a√x,$ $g(x)= kx+ b,$ которые пересекаются в точке $A.$ Найдите ординату точки $A.$

$110xy$

Показать ответ и решение

График функции $f(x)$ проходит через точку $(1;3),$ следовательно,

3 = a√1 ⇔ a = 3.

Значит, $f(x) =3√x.$

График функции $g(x)$ проходит через точки $(0;−4)$ и $(2;− 2),$ следовательно,

({ ({ −4 = k⋅0+ b ⇔ k = 1 ( −2 = 2k+ b ( b= −4

Значит, $g(x)= x − 4.$

Тогда координаты точки пересечения графиков функций $f(x)$ и $g(x)$ ищутся из системы

({ √- ({ √- y = 3 x ⇔ y =√-3 x ( y = x− 4 ( 3 x= x − 4

Сделаем замену $√x-= t.$ Тогда второе уравнение системы примет вид

t2− 3t− 4 =0 ⇔ t= −1;4

Так как $t≥ 0,$ то $√x-= t= 4.$ Следовательно, $y = 3√x = 3⋅4= 12.$

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#72207

На рисунке изображён график функции $f(x) = a + log x. b$ Решите уравнение $f(x) = 1.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Найдем координаты выделенных на графике точек $A(2;− 2)$ и $B(4;− 1)$ и подставим их в уравнение для $f(x) :$

{ − 2 = a+ log 2, b − 1 = a+ logb 4.

Вычтем из первого уравнения системы второе:

− 2− (− 1) = a + logb2− (a +logb4),

− 1 = logb2− logb 4,

2 − 1 = logb-, 4

− 1 = logb0,5.

По формуле перехода к новому основанию $logab = --1--: logba$

− 1 =--1---, log0,5b

log b = − 1, 0,5

log0,5b = log0,50,5−1 = log0,52,

b = 2.

Найдём коэффициент $a :$

− 2 = a+ log22,

− 2 = a+ 1,

− 3 = a.

Таким образом, $f(x ) = − 3 + log2x.$

Осталось решить уравнение $f(x) = 1 :$

− 3 + log2x = 1,

log2x = 4,

x = 16.

Ответ: 16

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#72022

На рисунке изображены графики функций $f(x)= a|x− b|+ c.$ Найдите наибольшее значение $x,$ при котором $f(x)= −5.$

$xy110$

Источники: Авторское Бабаев

Показать ответ и решение

Заметим, что $f(x)$ — функция «галочка» с вершиной в точке $(b;c).$ Из рисунка видим, что $c= 7,$ а $b =2,5,$ например, в силу симметрии точек $(1;3)$ и $(4;3)$ относительно прямой $x =2,5.$

Коэффициент $a$ найдём, рассмотрев точки $(2,5;7)$ и $(4;3).$ Эти точки находятся в области, где модуль раскрывается положительно, и поэтому

a = 3-− 7-= − 8 4− 2,5 3

Также это можно трактовать как то, что при $x> 2,5$ функция убывает на 8 при увеличении аргумента на 3. Заметим, что искомое значение -5 достигается, если из 3 отнять 8. А значение 3 получается при $x =4.$ Тогда при $x = 7$ функция будет равна -5. Причем $x= 4$ — наибольшее значение аргумента, где достигается это значение, так как второе такое же значение будет достигаться в симметричной точке, которая находится при $x < 2,5.$