Задача №75436: Алгебра. Исследование при всех значениях параметра — Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Тема 18. Задачи с параметром

18.04 Алгебра. Исследование при всех значениях параметра

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи с параметром

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#75436

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

-----1---√-- √-- -----1---√-- √ -- x2 − 5x + a + a = x2 − 5x − a − a

имеет хотя бы один корень.

Показать ответ и решение

Запишем ограничения, определяющие ОДЗ:

( |{ x2 − 5x +√a-⁄= 0, x2 − 5x − √a-⁄= 0, |( a ≥ 0.

(| 2 √ -- { − x2 +5x ⁄=√--a, |( x − 5x ⁄= a, a ≥ 0.

( |{(− x2 + 5x)2 ⁄= a, (x2 − 5x)2 ⁄= a, |( a ≥ 0.

Решим задачу переходом на плоскость параметра методом $xOa.$ Для этого выразим из уравнения значение $a :$

1 √-- 1 √-- x2 −-5x-+-√a-+ a − x2 −-5x-−-√a-+ a = 0,

-----1---√--− -----1---√--+ 2√a-= 0, x2 − 5x + a x2 − 5x − a

x2 − 5x− √a-− x2 + 5x − √a √ -- --2------√-----2------√---+ 2 a = 0, (x − 5x+ a)(x − 5x− a)

√-- ----------−-2-a----------- √ -- (x2 − 5x+ √a-)(x2 − 5x− √a-) + 2 a = 0.

Разделим уравнение на $− 2$ и вынесем общий множитель $√ -- a$ за скобку. В знаменателе применим формулу разности квадратов:

( ) √a- ------1----- − 1 = 0, (x2 − 5x )2 − a

$⌊ √a--= 0, ⌈ 1 --2-----2--- − 1 = 0. (x − 5x) − a$

$⌊ ⌈ a = 0, ------1----- = 1. (x2 − 5x)2 − a$

$[ a = 0, (x2 − 5x)2 − a = 1.$

$[ a = 0, 2 2 a = (x − 5x) − 1.$

Рассмотрим первый случай $a = 0.$ В этом случае исходное уравнение превращается в

--1---- ---1--- x2 − 5x = x2 − 5x.

Данное уравнение является тождеством на ОДЗ, то есть у него есть корни, к примеру, $x = 1,$ следовательно, $a = 0$ является частью ответа.

Рассмотрим второй случай $a = (x2 − 5x)2 − 1$ для всех остальных допустимых значений параметра. Проверим, выполняются ли ограничения на ОДЗ.

{ 2 2 2 2 (− x + 5x) ⁄= (x − 5x) − 1, (x2 − 5x)2 ⁄= (x2 − 5x)2 − 1.

{ (− (x2 − 5x))2 ⁄= (x2 − 5x)2 − 1, (x2 − 5x)2 ⁄= (x2 − 5x)2 − 1.

{ (x2 − 5x )2 ⁄= (x2 − 5x)2 − 1, (x2 − 5x )2 ⁄= (x2 − 5x)2 − 1.

{ 0 ⁄= − 1, 0 ⁄= − 1.

Данная система верна для всех $x,$ следовательно, нас устраивают все $a > 0.$

Ответ:

$a ∈ [0;+∞ )$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

С помощью верного рассуждения получены оба промежутка, входящие в ответ, с неверным включением—исключением концевых точек	3

С помощью верного рассуждения получен один промежуток, входящий в ответ	2

С помощью верного рассуждения получен один промежуток, входящий в ответ, с неверным включением—исключением концевых точек	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Специальные программы

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное обучениев Школково

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное обучениев Школково

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Бесплатное обучение
в Школково

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Бесплатное обучение
в Школково

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ