Алгебра. Исследование при всех значениях параметра —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по ЕГЭ - Математика
Алгебра. Исследование при всех значениях параметра

Тема 18. Задачи с параметром

18.04 Алгебра. Исследование при всех значениях параметра

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи с параметром

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#385

Решите уравнение

ax+ 3= 0

при всех значениях параметра $a.$

Показать ответ и решение

Уравнение можно переписать в виде

ax= −3

Рассмотрим два случая.

1) $a= 0.$

В этом случае левая часть равна 0, а правая — нет, следовательно, уравнение не имеет корней.

2) $a⁄= 0.$

Тогда $x = − 3. a$

Ответ:

$a = 0 ⇒ x∈ ∅$

$a⁄= 0 ⇒ x = − 3 a$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

Не рассмотрен случай $a =0$	3

Рассмотрены случаи $a =0,$ $a⁄= 0,$ но допущена ошибка	2

Верно рассмотрен случай $a= 0$	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#1708

Решите уравнение

2 ax +a = 0

при всех значениях параметра $a.$

Показать ответ и решение

Уравнение можно переписать в виде

2 ax =− a

Рассмотрим два случая.

1) $a= 0.$

В этом случае левая и правая части равны 0, следовательно, уравнение верно при любых значениях переменной $x.$

2) $a⁄= 0.$

Тогда $x = −a.$

Ответ:

$a = 0 ⇒ x∈ ℝ$

$a⁄= 0 ⇒ x = −a$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

Не рассмотрен случай $a =0$	3

Рассмотрены случаи $a =0,$ $a⁄= 0,$ но допущена ошибка	2

Верно рассмотрен случай $a= 0$	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#1299

Решите уравнение при всех значениях параметра $a$ :

x-−-a-= 0 x − 1

Показать ответ и решение

Данное уравнение равносильно

{ x = a x ⁄= 1

Следовательно, если $a = 1$ , то уравнение не имеет решений, если $a ⁄= 1$ , то корнем уравнения является $x = a$ .

Ответ:

$a = 1 ⇒ x ∈ ∅$ ;

$a ⁄= 1 ⇒ x = a$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#1298

Решите уравнение при всех значениях параметра $a$ :

(a2 + a)x − 2a2 = 3a

Показать ответ и решение

Данное уравнение линейного типа: $a(a + 1)x = a(2a + 3)$ .

1) Если $a = − 1$ , то уравнение примет вид $0 ⋅ x = − 1$ , что не имеет решений.

2) Если $a = 0$ , то уравнение примет вид $0 ⋅ x = 0$ . Решением будут $x ∈ ℝ$ .

3) Если $a ⁄= − 1;0$ , то корнем уравнения будет $x = a-(2a +-3)= 2a-+-3- a(a + 1) a + 1$ .

Ответ:

$a = 0 ⇒ x ∈ ℝ$ ;

$a = − 1 ⇒ x ∈ ∅$ ;

$a ⁄= − 1;0 ⇒ x = 2a+3 a+1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#1296

Решите при всех значениях параметра $a$ уравнение

ax − 3 = a2 − 2x

Показать ответ и решение

Уравнение можно преобразовать к виду $(a + 2)x = a2 + 3$ . Оно является уравнением линейного типа. Нужно рассмотреть два случая:

1) Если $a + 2 = 0$ , то есть $a = − 2$ , то уравнение примет вид $0 ⋅ x = 7$ . Данное уравнение не имеет решений.

2) Если $a ⁄= − 2$ , то уравнение можно преобразовать к виду $2 a--+-3 x = a + 2$ – это и есть корень этого уравнения.

Ответ:

$a = − 2 ⇒ x ∈ ∅$ ;

$a ⁄= − 2 ⇒ x = a2a++32$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#75436

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

-----1---√-- √-- -----1---√-- √ -- x2 − 5x + a + a = x2 − 5x − a − a

имеет хотя бы один корень.

Показать ответ и решение

Запишем ограничения, определяющие ОДЗ:

( |{ x2 − 5x +√a-⁄= 0, x2 − 5x − √a-⁄= 0, |( a ≥ 0.

(| 2 √ -- { − x2 +5x ⁄=√--a, |( x − 5x ⁄= a, a ≥ 0.

( |{(− x2 + 5x)2 ⁄= a, (x2 − 5x)2 ⁄= a, |( a ≥ 0.

Решим задачу переходом на плоскость параметра методом $xOa.$ Для этого выразим из уравнения значение $a :$

1 √-- 1 √-- x2 −-5x-+-√a-+ a − x2 −-5x-−-√a-+ a = 0,

-----1---√--− -----1---√--+ 2√a-= 0, x2 − 5x + a x2 − 5x − a

x2 − 5x− √a-− x2 + 5x − √a √ -- --2------√-----2------√---+ 2 a = 0, (x − 5x+ a)(x − 5x− a)

√-- ----------−-2-a----------- √ -- (x2 − 5x+ √a-)(x2 − 5x− √a-) + 2 a = 0.

Разделим уравнение на $− 2$ и вынесем общий множитель $√ -- a$ за скобку. В знаменателе применим формулу разности квадратов:

( ) √a- ------1----- − 1 = 0, (x2 − 5x )2 − a

$⌊ √a--= 0, ⌈ 1 --2-----2--- − 1 = 0. (x − 5x) − a$

$⌊ ⌈ a = 0, ------1----- = 1. (x2 − 5x)2 − a$

$[ a = 0, (x2 − 5x)2 − a = 1.$

$[ a = 0, 2 2 a = (x − 5x) − 1.$

Рассмотрим первый случай $a = 0.$ В этом случае исходное уравнение превращается в

--1---- ---1--- x2 − 5x = x2 − 5x.

Данное уравнение является тождеством на ОДЗ, то есть у него есть корни, к примеру, $x = 1,$ следовательно, $a = 0$ является частью ответа.

Рассмотрим второй случай $a = (x2 − 5x)2 − 1$ для всех остальных допустимых значений параметра. Проверим, выполняются ли ограничения на ОДЗ.

{ 2 2 2 2 (− x + 5x) ⁄= (x − 5x) − 1, (x2 − 5x)2 ⁄= (x2 − 5x)2 − 1.

{ (− (x2 − 5x))2 ⁄= (x2 − 5x)2 − 1, (x2 − 5x)2 ⁄= (x2 − 5x)2 − 1.

{ (x2 − 5x )2 ⁄= (x2 − 5x)2 − 1, (x2 − 5x )2 ⁄= (x2 − 5x)2 − 1.

{ 0 ⁄= − 1, 0 ⁄= − 1.

Данная система верна для всех $x,$ следовательно, нас устраивают все $a > 0.$

Ответ:

$a ∈ [0;+∞ )$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

С помощью верного рассуждения получены оба промежутка, входящие в ответ, с неверным включением—исключением концевых точек	3

С помощью верного рассуждения получен один промежуток, входящий в ответ	2

С помощью верного рассуждения получен один промежуток, входящий в ответ, с неверным включением—исключением концевых точек	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#72214

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение $√x-−-2a-⋅cosx = √x-−-2a⋅sinx$ имеет ровно один корень на отрезке $[0;π].$

Показать ответ и решение

Запишем ограничения, определяющие ОДЗ уравнения:

x− 2a ≥ 0,

x ≥ 2a.

Найдём корни уравнения:

√------ √------ x − 2a⋅cosx = x − 2a⋅sin x,

√x-−-2a-⋅cosx − √x-−-2a⋅sinx = 0,

√------ x − 2a⋅(cosx− sin x) = 0,

$[ √ ------ x− 2a = 0, cos x− sin x = 0.$

Во второй строке совокупности записано однородное тригонометрическое уравнение первой степени $cosx− sin x = 0$ . Если хотя бы одно слагаемое равно 0, то нулю равно и другое, и мы получаем противоречие с ОТТ.

Следовательно, ни синус, ни косинус не равны 0 и на одну из этих функций можно поделить обе части уравнения. Разделим второе уравнение на $sin x,$ а обе части первого возведём в квадрат.

$[ x− 2a = 0, ctg x− 1 = 0.$

$⌊ x = 2a, ⌈ π- x = 4 +πn, n ∈ ℤ.$

Рассмотрим уравнение $x = 2a.$ Проанализируем систему, при всех решениях которой корень лежит как на данном отрезке, так и в ОДЗ:

{ 0 ≤ 2a ≤ π, 2a ≥ 2a.

{0 ≤ a ≤ π, 2 a ∈ R.

Таким образом, корень $x = 2a$ нам подходит при $π a ∈ [0;2].$

Рассмотрим уравнение $π x = 4 + πn,n ∈ ℤ.$ Из всех корней данной серии на данный отрезок попадает только $π 4.$ Проанализируем систему, при всех решениях которой корень лежит как на данном отрезке, так и в ОДЗ:

{ π 0 ≤ 4 ≤ π, π4 ≥ 2a.

{ a ∈ R, π8 ≥ a.

Таким образом, корень $x = π4$ нам подходит при $a ∈ (− ∞; π8].$

Рассмотрим случай совпадения корней:

π 2a = -, 4

a = π. 8

Проанализируем найденные промежутки:

1. При $a ∈ (− ∞; 0)$ требованиям задачи удовлетворяет только один корень $π . 4$ Это часть ответа.

2. При $a ∈ [0; π) 8$ требованиям задачи удовлетворяют оба корня $π 4$ и $2a.$ Это не часть ответа, корней слишком много.

3. При $a = π 8$ корни $π 4$ и $2a$ совпадают и требованиям задачи удовлетворяет только один уникальный корень $π. 4$ Это часть ответа.

4. При $a ∈ (π; π] 8 2$ требованиям задачи удовлетворяет только один корень $2a.$ Это часть ответа.

5. При $a ∈ (π;+∞ ) 2$ требованиям задачи не удовлетворяет ни один корень. Это не часть ответа.

Ответ:

$[ ] a ∈ (− ∞; 0)∪ π-; π 8 2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

С помощью верного рассуждения получены оба промежутка, входящие в ответ, с неверным включением—исключением концевых точек	3

С помощью верного рассуждения получен один промежуток, входящий в ответ	2

С помощью верного рассуждения получен один промежуток, входящий в ответ, с неверным включением—исключением концевых точек	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#44620

Решите неравенство

x< a x

при всех значениях параметра $a.$

Показать ответ и решение

Преобразуем исходное неравенство:

x− a < 0 ⇔ x2−-a < 0 (⋆) x x

Неравенства данного вида решаются методом интервалов. Для этого нужно найти нули числителя и знаменателя. Нуль знаменателя $x0 = 0,$ нули числителя ищутся из уравнения $x2 = a.$ В зависимости от знака $a$ это уравнение имеет или не имеет решений.

1.

Если $a < 0,$ то уравнение $x2 = a$ не имеет решений. Решим в таком случае неравенство $(⋆) :$

$PICT$

Получим

x∈ (− ∞;0)

2.

Если $a =0,$ то решением уравнения $x2 =a$ будет $x =x0 = 0.$ Решим в таком случае неравенство $(⋆):$

$PICT$

Получим

x∈ (− ∞;0)

3.

Если $a >0,$ то решением уравнения $x2 =a$ будут $x1 = − √a$ и $x2 = √a.$ Заметим, что $x < x , 1 0$ $x >x , 2 0$ следовательно, нули числителя и знаменателя однозначно располагаются друг относительно друга. Решим в таком случае неравенство $(⋆):$

$PICT$

Получим

√ - √- x ∈ (− ∞;− a)∪ (0; a)

Ответ:

$a ∈(−∞; 0] ⇒ x∈ (− ∞;0)$

$√- √- a∈ (0;+ ∞) ⇒ x ∈ (− ∞;− a)∪ (0; a)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#44619

Решите неравенство

ax− 3> a2− 2x

при всех значениях параметра $a.$

Показать ответ и решение

Неравенство линейное. Перепишем неравенство в виде

(a+ 2)x> a2+ 3

1.

Пусть $a+ 2 =0 ⇔ a= −2.$

Тогда неравенство имеет вид $0 ⋅x> 7,$ что неверно ни при каком $x.$ Следовательно, решение неравенства в этом случае

x∈ ∅

2.

Пусть $a+ 2 >0 ⇔ a> −2.$

Тогда поделим обе части неравенства на $a+ 2,$ знак неравенства при этом не поменяется:

a2 +3 x> -a+-2

Решением неравенства в этом случае будут

(a2 +3 ) x∈ -a+-2 ;+ ∞

3.

Пусть $a+ 2 <0 ⇔ a< −2.$

Тогда поделим обе части неравенства на $a+ 2,$ знак неравенства при этом поменяется:

2 x< a--+3 a+ 2

Решением неравенства в этом случае будут

( a2+ 3) x∈ − ∞;-a+-2

Ответ:

$( ) a ∈(−∞; −2) ⇒ x ∈ −∞; a2+-3 a+ 2$

$a∈ {−2} ⇒ x ∈∅$

$( 2 ) a∈ (−2;+∞ ) ⇒ x∈ a--+3;+ ∞ a+ 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#36432

Решите неравенство при всех $a$

∘------2 x +2a− 2 3ax+ a > 0

Показать ответ и решение

Данное неравенство равносильно

∘------2 2 2 2 3ax+ a < x+ 2a ⇔ 0≤ 4(3ax+ a )<(x+ 2a)

Получаем систему из двух неравенств

(|a (x + a) ≥0 |||{ 3 |x(x− 8a)>0 |||( x +2a> 0

1) Рассмотрим $a> 0$ . Тогда получим

(| a |||{x ≥− 3 |x(x− 8a)>0 |||( x >− 2a

Тогда $− 2a <− a< 0< 8a 3$ , следовательно, решением системы является $∈ [− a;0) ∪(8a;+∞ ) 3$ .

2) Рассмотрим $a= 0$ . Тогда получим

(||x∈ R |{ |||x(x− 0)> 0 ⇔ x > 0 (x> 0

3) Рассмотрим $a< 0$ . Тогда

( |||{x ≤− a3 x(x− 8a)>0 |||( x >− 2a

Тогда $a − 2a >− 3 > 0> 8a$ , следовательно, $x ∈∅$ .

Ответ:

$a >0 ⇒ x∈ [− 1a;0)∪ (8a;+∞) 3$

$a= 0 ⇒ x> 0$

$a< 0 ⇒ x∈ ∅$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#2638

Решите при всех значениях параметра $a$ уравнение

2 (a − 9)x= 5(a+ 3)

Показать ответ и решение

Данное уравнение линейного типа. Рассмотрим два случая.

1) $a2− 9= 0,$ то есть $a= ±3.$

При $a= 3$ уравнение примет вид $0 ⋅x = 30.$ Решений у такого уравнения нет.

При $a= −3$ уравнение примет вид $0⋅x= 0.$ Решением такого уравнения являются $x ∈ℝ.$

2) $a2− 9⁄= 0,$ то есть $a⁄= ±3.$

Тогда уравнение можно переписать в виде

5(a-+3)- -5-- x = a2− 9 = a− 3

Это и есть корень данного уравнения.

Ответ:

$a = 3 ⇒ x∈ ∅$

$a= − 3 ⇒ x∈ ℝ$

$a⁄= ±3 ⇒ x= a5−3$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#2637

Решите при всех значениях параметра $a$ уравнениие $(2a − 1)x2 + 3ax + 5a − 1 = 0$ .

Показать ответ и решение

Нужно определить, при каких $a$ данное уравнение не имеет решений, имеет одно решение, два решения и т.д., и какие.

Данное уравнение квадратного типа при всех $a$ таких, что $2a − 1 ⁄= 0$ (ведь по определению уравнение $2 Ax + Bx + C = 0$ квадратное, если $A ⁄= 0$ ). Следовательно, нам нужно рассмотреть два случая, в каждом из которых мы определенным образом будем решать уравнение.

1) Пусть $2a − 1 = 0$ , то есть $a = 0,5$ . Тогда уравнение принимает вид $1,5x + 1,5 = 0$ . Решением данного уравнения будет $x = − 1$ . Следовательно, при $a = 0,5$ уравнение имеет единственное решение $x = − 1$ .

2) Пусть $2a − 1 ⁄= 0$ , то есть $a ⁄= 0,5$ . Тогда уравнение квадратное. Квадратное уравнение может иметь 0, 1 или 2 корня в зависимости от дискриминанта (меньше 0, равен 0 или больше 0 соответственно).

Найдем дискриминант: $D = (3a)2 − 4(2a − 1)(5a − 1) = − 31a2 + 28a − 4$ .

2.1) Итак, если $D < 0$ , то уравнение не имеет решений:

( √ -) ( √ -) − 31a2 + 28a − 4 < 0 ⇒ 31 a − 14-+-6--2- a − 14 −-6--2- > 0 31 31

Решением данного неравенства будут $( √ -) ( √- ) a ∈ − ∞; 14−-6-2 ∪ 14+6-2;+ ∞ 31 31$ . При этих значениях $a$ уравнение не имеет решений.

2.2) Если $D = 0$ , то есть $√- a = 14±361-2$ , то уравнение имеет единственный корень. Для квадратного уравнения $Ax2 + Bx + C = 0$ с $D = 0$ корень можно искать по формуле абсциссы вершины:

− B − 3a x0 = ---- ⇒ x0 = ---------- (в наш ем сл учае) 2A 2(2a − 1)

При $14+6√2 a = 31$ получаем

√-- − 3-(14-+-6-2-) x0 = √ -- 2(12 2 − 3)

При $14−6√2 a = 31$ получаем

√ -- x0 = 3(14 −√-6--2)- 2(12 2 + 3)

2.3) Если $D > 0$ , то есть $( √- √-) a ∈ 14−-6-2; 14+6-2 31 31$ , то уравнение имеет два решения:

√----------------- − 3a ± − 31a2 + 28a − 4 x = ------------------------- 2(2a − 1)

Учитывая, что $a ⁄= 0,5$ , то получаем $( 14−-6√2- ) ( 14+6-√2) a ∈ 31 ;0,5 ∪ 0,5; 31$ .

Важно не забыть, что случай 2.2 рассматривается при $a ⁄= 0,5$ , то есть в подслучаях 2.1, 2.2, 2.3 мы должны исключить это значение параметра, если оно входит в какой-то промежуток.

Ответ:

$a = 0, 5 ⇒ x = − 1$ ;

$√- √- a = 14+6-2 ⇒ x = −3(14√+6-2)- 31 2(12 2−3)$ ;

$14−6√2 3(14−6√2) a = 31 ⇒ x = 2(12√2+3)$ ;

$( √-) ( √ - ) a ∈ − ∞; 14−6-2 ∪ 14+6--2;+ ∞ ⇒ x ∈ ∅ 31 31$ ;

$( ) ( ) 14−6√2 14+6√2 −3a±√-−31a2+28a−4- a ∈ 31 ;0,5 ∪ 0,5; 31 ⇒ x = 2(2a− 1)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#2564

Решите уравнение

a-− 5-= 1 ax+ 6

при всех значениях параметра $a.$

Показать ответ и решение

Перепишем уравнение в виде

{ ax-− a-+-11 = 0 ⇔ ax = a− 11 ax +6 ax ⁄= −6

1) Если $a= 0,$ то система равносильна

{ 0 = −11 0 ⁄= −6

Данная система не имеет решений.

2) Если $a⁄= 0,$ то система равносильна

(| a−-11 {x = a |(x ⁄= − 6 a

Если $a = 5,$ то есть когда $a-−-11 6 a = −a ,$ то система не имеет решений.

Если $a ⁄= 5,$ то система имеет решение $x= a−-11. a$

Ответ:

$a = 0,a =5 ⇒ x∈ ∅$

$a−-11 a⁄= 0,a⁄= 5 ⇒ x = a$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

Не рассмотрен случай $a = 0$ или $a= 5$	3

Рассмотрены случаи $a = 0,$ $a ⁄= 0,$ $a= 5,$ но либо допущена вычислительная ошибка, либо не учтена ОДЗ	2

Верно рассмотрен случай $a =0$	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#2203

Решите уравнение

2 ax--−-(2a-+-3-)x-+-6- a + 3x − 6 = 0

при всех значениях параметра $a$ .

Показать ответ и решение

Рассмотрим два случая:

1) $a = 0$ . Тогда уравнение примет вид:

− 3x + 6 3x − 6 ---------= 0 ⇒ -------= 0 3x − 6 3x − 6

Данное уравнение не имеет решений ни при каких значениях $x$ .

2) $a ⁄= 0$ . Тогда данное уравнение равносильно системе:

( { ax2 − (2a + 3)x + 6 = 0 ( x0 ⁄= 6 −-a- 3

Дискриминант первого уравнения $2 2 D = 4a + 12a + 9 − 24a = (2a − 3)$ . Таким образом, $D ≥ 0$ при всех $a ⁄= 0$ , значит, уравнение всегда имеет два корня (может быть, совпадающих):

3- x1 = a ; x2 = 2

Рассмотрим случаи (не забывая учесть, что $a ⁄= 0$ ):

2.1) $x1 = x2 ⇒ a = 3- 2$ . Тогда система равносильна:

( { x = 2 ⇒ x = 2 ( x0 ⁄= 3- 2

Таким образом, исходное уравнение при $3 a = -- 2$ имеет один корень $x = 2$ .

2.2) $x ⁄= x ⇒ a ∈ (− ∞; 0) ∪ (0; 3) ∪ (3;+ ∞ ) 1 2 2 2$ . В этом случае система равносильна:

( 3 ||{ x1 = -- ил и x2 = 2 a || 6 − a ( x0 ⁄= --3---

Данная система будет иметь один корень, если какой-то из $x 1$ или $x 2$ совпадет с $x 0$ , и два корня, если ни один из них не совпадет с $x0$ .

2.2.1) Какой-то из $x1$ или $x2$ совпал с $x0$ .

Решая уравнение $x = x 1 0$ , получим $a = 3$ . Следовательно, при $a = 3$ уравнение имеет один корень $x = 2$ .

Решая уравнение $x2 = x0$ , получим $a = 0$ . Но в нашем случае $a ⁄= 0$ , следовательно, $x2 ⁄= x0$ .

2.2.2) Ни один из $x1$ или $x2$ не совпал с $x0$ . Значит, при $a ⁄= 3$ и $3 3 a ∈ (− ∞; 0) ∪ (0; 2) ∪ (2;+ ∞ )$ система будет иметь два корня: $x = 3-;x = 2 1 a 2$ .

Ответ:

$a = 0 ⇒ x ∈ ∅$

$a ∈ {32;3} ⇒ x = 2$

$a ∈ (− ∞; 0) ∪ (0; 3) ∪ (3;3) ∪ (3;+ ∞ ) ⇒ x ∈ {3;2} 2 2 a$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#1326

Найдите все значения параметра $p$ , при которых все решения уравнения $p (p + 2x ) = 7x + 2p + 5$ удовлетворяют неравенству $x ≥ − 3$ .

Показать ответ и решение

Уравнение можно переписать в виде $(2p − 7)x = − p2 + 2p + 5$ . Это уравнение линейного типа.

1) Если $2p − 7 = 0$ , то уравнение примет вид $0 ⋅ x = − 0,25$ . Решений у такого уравнения нет. Следовательно, это значение параметра нам не подходит, так как $x ∈ ∅$ не удовлетворяет $x ≥ − 3$ .

2) Если $2p − 7 ⁄= 0$ , то корень уравнения $2 x = − p-+-2p-+-5- 2p − 7$ . Проверим, когда он удовлетворяет условию $x ≥ − 3$ :

−-p2-+-2p-+-5 p2-−-8p-+-16- 2p − 7 ≥ − 3 ⇒ 2p − 7 ≤ 0

Решениями полученного неравенства будут $p ∈ (− ∞; 3,5) ∪ {4}$ . Заметим, что здесь уже учтено условие $p ⁄= 72$ .

Ответ:

$p ∈ (− ∞; 3,5) ∪ {4}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#1304

При всех значениях параметра $a$ решите неравенство

( 2 ) a − a x <3 − 3a

Показать ответ и решение

Данное неравенство линейного типа. Хотелось бы разделить обе части неравенства на $a2− a,$ но мы не имеем права этого делать, пока не уверены в том, что $a2− a ⁄= 0.$ К тому же при делении обеих частей неравенства на число мы обязаны учитывать знак числа, чтобы определить, менять знак неравенства или нет. Поэтому рассмотрим несколько случаев.

1) $a2− a= 0,$ откуда

a = 0, a =1

Если $a = 0,$ то неравенство примет вид $0 ⋅x < 3.$ Это верно для любого $x.$

Если $a = 1,$ то неравенство примет вид $0 ⋅x < 0.$ Это не верно ни для какого $x.$

2) $a2− a> 0,$ откуда

a ∈(−∞; 0)∪(1;+∞ )

Тогда можно разделить обе части неравенства на $a2− a,$ причем знак неравенства менять не нужно. Получим

−3(a−-1)- 3 x< a(a− 1) ⇒ x< − a

3) $2 a − a< 0,$ откуда

a ∈(0;1)

Тогда можно разделить обе части неравенства на $a2− a,$ но знак неравенства менять нужно. Получим

3 x> − a

Ответ:

$a = 0 ⇒ x∈ ℝ$

$a= 1 ⇒ x ∈∅$

$( ) 3 a∈ (0;1) ⇒ x ∈ −a;+ ∞$

$( ) a∈ (−∞; 0) ∪(1;+ ∞ ) ⇒ x∈ −∞; − 3 a$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

Не рассмотрен случай $a(a− 1) =0$	3

Верно рассмотрен хотя бы один из случаев $a(a− 1)>0$ / $a(a − 1))<0,$ либо рассмотрены оба случая, но есть ошибка при решении неравенства	2

Верно рассмотрен случай $a(a − 1)= 0$	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#1303

Решите уравнение при всех значениях параметра $q$ :

(cos(πq) − 1) ⋅ x = q2 + q − 6

Показать ответ и решение

Правую часть уравнения можно переписать в виде $(q + 3 )(q − 2)$ . Уравнение линейного типа. Рассмотрим два случая: $cos(πq ) − 1 = 0$ и $cos(πq) − 1 ⁄= 0$ .

1) $cos(πq) − 1 = 0$ . Тогда $cos(πq) = 1$ , откуда $πq = 2πn, n ∈ ℤ$ . Следовательно, $q = 2n, n ∈ ℤ$ . Тогда уравнение примет вид

0 ⋅ x = (2n + 3)(2n − 2)

Данное уравнение либо имеет бесконечное множество решений ( $x ∈ ℝ$ ), либо не имеет решений. В случае бесконечного множества решений правая часть уравнения равна 0, то есть $(2n + 3)(2n − 2 ) = 0$ . Существует ли такое целое $n$ , что выполняется данное равенство? Да, только при $n = 1$ выражение $(2n + 3 )(2n − 2)$ равно нулю. При этих значениях $n$ параметр $q = 2$ .
Таким образом, при $q = 2$ решением уравнения будут $x ∈ ℝ$ .
В случае отсутствия решений правая часть не равна нулю. Очевидно, что это выполняется при всех $n ⁄= 1$ . Таким образом, при $q = 2n, n ∈ ℤ∖{1 }$ уравнение не имеет решений.

2) $cos(πq) − 1 ⁄= 0$ , то есть $q ⁄= 2n,n ∈ ℤ$ . Тогда уравнение линейное и можно выразить $x$ :

x = (q-+-3)(q-−-2) cos(πq ) − 1

Таким образом, при $q ⁄= 2n,n ∈ ℤ$ уравнение имеет единственное решение.

Ответ:

$q = 2 ⇒ x ∈ ℝ$ ;

$q = 0;− 2;±4; ±6; ±8;... ⇒ x ∈ ∅$ ;

$(q + 3)(q − 2) q ∈ ℝ ∖{0; ±2;±4; ±6; ±8; ...} ⇒ x = -------------- cos(πq) − 1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#1297

Решите при всех значениях параметра $a$ уравнение

|2ax − 4| = a

Показать ответ и решение

При $a < 0$ уравнение не имеет решений, так как левая часть неотрицательна. При $a = 0$ уравнение равносильно $2 ⋅ 0 ⋅ x − 4 = 0 ⇒ 0 = 4$ и также не имеет решений.
При $a > 0$ уравнение равносильно

⌊ 4 + a [ |x = -2a--- 2ax − 4 = a ⇒ | 2ax − 4 = − a ⌈ 4 − a x = ------ 2a

следовательно, имеет два различных корня.

Ответ:

$a ≤ 0 ⇒ x ∈ ∅$ ;

$a > 0 ⇒ x = 4±2aa$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#1295

Решите при всех значениях параметра уравнение

√ ----- x− a =2

Показать ответ и решение

Данное уравнение можно переписать в виде $x− a= 4$ при условии, что $x− a ≥0.$ Следовательно, получаем систему

{ x= 4 +a x≥ a

Если $4 +a ≥ a,$ то корень $x = 4+ a$ удовлетворяет условию $x ≥a,$ то есть система имеет единственное решение $x = 4+ a.$

Если $4 +a < a,$ то корень $x = 4+ a$ не удовлетворяет условию $x ≥ a,$ то есть система не имеет решений.

Решением неравенства $4+ a≥ a$ являются все $a ∈ℝ.$ Следовательно, при всех $a$ исходное уравнение имеет единственное решение $x= 4+ a.$

Ответ:

$a ∈ℝ ⇒ x= 4+ a$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#568

Решите уравнение

∘ -------- ∘ -------- √ -------- 3 (a + x )2 + 4 3 (a − x)2 = 5 3 a2 − x2

при всех значениях параметра $a$ .

Показать ответ и решение

Рассмотрим два случая:

1) $a = 0$ . Тогда уравнение принимает вид

√3--- √3--- √3---- √3--- x2 + 4 x2 = 5 − x2 ⇒ 10 x2 = 0 ⇒ x = 0

2) $a ⁄= 0$ . Заметим, что $x = a$ не является корнем уравнения, поэтому разделим правую и левую части уравнения на $∘ -------- 3 (a − x )2$ :

∘ ---------- ∘ ---------- ∘ --------- ∘ ---------- ( )2 ( )2 2 2 ( )2 ∘ ------ 3 -a +-x + 4 3 a −-x- − 5 3-a-−--x- = 0 ⇔ 3 a +-x- − 5 3 a-+-x-+ 4 = 0 a − x a − x (a − x)2 a − x a − x

Полученное уравнение с помощью замены $∘ -a +-x 3------ = t a − x$ сводится к квадратному уравнению $2 t − 5t + 4 = 0$ , корнями которого являются $t = 1$ и $t = 4$ . Сделаем обратную замену:

⌊∘ ------ ⌊ 3 a-+-x-= 1 a-+-x- = 1 ⌊ x = 0 || a − x |a − x |∘ ------ ⇒ |⌈a + x ⇒ ⌈ 63 ⌈ 3 a-+-x-= 4 ------ = 64 x = ---a a − x a − x 65

Ответ:

$a ∈ (− ∞; 0) ∪ (0;+∞ ) ⇒ x ∈ {0; 6635a}$

$a ∈ {0} ⇒ x ∈ {0 }$

Предыдущий раздел

Следующий раздел