Тема 18. Задачи с параметром
18.04 Алгебра. Исследование при всех значениях параметра
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи с параметром
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#1303

Решите уравнение при всех значениях параметра q  :

(cos(πq) − 1) ⋅ x = q2 + q − 6
Показать ответ и решение

Правую часть уравнения можно переписать в виде (q + 3 )(q − 2)  . Уравнение линейного типа. Рассмотрим два случая: cos(πq ) − 1 = 0  и cos(πq) − 1 ⁄= 0  .

 

1) cos(πq) − 1 = 0  . Тогда cos(πq) = 1  , откуда πq = 2πn, n ∈ ℤ  . Следовательно, q = 2n, n ∈ ℤ  . Тогда уравнение примет вид

0 ⋅ x = (2n + 3)(2n −  2)
Данное уравнение либо имеет бесконечное множество решений (x ∈ ℝ  ), либо не имеет решений. В случае бесконечного множества решений правая часть уравнения равна 0, то есть (2n + 3)(2n − 2 ) = 0  . Существует ли такое целое n  , что выполняется данное равенство? Да, только при n =  1  выражение (2n + 3 )(2n −  2)  равно нулю. При этих значениях n  параметр q = 2  .
Таким образом, при q = 2  решением уравнения будут x ∈ ℝ  .
В случае отсутствия решений правая часть не равна нулю. Очевидно, что это выполняется при всех n ⁄=  1  . Таким образом, при q = 2n, n ∈ ℤ∖{1 } уравнение не имеет решений.

 

2) cos(πq) − 1 ⁄= 0  , то есть q ⁄= 2n,n ∈  ℤ  . Тогда уравнение линейное и можно выразить x  :

x = (q-+-3)(q-−-2)
      cos(πq ) − 1
Таким образом, при q ⁄= 2n,n ∈ ℤ  уравнение имеет единственное решение.
Ответ:

q = 2  ⇒   x ∈ ℝ  ;

 

q = 0;− 2;±4; ±6; ±8;... ⇒   x ∈ ∅  ;

 

                                       (q + 3)(q − 2)
q ∈ ℝ ∖{0; ±2;±4; ±6; ±8; ...} ⇒  x =  --------------
                                        cos(πq) − 1

 

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!