Задача №75183: Функции. Исследование функции на возрастание/убывание — Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Тема 18. Задачи с параметром

18.17 Функции. Исследование функции на возрастание/убывание

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи с параметром

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#75183

АН уже не ребёнок, однако за свой тяжкий педагогический труд тоже заслуживает подарка на Новый Год от Деда Мороза! К выбору подарка для АН Дед Мороз подошёл оригинально: он помнил, что любимый номер АН в профильном ЕГЭ по математике — номер с параметром — и выдумал следующую параметрическую задачку.
Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых модуль разности ординат точек экстремума функции

f(x) = ax3 + 6ax2 − 15ax+ a

больше 1296.

Показать ответ и решение

Начнём с рассмотрения случая $a = 0.$

f(x) = 0⋅x3 + 6⋅0⋅x2 − 15 ⋅0⋅x + 0 ≡ 0.

У постоянной функции нет точек экстремума, и разность между их ординатами быть больше 1296 не может.

Теперь рассмотрим случай $a ⁄= 0.$
Найдем производную функции $f′(x ) :$

f′(x) = 3ax2 + 12ax − 15a.

Найдём критические точки производной (экстремумы):

3ax2 + 12ax − 15a = 0,

2 2 2 D = 144a + 4 ⋅3a⋅15a = 324a = |18a| ,

$⌊ −-12a+-18a | x1 = 6a = 1, ⌈ − 12a−-18a x2 = 6a = − 5.$

Заметим, что вне зависимости от значения параметра $\text{[math]}$ абсциссы точек экстремума неизменны. Следовательно, нам всего лишь следует решить такое неравенство:

|f(− 5)− f(1)| > 1296.

Вычислим значения функции в точках экстремума и решим получившееся неравенство:

|(− 125a+ 150a+ 75a +a) − (a + 6a− 15a+ a)| > 1296,

|− 125a+ 150a+ 75a + a− a− 6a + 15a − a| > 1296,

|108a| > 1296,

|a| > 12.

Раскроем модуль по определению и получим:
для положительных значений $a$ неравенство $a > 12,$
для отрицательных значений $a$ неравенство $− a > 12,$ решением которого является $a < − 12.$

Ответ:

$a ∈ (− ∞; − 12)∪ (12;+ ∞ )$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

С помощью верного рассуждения получены оба промежутка, входящие в ответ, с неверным включением—исключением концевых точек	3

С помощью верного рассуждения получен один промежуток, входящий в ответ	2

С помощью верного рассуждения получен один промежуток, входящий в ответ, с неверным включением—исключением концевых точек	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Специальные программы

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное обучениев Школково

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное обучениев Школково

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Бесплатное обучение
в Школково

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Бесплатное обучение
в Школково

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ