Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра , при каждом из которых неравенство
Перепишем неравенство в виде:
Пусть , – функции. Тогда по условию задачи необходимо, чтобы промежуток, для которого график лежит не выше графика , содержал ровно одну целую точку.
Заметим, что графиком функции является уголок, вершина которого скользит по прямой .
Правая ветвь уголка задается уравнением при ; левая ветвь —
при .
1) Найдем значение параметра, при котором правая ветвь уголка касается параболы (т.к. если уголок
находится левее этого положения, то неравенство не имеет решений).
. Если касается в точке , то равно коэффициенту при в уравнении
, то есть:
Т.к. касается , то , откуда находим значение параметра .
Таким образом, при правая ветвь касается параболы:
Заметим, что при существует ровно одно решение для неравенства, и это , что является целочисленным значением. Следовательно, нам подходит.
2) Заметим, что при вершина уголка находится в точке и уголок имеет две точки
пересечения с параболой: и . Следовательно, решением неравенства является отрезок
(т.к. на этом отрезке уголок находится не выше параболы), содержащий три целых точки ( и
). А вот при (но ) левая ветвь уголка не пересекает параболу, а правая ветвь
пересекает параболу в двух точках, причем одна находится между и , а вторая между и . То
есть в промежуток, удовлетворяющий неравенству, будет входить ровно одна целая точка .
Следовательно, все нам подходят.
3) Заметим, что если вершина уголка находится в точке (то есть ), то левая ветвь уголка касается параболы (в этой точке). Действительно, это можно проверить, поступив так же, как мы поступили в первом пункте: . Если касается в точке , то равно коэффициенту при в уравнении , то есть:
Следовательно, при решением неравенства является единственная точка , которая является целой, то есть нам подходит.
Заметим также, что при уголок будет находится всегда выше параболы, то есть неравенство не будет иметь решений.
4) Рассмотрим ситуацию, когда . При этих правая ветвь уголка пересекает параболу в
точке , а вот левая ветвь пересекает параболу в какой-то точке . Следовательно,
чтобы неравенство имело единственное целочисленное решение, этим решением должно быть и
точка , в которой левая ветвь пересекает параболу, должна удовлетворять: (оранжевый
уголок).
Поэтому найдем значение , при котором левая ветвь уголка пересекает параболу в точке :
Теперь найдем значение , при котором левая ветвь уголка пересекает параболу в точке :
То есть при решением неравенства является отрезок , содержащий 2 целые точки (); при решением неравенства является отрезок , содержащий одну целую точку ().
Следовательно, при решением будет отрезок , который содержит одну целую точку . Такие значения нам подходят.
Таким образом, итоговый ответ:
при целочисленное решение ;
при целочисленное решение ;
при целочисленное решение .
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!