Тема 16. Сложные задачи прикладного характера
16.04 Банковский кредит: дифференцированный платеж
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела сложные задачи прикладного характера
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#81561

В июле некоторого года Максим взял кредит в банке на 7 лет на сумму S  тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь сумма долга увеличивается на 15% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

В тот и только тот момент, когда долг впервые стал менее 0,5S  тыс. рублей, Максим может взять кредит в другом банке на сумму, равную остатку долга в первом банке, чтобы сразу с ним рассчитаться.

При этом второй банк выдает кредит на следующих условиях:

— на выплату кредита дается 7 лет;

— каждый январь сумма долга увеличивается на t%  по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

Найдите наибольшее целое значение t,  при котором Максиму стоит принять предложение второго банка, то есть такое, при котором суммарная переплата по кредитам в первом и втором банках меньше переплаты по кредиту только в первом банке (без прибегания к помощи другого банка).

Показать ответ и решение

Пусть r = 0,01 ⋅15 = 0,15.  Составим таблицу, позволяющую отслеживать сумму долга в первом банке:

|---|--------------------|----------------------|----------|
|Год|Д-олг до-начисления %|Долг после начисления %-Выплата--|
| 1 |         S          |       S+ r⋅S         |r⋅S + 1S  |
|---|---------6----------|------6------6--------|--6---71---|
|-2-|---------7S---------|------7S+-r⋅-7S-------|r⋅7S+-7S--|
|...|---------...---------|---------...----------|---...----|
|-5-|---------37S---------|------37S+-r⋅-37S-------|r⋅ 37S+-17S-|
| 6 |         27S         |      27S+ r⋅ 27S       |r⋅ 27S+ 17S |
|-7-|---------1S---------|------1S+-r⋅-1S-------|r⋅ 1S+-1S-|
--------------7-----------------7------7-----------7---7---|

Переплата в первом банке составит

       (    6  5   4  3   2  1)
P1 = rS⋅ 1 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 4rS

Заметим, что сумма долга станет меньше 0,5S  в конце 4-го года (после 4-го платежа). Следовательно, если клиент решит воспользоваться услугами второго банка, то сумма долга во втором банке составит 3
7S.  Рассмотрим таблицу, позвляющую отслеживать сумму долга во втором банке, взяв за p = 0,01t,  A = 37S :

|---|--------------------|---------------------|-----------|
|Год-|Д-олг до начисления %|Долг после начисления-%-Выплата--|
| 1 |         A          |       A+ p⋅A        | p⋅A + 17A  |
|-2-|--------6A----------|------6A+-p⋅ 6A------|p-⋅ 6A-+-1A-|
|---|--------7-----------|------7-----7--------|---7----7--|
|...|--------...---------|---------...---------|----...----|
--7----------17A-----------------17A+-p⋅ 17A-------p-⋅ 17A-+-17A--

Тогда если кредит сначала взят в первом банке, а после 4-х лет пользования этим кредитом клиент перешел во второй банк, то переплата равна

      (            )     (                      )
P2 = rS 1+ 6+ 5 + 4  + pA  1 + 6+ 5 + 4+ 3 + 2+ 1  = 22rS+ 12pS
           7  7   7           7  7   7  7   7  7    7      7

Необходимо, чтобы P1 − P2 > 0:

     22     12                      r         15
4rS−  7 rS − 7 pS > 0 |:S > 0 ⇔  p < 2  ⇒   t<  2  ⇒   t =7
Ответ:

7

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!