Банковский кредит: дифференцированный платеж —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по ЕГЭ - Математика
Банковский кредит: дифференцированный платеж

Тема 16. Сложные задачи прикладного характера

16.04 Банковский кредит: дифференцированный платеж

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела сложные задачи прикладного характера

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#1934

Для покупки стиральной машины хозяйка Мария Александровна взяла кредит в банке сроком на 5 месяцев под 12% с учетом того, что выплачивать кредит она будет раз в месяц после начисления процентов дифференцированными платежами. На сколько рублей больше в таком случае заплатит за стиральную машину хозяйка, если в магазине стиральная машина продается за 35000 рублей?

Показать ответ и решение

Так как кредит взят на 5 месяцев и выплачиваться будет дифференцированными платежами, то долг каждый месяц после платежа уменьшается на $1 5$ часть.

Составим таблицу, ведя все вычисления в тыс. рублей:

|------|-----------------|----------------|----------| |М есяц | наДчоилсгл пеонсиляе % | пСлуамтмежаа |Д опллгат пеожсале |------|-----------------|----------------|----------| | | | 1 | 4 | |1 | 35+ 0,12 ⋅35 | 0,12⋅35+ 5 ⋅35 | 5 ⋅35 | |------|-----------------|----------------|----------| | | 4 4 | 4 1 | 3 | |2 | 5 ⋅35+ 0,12 ⋅5 ⋅35|0,12 ⋅5 ⋅35+ 5 ⋅35 5 ⋅35 | |------|-----------------|----------------|----------| | | | | | |3 | 3⋅35+ 0,12 ⋅ 3⋅35|0,12 ⋅ 3⋅35+ 1 ⋅35 2 ⋅35 | | | 5 5 | 5 5 | 5 | |------|-----------------|----------------|----------| | | 2 2 | 2 1 | 1 | |4 | 5 ⋅35+ 0,12 ⋅5 ⋅35|0,12 ⋅5 ⋅35+ 5 ⋅35 5 ⋅35 | |------|-----------------|----------------|----------| | | 1 1 | 1 1 | | |5 | 5 ⋅35+ 0,12 ⋅5 ⋅35|0,12 ⋅5 ⋅35+ 5 ⋅35 0 | ------------------------------------------------------

Сумма всех платежей и есть сумма, которую выплатит хозяйка банку за время кредитования. Таким образом, если из этой суммы вычесть сумму кредита, то мы найдем, сколько составила переплата $R$ по кредиту в тыс. рублей:

( ) ( ) R = 0,12⋅35+ 1 ⋅35 + 0,12 ⋅ 4⋅35+ 1 ⋅35 + 5 5 5 ( 3 1 ) ( 2 1 ) + 0,12 ⋅5 ⋅35+ 5 ⋅35 + 0,12⋅5 ⋅35 + 5 ⋅35 + ( 1 1 ) + 0,12⋅5 ⋅35+ 5 ⋅35 − 35= ( 4 3 2 1) = 0,12 ⋅35 ⋅ 1+ 5 + 5 + 5 + 5 =0,12⋅35⋅3= 12,6

Таким образом, переплата составила 12 600 рублей.

Ответ: 12 600 рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#1701

10 лет назад Григорий брал в банке кредит на 4 года, причем Григорий помнит, что выплачивал он кредит дифференцированными платежами и переплата по кредиту составила 32,5% от кредита. Под какой годовой процент был взят тогда кредит?

Показать ответ и решение

Обозначим за $y$ — годовой процент по кредиту, а за $A$ руб. — сумму кредита. Составим таблицу:

|----|------------|---------------|----------------|----------| |Год | Д олг до | Долг после | Сумма |Долг после| |----|начисления-%-|--начисления %--|----платежа-----|-платеж-а--| | | | y | y 1 | 3 | |1 | A | A+ 100 ⋅A | 100 ⋅A + 4 ⋅A | 4 ⋅A | |----|------------|---------------|----------------|----------| | | | | | | |2 | 3⋅A |3 ⋅A+ -y- ⋅ 3⋅A| y--⋅ 3⋅A + 1 ⋅A | 2⋅A | | | 4 |4 100 4 | 100 4 4 | 4 | |----|------------|---------------|----------------|----------| |3 | 2⋅A |2 ⋅A+ -y- ⋅ 2⋅A| y--⋅ 2⋅A + 1 ⋅A | 1A | | | 4 |4 100 4 | 100 4 4 | 4 | |----|------------|---------------|----------------|----------| | | 1 |1 y 1 | y 1 1 | | |4 | 4 ⋅A |4 ⋅A+ 100 ⋅4 ⋅A| 100-⋅4 ⋅A + 4 ⋅A | 0 | --------------------------------------------------------------

Переплата по кредиту составит

R = -y-⋅A + -y-⋅ 3 ⋅A+-y- ⋅ 2⋅A+ 100 100 4 100 4 + -y-⋅ 1 ⋅A=-y- ⋅A⋅ 5 = yA 100 4 100 2 40

Так как переплата в итоге составила 32,5% от суммы кредита, то

yA-= 0,325A ⇒ y = 13 40

Ответ:

$13$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#17309

Семья взяла в банке ипотечный кредит под 10% годовых на 8 лет. Условия погашения кредита следующие: по истечении каждого года заемщик погашает банку начисленные проценты за год и $1 8$ часть основной суммы. Какую сумму семья взяла в банке, если последний платеж, которым она полностью погасила кредит, составил 605 тысяч рублей? Ответ дайте в миллионах рублей.

Показать ответ и решение

Из условия можно сделать вывод, что система платежей по кредиту дифференцированная.

Пусть в ипотеку было взято $A$ тыс. рублей. Составим таблицу:

|----|-------------------|----------------------|------------| |Год-|Долг-до начисления-%|Д-олг после начисления-%--П-латеж----| |1---|--------A----------|-------A-+-0,1A--------|-0,1A+-18A---| |2 | 78A | 78A+ 0,1 ⋅ 78A |0,1⋅ 78A + 18A | |...-|--------...--------|----------...----------|----...-----| |----|--------1----------|------1-------1-------|----1----1--| -8------------8A----------------8A+-0,1-⋅8A-------0,1⋅8A-+-8A--|

Таким образом, последний платеж равен

1 1 8A +0,1⋅8A = 605 A = 4400

Следовательно, в кредит было взято 4400 тыс. рублей, что равно 4,4 млн рублей.

Ответ: 4,4 млн рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#2414

Банк выдает кредит на следующих условиях:

— раз в год банк начисляет на текущий долг некоторый процент годовых;

— раз в год после начисления процентов клиент обязан внести платеж в счет погашения кредита, причем платежи вносятся таким образом, чтобы сумма долга уменьшалась каждый год на одну и ту же величину;

— отношение наибольшего платежа к наименьшему платежу равно $17:9.$

Сколько процентов составит переплата от кредита, если взять такой кредит на 9 лет?

Показать ответ и решение

Из условия следует, что кредит должен выплачиваться дифференцированными платежами.
Пусть в банке взято $A$ рублей в кредит. Если $r%$ – процентная ставка в банке, то обозначим величину $0,01r = p$ . Тогда можно составить таблицу:

|----|----------------------|-------------------------|----------| Год Д олг до начисления проц. Д олг после начисления проц. П лате&#x0436 |2---|----------8A----------|--------8A+-p⋅-8A--------|p⋅ 8A-+91A| |...--|----------9...----------|--------9--...--9---------|--9-...-9--| |9---|----------1A----------|--------1A+-p⋅-1A--------|p⋅ 1A-+-1A| ----------------9--------------------9------9------------9----9--

Так как система выплат дифференцированная, то наибольший платеж – первый, а наименьший – последний. Следовательно,

pA+ 19A 17 1 p⋅ 1A-+-1A-= 9- ⇔ p= 8 9 9

Тогда переплата по кредиту равна

8 7 1 ( 8 7 1) pA+ p⋅ 9A+ p⋅ 9A+ ⋅⋅⋅+p ⋅9A = p⋅A⋅ 1+ 9 + 9 + ⋅⋅⋅+ 9 = 5pA

Следовательно, переплата составила от кредита

5pA-⋅100% = 500p% = 62,5%. A

Ответ: 62,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#1937

В феврале 2015 года Аркадий Петрович взял кредит в банке под 13% годовых. Выплатить кредит он должен восемью платежами, вносимыми на счет раз в год после начисления процентов на оставшуюся сумму долга. Долг при этом должен уменьшаться каждый год равномерно.

Сколько рублей составит переплата по кредиту, если наибольший платеж на 91000 рублей больше наименьшего платежа?

Показать ответ и решение

Фраза «долг при этом должен уменьшаться каждый год равномерно» означает, что кредит будет выплачиваться дифференцированными платежами.

Пусть Аркадий Петрович взял в банке $A$ рублей. Так как кредит должен быть выплачен восемью платежами, то он взят на 8 лет. Составим таблицу.

|----|---------------|---------------|----------| |Год | Д олг после | С умма |Д олг после |----|-начисления %--|----платеж-а----|-платежа--| |1 | A + 0,13⋅A | 0,13⋅A + 18 ⋅A | 78 ⋅A | |----|7----------7---|-----7-----1---|---6------| |2---|8 ⋅A-+-0,13⋅-8 ⋅A|0,13⋅8 ⋅A-+-8 ⋅A--8-⋅A----| |3 |6⋅A + 0,13⋅ 6⋅A |0,13⋅ 6⋅A + 1⋅A| 5 ⋅A | |----|85----------85---|-----85-----81---|---84------| |4---|8 ⋅A-+-0,13⋅-8 ⋅A|0,13⋅8 ⋅A-+-8 ⋅A--8-⋅A----| |5 |4⋅A + 0,13⋅ 4⋅A |0,13⋅ 4⋅A + 1⋅A| 3 ⋅A | |----|83----------83---|-----83-----81---|---82------| |6---|8 ⋅A-+-0,13⋅-8 ⋅A|0,13⋅8 ⋅A-+-8 ⋅A--8-⋅A----| |7 |2⋅A + 0,13⋅ 2⋅A |0,13⋅ 2⋅A + 1⋅A| 1 ⋅A | |----|8----------8---|-----8-----8---|---8------| -8----18 ⋅A-+-0,13⋅-18 ⋅A-0,13⋅ 18 ⋅A-+-18 ⋅A--0------

Заметим, что все платежи состоят из двух частей. Вторая часть одинакова для всех платежей и равна $1 8 ⋅A$ рублей. Первая часть меняется, причем в первом платеже первая часть — наибольшая, а в последнем — наименьшая. Значит, первый платеж — наибольший, а последний — наименьший. Таким образом, получаем следующее уравнение:

( ) ( ) 0,13 ⋅A+ 1 ⋅A − 0,13 ⋅ 1⋅A + 1⋅A = 91000 8 8 8 ( 1) 0,13⋅A 1− 8 = 91000 ⇔ A = 800000

Тогда переплата по кредиту равна сумме всех платежей за вычетом суммы кредита:

( 7 6 5 4 3 2 1) R =0,13⋅A ⋅ 1+ 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 = 468000

Ответ: 468 000 рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#1936

Каков процент годовых в банке по кредиту, который выдается на 7 лет, если сумма, выплаченная банку за все годы кредитования, составляет 144% от суммы кредита? При этом погашение кредита происходит раз в год после начисления процентов платежами, уменьшающими долг равномерно.

Показать ответ и решение

Фраза «погашение кредита происходит платежами, уменьшающими долг равномерно» означает, что кредит будет выплачиваться дифференцированными платежами.

Пусть кредит выдается на сумму $A$ рублей. Если $y%$ — процентная ставка в банке, то в первый год после начисления процентов долг увеличится на величину в рублях, равную

-y-⋅A = 0,01y⋅A 100

Тогда во второй год после начисления процентов долг увеличится на величину в рублях, равную

-y- 6 6 100 ⋅7 ⋅A = 0,01y⋅ 7 ⋅A

Далее аналогично. Составим таблицу:


Год	Долг после	Сумма	Долг после
	начисления %	платежа	платежа

1	$A + 0,01y⋅A$	$1 0,01y⋅A + 7 ⋅A$	$6 7 ⋅A$

2	$6⋅A + 0,01y⋅ 6⋅A 7 7$	$0,01y⋅ 6 ⋅A + 1⋅A 7 7$	$5⋅A 7$

3	$5⋅A + 0,01y⋅ 5⋅A 7 7$	$0,01y⋅ 5 ⋅A + 1⋅A 7 7$	$4⋅A 7$

4	$4⋅A + 0,01y⋅ 4⋅A 7 7$	$0,01y⋅ 4 ⋅A + 1⋅A 7 7$	$3⋅A 7$

5	$37 ⋅A + 0,01y⋅ 37 ⋅A$	$0,01y⋅ 37 ⋅A + 17 ⋅A$	$27 ⋅A$

6	$27 ⋅A + 0,01y⋅ 27 ⋅A$	$0,01y⋅ 27 ⋅A + 17 ⋅A$	$17 ⋅A$

7	$17 ⋅A + 0,01y⋅ 17 ⋅A$	$0,01y⋅ 17 ⋅A + 17 ⋅A$	0

Сумма, выплаченная по этому кредиту за все годы кредитования, равна сумме всех платежей:

( ) S = 0,01y ⋅A 1+ 6+ 5 + 4+ 3 + 2+ 1 + 7⋅ 1 ⋅A= 7 7 7 7 7 7 7 = 0,04y ⋅A+ A = A ⋅(1+ 0,04y)

Так как эта сумма составляет 144% от суммы кредита, то

S = 1,44A ⇒ 1+ 0,04y =1,44 ⇔ y% = 11%

Ответ: 11%

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#81879

В июле 2019 года Тимофей взял кредит в банке на 6 лет на сумму 600 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь сумма долга увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

— в июле 2025 года долг должен быть выплачен полностью.

В любой момент за плату в 5 тыс. рублей банк дает возможность своему клиенту погасить долг досрочно, при этом выплатив банку штраф в размере $r%$ от остатка долга на этот момент. Таким образом, клиент в любой момент может выбрать один из двух вариантов:

— продолжать выплачивать кредит на установленных банком условиях;

— закрыть кредит досрочно на описанных выше условиях.

В декабре 2023 года у Тимофея появились свободные средства и он решил сразу досрочно закрыть кредит. Найдите наибольшее целое $r,$ при котором Тимофею выгодно будет это сделать.

Показать ответ и решение

Составим таблицу, позволяющую отслеживать долг в течение шести лет пользования кредитом, приняв за $S = 600$ тыс. рублей.

|----|-------------------|----------------------|-----------| |Год-|Долг до-начисления-%|Долг-после-начисления-%-|--Выплата--| | 1 | S | S+ 0,2⋅S | 0,2⋅S + 1S | |----|--------5----------|------5-------5-------|----5---61--| |-2--|--------64S---------|------64S+-0,2⋅-64S------|0,2-⋅64S+-61S-| |-3--|--------6S---------|------6S+-0,2⋅-6S------|0,2-⋅6S+-6S-| |-4--|--------36S---------|------36S+-0,2⋅-36S------|0,2-⋅ 36S+-16S| | 5 | 26S | 26S+ 0,2⋅ 26S |0,2 ⋅ 26S+ 16S| |-6--|--------1S---------|------1S+-0,2⋅-1S------|0,2-⋅ 1S+-1S| --------------6-----------------6-------6------------6---6---

Заметим, что к декабрю 2023 года Тимофей успеет внести четвертый платеж по кредиту и его долг составит $26S.$ Следовательно, в случае, если Тимофей решит погасить кредит досрочно, вместо последних двух платежей ( $0,2⋅ 26S + 16S$ и $0,2⋅ 1S+ 1S 6 6$ ) ему необходимо будет выплатить банку сумму, равную $(2S+ 0,01r⋅ 2S + 5) 6 6$ тыс. рублей.

Если Тимофею выгодно погасить кредит досрочно, то переплата в случае досрочного погашения кредита должна быть меньше переплаты в случае погашения кредита за шесть лет дифференцированными платежами. Поэтому получаем следующее неравенство:

( ) 0,2 ⋅ 3S− 5 0,01r⋅2S+5 − 0,2⋅ 2S + 0,2⋅ 1 S < 0 ⇒ r < ----6-2-- ⇒ r <27,5 6 6 6 0,01⋅ 6S

Следовательно, наибольшее целое $r$ равно 27.

Ответ: 27

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#81563

В июле некоторого года Максим взял кредит в банке на 9 лет на сумму $S$ тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь сумма долга увеличивается на $t%$ по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

В тот и только тот момент, когда долг впервые стал менее $0,5S$ тыс. рублей, Максим может взять кредит в другом банке на сумму, равную остатку долга в первом банке, чтобы сразу с ним рассчитаться.

При этом второй банк выдает кредит на следующих условиях:

— на выплату кредита дается 9 лет;

— каждый январь сумма долга увеличивается на 19% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

Найдите наименьшее целое значение $t,$ при котором Максиму стоит принять предложение второго банка, то есть такое, при котором суммарная переплата по кредитам в первом и втором банках меньше переплаты по кредиту только в первом банке (без прибегания к помощи другого банка).

Показать ответ и решение

Пусть $r = 0,01t.$ Составим таблицу, позволяющую отслеживать сумму долга в первом банке:

|---|--------------------|----------------------|----------| |Год|Д-олг до-начисления %|Долг после начисления %-Выплата--| | 1 | S | S+ r⋅S |r⋅S + 1S | |---|---------8----------|------8------8--------|--8---91---| |-2-|---------9S---------|------9S+-r⋅-9S-------|r⋅9S+-9S--| |...|---------...---------|---------...----------|---...----| |-6-|---------49S---------|------49S+-r⋅-49S-------|r⋅ 49S+-19S-| |...| ... | ... | ... | |-9-|---------1S---------|------1S+-r⋅-1S-------|r⋅ 1S+-1S-| --------------9-----------------9------9-----------9---9---|

Переплата в первом банке составит

( 8 7 6 5 4 3 2 1) P1 = rS ⋅ 1+ 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 =5rS

Заметим, что сумма долга станет меньше $0,5S$ в конце 5-го года (после 5-го платежа). Следовательно, если клиент решит воспользоваться услугами второго банка, то сумма долга во втором банке составит $4 9S.$ Рассмотрим таблицу, позвляющую отслеживать сумму долга во втором банке, взяв за $p = 0,01⋅19,$ $A = 49S :$

|---|--------------------|---------------------|-----------| |Год-|Д-олг до начисления %|Долг после начисления-%-Выплата--| | 1 | A | A+ p⋅A | p⋅A + 19A | |-2-|--------8A----------|------8A+-p⋅ 8A------|p-⋅ 8A-+-1A-| |---|--------9-----------|------9-----9--------|---9----9--| |...|--------...---------|---------...---------|----...----| --9----------19A-----------------19A+-p⋅ 19A-------p-⋅ 19A-+-19A--

Тогда если кредит сначала взят в первом банке, а после 5-ти лет пользования этим кредитом клиент перешел во второй банк, то переплата равна

( ) ( ) P2 = rS 1+ 8+ 7 + 6+ 5 +pA 1+ 8 + 7+ 6 + 5+ 4 + 3+ 2 + 1 = 35-rS+ 20pS 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9

Необходимо, чтобы $P1 − P2 > 0:$

35 20 5rS − 9 rS− 9 pS > 0 |:S > 0 ⇔ r− 2p> 0 ⇒ t> 2⋅19 ⇒ t= 39

Ответ: 39

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#81561

В июле некоторого года Максим взял кредит в банке на 7 лет на сумму $S$ тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь сумма долга увеличивается на 15% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

При этом второй банк выдает кредит на следующих условиях:

— на выплату кредита дается 7 лет;

— каждый январь сумма долга увеличивается на $t%$ по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

Найдите наибольшее целое значение $t,$ при котором Максиму стоит принять предложение второго банка, то есть такое, при котором суммарная переплата по кредитам в первом и втором банках меньше переплаты по кредиту только в первом банке (без прибегания к помощи другого банка).

Показать ответ и решение

Пусть $r = 0,01 ⋅15 = 0,15.$ Составим таблицу, позволяющую отслеживать сумму долга в первом банке:

|---|--------------------|----------------------|----------| |Год|Д-олг до-начисления %|Долг после начисления %-Выплата--| | 1 | S | S+ r⋅S |r⋅S + 1S | |---|---------6----------|------6------6--------|--6---71---| |-2-|---------7S---------|------7S+-r⋅-7S-------|r⋅7S+-7S--| |...|---------...---------|---------...----------|---...----| |-5-|---------37S---------|------37S+-r⋅-37S-------|r⋅ 37S+-17S-| | 6 | 27S | 27S+ r⋅ 27S |r⋅ 27S+ 17S | |-7-|---------1S---------|------1S+-r⋅-1S-------|r⋅ 1S+-1S-| --------------7-----------------7------7-----------7---7---|

Переплата в первом банке составит

( 6 5 4 3 2 1) P1 = rS⋅ 1 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 4rS

Заметим, что сумма долга станет меньше $0,5S$ в конце 4-го года (после 4-го платежа). Следовательно, если клиент решит воспользоваться услугами второго банка, то сумма долга во втором банке составит $3 7S.$ Рассмотрим таблицу, позвляющую отслеживать сумму долга во втором банке, взяв за $p = 0,01t,$ $A = 37S :$

|---|--------------------|---------------------|-----------| |Год-|Д-олг до начисления %|Долг после начисления-%-Выплата--| | 1 | A | A+ p⋅A | p⋅A + 17A | |-2-|--------6A----------|------6A+-p⋅ 6A------|p-⋅ 6A-+-1A-| |---|--------7-----------|------7-----7--------|---7----7--| |...|--------...---------|---------...---------|----...----| --7----------17A-----------------17A+-p⋅ 17A-------p-⋅ 17A-+-17A--

Тогда если кредит сначала взят в первом банке, а после 4-х лет пользования этим кредитом клиент перешел во второй банк, то переплата равна

( ) ( ) P2 = rS 1+ 6+ 5 + 4 + pA 1 + 6+ 5 + 4+ 3 + 2+ 1 = 22rS+ 12pS 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7

Необходимо, чтобы $P1 − P2 > 0:$

22 12 r 15 4rS− 7 rS − 7 pS > 0 |:S > 0 ⇔ p < 2 ⇒ t< 2 ⇒ t =7

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#80092

15-го января планируется взять кредит в банке на сумму $2,4$ млн рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Найдите среднее арифметическое значений первых 12 выплат.

Показать ответ и решение

Все вычисления будем проводить в миллионах рублей. Пусть $S = 2,4$ миллионов рублей.

Составим таблицу выплат для первых 12 платёжных периодов. Ниже увидим, что во всех столбцах образуется арифметическая прогрессия, поэтому строки от четвертой до 11-й можем опустить:


Год	Нач. долг	%	Выплата	Кон. долг

1	$S$	$S⋅0,03$	$1,03 ⋅S − 23S- 24$	$23S- 24$

2	$23S24-$	$23S24-⋅0,03$	$1,03⋅ 223S4-− 222S4$	$222S4-$

3	$22S24-$	$22S24-⋅0,03$	$1,03⋅ 222S4-− 221S4$	$221S4-$

…	…	…	…	…

$12$	$13S- 24$	$13S-⋅0,03 24$	$1,03⋅ 13S-− 12S 24 24$	$12S- 24$

У задачи есть два пути решения. Первый: найти сумму первых 12 выплат и разделить её на 12. Второй: найти среднее арифметическое первой и последней (12-й) выплат, откуда по характеристическому свойству арифметической прогрессии мы автоматически найдём ответ.

Пойдём вторым путем.

1,03-⋅S−-2324S+-1,03⋅ 132S4 −-122S4 Sср. = 2 ,

S = 1,03⋅2,4-−-23⋅22,44+-1,03⋅ 132⋅24,4-−-12⋅224,4, ср. 2

Sср. = 2,472−-2,3+-1,339−-1,2= 0,1555. 2

Ответ: 155500 рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#75181

Дабы удовлетворить все желания хороших ребят, заказавших у него на Новый Год подарки, 20 декабря 2022 года Дед Мороз взял кредит в банке на 12 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на $5%$ по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 19-е число каждого месяца необходимо было выплатить часть долга;

— 20-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 20-е число предыдущего месяца.

Какую сумму в рублях Дед Мороз взял в кредит, если общая сумма выплат в итоге составила $132,5$ миллиона рублей?

Показать ответ и решение

Вычисления будем проводить в миллионах рублей.
Пусть Дед Мороз взял в кредит $S$ миллионов рублей.
Составим таблицу выплат. Ниже увидим, что во всех столбцах образуется арифметическая прогрессия, поэтому строки с 4-й по 11-ю можем пропустить:

|------|---------|---------|--------------|---------| |М-есяц|Д-олг нач.|П-роценты|--1-Платеж-----|Долг11-кон.-| |---1--|---1S1----|-1S1⋅0,05--|-112S-+1S1⋅0,05--|---1210S----| |---2--|---1120S---|-1120S⋅0,05-|-121S-+-112S0-⋅0,05-|---129S----| |--.3..--|---1.2.S.---|-12S.⋅.0.,05-|-12S-+-1..2S.-⋅0,05-|---12.S..---| |--12--|---1-S---|-1-S⋅0,05-|-1S-+-1S-⋅0,05-|----0----| -----------12------12--------12----12----------------

Нас интересует столбец выплат. При этом величины выплат образуют арифметическую прогрессию. Заметим, что первые слагаемые в каждой выплате одинаковые, а для вторых слагаемых воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии:

1 S⋅0,05+ 1S ⋅0,05 S = 12⋅12S +-------212------⋅12.

Общая сумма выплат равна $132,5$ миллиона рублей:

S + 12S⋅0,05-+S-⋅0,05-= 132,5, 2

0,65S- S+ 2 = 132,5,

2S +0,65S = 265,

2,65S = 265,

S =100.

Ответ: 100000000 рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#46567

Санта Клаус обнищал: для Christmas 2023 ему необходимо оплатить работу гномов по изготоплению подарков детям, а его расчеты не совпали с плановыми. Поэтому ему пришлось взять кредит «Magic» в банке «You’ll never pay» сроком на 4 столетия, проценты по которому начисляются 1 раз в 100 лет. Найдите наименьший процент, под который банку необходимо выдать Санте кредит, чтобы переплата по такому кредиту составила не менее 30% от суммы кредита. При этом выплачиваться кредит должен ежестолетними платежами, уменьшающими долг каждые 100 лет на одну и ту же величину.

Показать ответ и решение

Фраза «кредит выплачивался ежестолетними платежами, уменьшающими долг каждые 100 лет на одну и ту же величину» означает, что кредит выплачивается дифференцированными платежами. Следовательно, каждые 100 лет после платежа долг становился меньше на одну и ту же величину, равную $1 4$ части от суммы, взятой в кредит, так как он взят на 4 столетия.

Пусть $A$ — сумма, взятая в кредит, $y%$ — годовой процент в банке «You’ll never pay». Тогда обозначим величину $0,01y = p.$

Составим таблицу:


Столетие	Долг до начисления %	Долг после начисления %	Платеж

$1$	$A$	$A + p⋅A$	$1 p⋅A+ 4A$

$2$	$3A 4$	$3A + p⋅ 3A 4 4$	$p⋅ 3A + 1A 4 4$

$3$	$2A 4$	$2A + p⋅ 2A 4 4$	$p⋅ 2A + 1A 4 4$

$4$	$14A$	$14A + p⋅ 14A$	$p⋅ 14A + 14A$

Таким образом, общая сумма выплат по кредиту равна

1 3 1 2 1 1 1 ( 3 2 1) p⋅A+ 4A +p⋅4A + 4A+ p⋅4A + 4A+ p⋅4A + 4A= pA ⋅ 1+ 4 + 4 + 4 +A

Значит, переплата $P er$ равна

( ) Per = pA ⋅ 1+ 3 + 2+ 1 = 5pA 4 4 4 2

Необходимо, чтобы переплата составила не менее 30% от суммы кредита, то есть

Per ≥0,3A ⇒ 5pA ≥0,3A ⇔ p≥ 6- ⇒ y ≥12 2 50

Таким образом, наименьший годовой процент равен 12%.

Ответ:

12%

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#17171

15 мая планируется взять кредит в банке сроком на 23 месяца. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на $t%$ по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования, на 36% больше, чем сумма, взятая в кредит. Найдите $t.$

Показать ответ и решение

Кредит взят на 23 месяца, обозначим размер кредита за $S,$ платеж дифференцированный, значит, каждый раз за месяц сумма долга должна уменьшаться на $S23.$ Можем составить таблицу.

|------|--------------|------------------|-------------|-------------| |Месяц | С ум ма долга | С ум ма долга |С умма долга | Выплата | | |до начисления %|после начисления %|после вы платы | | |1-----|------S-------|-----S-+-t-S------|----22S------|---tS-+-1S---| |------|--------------|---------100-------|----23-------|--100----23----| |2 | 2223S | 2223S + 1t00-⋅ 2223S | 2213S |1t00 ⋅ 2223S+ 213S |------|--------------|------------------|-------------|-------------| |...----|-----...------|-------...--------|-----...------|-----...-----| |k | 242−3kS | 24−23kS + 1t00-⋅ 24−23kS | 232−3kS |1t00-⋅ 24−23kS + 123 |------|--------------|------------------|-------------|-------------| |...----|-----...------|-------...--------|-----...------|-----...-----| |22 | 223S | 223S + 1t00-⋅ 223S | 213S |1t00 ⋅ 223S+ 213S |------|------1-------|---1-----t--1-----|-------------|-t--1-----1--| -23-----------23S----------23S-+-100-⋅23S----------0--------100 ⋅23S+-23S-

Переплата по кредиту равна сумме всех первых слагаемых из столбца «Выплата», по условию она составляет $0,36S.$ Запишем и решим уравнение:

$pict$

Ответ:

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#11747

1-го августа 2022 года планируется взять кредит на 3 года на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

– в январе каждого года долг возрастает на некоторое число процентов по сравнению с концом предыдущего года;

– в июле каждого года должна быть сделана выплата;

– 1-го августа каждого года, кроме первого, долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 1-е августа предыдущего года;

– к концу июля 2025 года долг должен быть полностью погашен.

Известно, что процентная ставка в каждый год, кроме первого, ровно на 1% больше процентной ставки в предыдущем году. Найдите наибольшее значение процентной ставки в первый год, если переплата по данному кредиту не превосходит трети от изначально взятой суммы.

Показать ответ и решение

Так как кредит взят в августе 2022 года, в этот год не производятся никакие выплаты и не начисляются проценты.

Обозначим размер кредита через $S,$ а процентную ставку за первый год через $p.$ При этом каждый год процентная ставка увеличивается на 1. Кредит взят на 3 года, то есть в январе 2023-го года сумма долга увеличится на $p%,$ в январе 2024-го года — на $(p +1)%,$ в январе 2025-го года — на $(p +2)%.$

1-го августа каждого года, кроме первого, долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 1-е августа предыдущего года. Обозначим эту величину за $B.$

Таким образом, сумма долга после выплаты в 2023-ем году составит $S − B,$ в 2024-ом году $S − 2B,$ в 2025-ом году $S− 3B.$ При этом в 2025-ом году долг должен быть погашен, то есть $S − 3B = 0$ и $B = 13S.$

Отсюда получим, что сумма долга после выплаты в 2023-ем году равна $S− B = S− 13S = 23S,$ сумма долга после выплаты в 2024-ом году равна $S − 2B = S − 2S = 1S. 3 3$

Составим таблицу с учетом этих данных. При этом значение в столбце «Выплата» будет равно разности соответствующих значений в столбцах «Сумма долга после начисления %» и «Сумма долга после выплаты».


Год	Сумма долга	Сумма долга	Сумма долга	Выплата
	до начисления %	после начисления %	после выплаты

2023	$S$	$S+ 1p00 ⋅S$	$23S$	$S + 1p00-⋅S − 23S$

2024	$23S$	$23S+ p1+010 ⋅ 23S$	$13S$	$23S + p+1100-⋅ 23S− 13S$

2025	$1 3S$	$1 p+2 1 3S+ 100 ⋅3S$	$0$	$1 p+2 1 3S+ -100 ⋅3S− 0$

По условию переплата по кредиту не превосходит $13S.$ При этом переплата равна разности суммы выплат (сумма по столбцу "Выплата") и изначальной суммы кредита $S.$ Выпишем это в виде неравенства:

$pict$

Таким образом, максимально возможная процентная ставка по кредиту за первый год составляет 16%.

Ответ: 16%

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#2759

На какое максимальное количество лет нужно выдать кредит, который будет выплачиваться дифференцированными платежами, чтобы наибольший годовой платеж превышал наименьший годовой платеж не более чем на $30%$ ? Годовая процентная ставка по кредиту равна $10%$ .

Показать ответ и решение

Т.к. кредит выплачивается дифференцированными платежами, то первый платеж будет наибольшим, а последний - наименьшим. Действительно, если кредит взят на $A$ рублей сроком на $n$ лет под $10%$ годовых, то каждый год после платежа долг должен уменьшаться на $1A n$ по сравнению с долгом до начисления процентов (определение дифференцированного платежа): после первого платежа он станет равен $-1 n−1- A − n A = n A$ , после второго – $n−2- n A$ и т.д. Это значит, что каждый платеж состоит из двух частей: первая часть состоит из процентов, начисленных на долг в текущем году, а вторая часть всегда одинакова (это $1A n$ ). А так как долг с каждым годом становится меньше, то первая часть платежа также становится меньше.

В первый год долг равен $A$ , то есть первый платеж равен $x1 = 1nA + 0,1A$ .
В последний год долг равен $1A n$ , следовательно, последний платеж равен $xn = 1A + 0,1 ⋅ 1A n n$ .

По условию наибольший платеж должен превышать не более чем на $30%$ наименьший платеж, то есть должен составлять не более $130%$ от наименьшего, следовательно:

( ) x ≤ 1,3x ⇒ 1-A + 0,1A ≤ 1,3 ⋅ 1A + 0,1 ⋅ 1A ⇔ n ≤ 4,3. 1 n n n n

Так как $n$ – количество лет, то есть целое число, то $n = 4$ .

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#2560

15 января некоторого года планируется взять кредит в банке на 25 месяцев. Условия его возврата таковы:

– 1-ого числа каждого месяца долг возрастает на $r%$ по сравнению с концом предыдущего месяца;

– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования, на 13% больше, чем сумма, взятая в кредит. Найдите $r.$

Показать ответ и решение

Фраза «15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца» означает, что кредит будет выплачиваться дифференцированными платежами. Следовательно, можно составить таблицу, взяв за $A$ сумму кредита:

|------|-------------------|----------------------|-------------| |Мес1яц-|Долг до-наAчисления-%|Долг-послAе+-начrисAления %-|--1ПAла+тежrA---| |--2---|-------24A---------|----24A-+-1r00⋅ 24A-----|1-25A+--r100⋅ 24A| |-...--|-------25...---------|----25---.10.0.--25-------|25---1.0.0.-25--| |-25---|--------1A---------|-----1A-+-r--⋅ 1A-----|1-A+--r-⋅-1A-| ---------------25---------------25----100--25--------25---100-25---

Таким образом, как и должно быть при дифференцированных платежах, все платежи состоят из двух частей, причем первые части одинаковы и равны $125A.$

Так как сумма всех платежей и есть сумма, уплаченная банку за время кредитования, то

25 ⋅ 1-A+-r- ⋅ 1-A⋅(25+ 24+ ...+ 1)= 1,13A 25 100 25

С использованием формулы суммы арифметической прогрессии далее имеем:

A + -r-⋅-1A ⋅ (25+-1)⋅25= 1,13A 100 25r 26 2 100 ⋅-2 A = 0,13A

Отсюда получаем $r = 1.$

Ответ: 1

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#2555

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 14 млн. рублей на некоторое целое число лет. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплачивать часть долга;

– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась 24,5 млн. рублей?

Показать ответ и решение

Пусть $n$ — число лет, на которое взят кредит. Так как годовой процент в банке равен 25%, то это значит, что каждый год долг увеличивается на четверть. Из условия следует, что система выплат дифференцированная, следовательно, каждый год долг должен уменьшаться на $1n$ часть, то есть на $14n$ млн. рублей. Составим таблицу:

|---|--------------------|---------------------|--------------| |Г1од-|Д-олг до нач1и4сления %|Долг пос1л4е+ на1чи⋅1с4ления %-В14ы+пл1а⋅та14---| |2--|-------n−1⋅14-------|--n−1⋅14+-41-⋅ n−1⋅14-|-14-n+-1⋅4 n−1⋅14-| |...-|--------n...---------|---n-----.4..---n------|-n---4...n-----| |n--|---------14---------|------14+-1-⋅ 14------|---14+-1⋅ 14--| --------------n-----------------n---4--n-----------n---4--n----

Таким образом, общая сумма выплат составляет

14 1 14- 1 n−-1- 14 1 14 n + 4 ⋅14 + n + 4 ⋅ n ⋅14+ ⋅⋅⋅+ n + 4 ⋅ n = 1 ( n− 1 1) 14 = 4 ⋅14 ⋅ 1+ -n---+⋅⋅⋅+ n- + n⋅-n = = 1 ⋅14 ⋅ 1+-1n-⋅n+ 14= 7(n+ 1)+ 14 4 2 4

В скобках мы получили сумму арифметической прогрессии, где первый член равен $1 n$ , $n$ -ый равен $1$ , соответственно, количество членов равно $n$ .

Таким образом, так как общая сумма выплат равна по условию $24,5$ млн. рублей, то получаем:

7 4(n + 1) +14 =24,5 ⇔ n = 5

Ответ: 5 лет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#2302

15-го января планируется взять кредит в банке на 31 месяц. Условие его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на $3%$ по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что на 16-й месяц кредитования нужно сделать платеж в размере 29,6 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?

Показать ответ и решение

Пусть $A$ тыс. рублей – сумма, взятая в кредит. Фраза “долг должен быть на одну и ту же величину меньше” означает, что кредит выплачивается дифференцированными платежами. Каждый такой платеж состоит из двух частей: первая часть всегда одинаковая – это $1- 31$ часть от $A$ ; вторая часть состоит из процентов, “набежавших” на долг в этом месяце.

Составим таблицу:

|------|------------|------------------|-----------------------|----------| |Месяц |наДчиосллегн диоя %| нДаочлигслепо&#xсле Сумм а Долг после |------|------------|------------------|-----------------------|----------| | | | | 1- | 30 | |1 | A | A+ 0,03⋅A | 0,03⋅A + 31 ⋅A | 31 ⋅A | |------|------------|------------------|-----------------------|----------| | | 30 |30 30 | 30 1 | 29 | |2 | 31 ⋅A |31 ⋅A+ 0,03⋅31 ⋅A | 0,03⋅31 ⋅A+ 31 ⋅A | 31 ⋅A | |------|------------|------------------|-----------------------|----------| | | | | | | |3 | 29 ⋅A |29 ⋅A+ 0,03⋅ 29⋅A | 0,03⋅ 29 ⋅A+-1 ⋅A | 28 ⋅A | | | 31 |31 31 | 31 31 | 31 | |------|------------|------------------|-----------------------|----------| |... | ... | ... | ... | ... | | | | | | | |------|------------|------------------|-----------------------|----------| |16 | 16 ⋅A |16 ⋅A+ 0,03⋅ 16⋅A |0,03⋅ 16-⋅A + 1-⋅A =29,6 | 15 ⋅A | | | 31 |31 31 | 31 31 | 31 | |------|------------|------------------|-----------------------|----------| |... | ... | ... | ... | ... | | | | | | | |------|------------|------------------|-----------------------|----------| | | -1 |-1 -1 | -1 -1 | | |31 | 31 ⋅A |31 ⋅A+ 0,03⋅31 ⋅A | 0,03⋅31 ⋅A+ 31 ⋅A | 0 | ---------------------------------------------------------------------------

Из полученного уравнения $16 -1 0,03⋅31 ⋅A + 31 ⋅A = 29,6$ можно найти

A = 620.

Тогда за все месяцы кредитования будет выплачено банку: $-1 30 -1 1- 1- 1- ( 30 29 1-) 0,03 ⋅A+ 31A + 0,03 ⋅31A+ 31A + ⋅⋅⋅+ 0,03⋅31A + 31A= 31⋅ 31 A+ 0,03⋅A⋅ 1+ 31 + 31 +⋅⋅⋅+ 31 =$ $1+-311 37 37 = A + 0,03⋅A ⋅ 2 ⋅31 = 25A = 25 ⋅620= 917,6$ тыс. рублей.

Ответ: 917,6 тысяч рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#2280

Клиент взял в банке кредит на некоторую сумму на 12 лет под $8%$ годовых, причем выплачивал кредит он так, чтобы сумма долга каждый год уменьшалась равномерно. Известно, что за первые 8 лет он отдал банку 7 млн рублей. Найдите, сколько млн. рублей он заплатил банку за последние 4 года пользования кредитом.

Показать ответ и решение

Пусть $A$ млн. рублей — сумма, взятая в кредит. Так как “сумма долга каждый год уменьшалась равномерно”, то кредит выплачивается дифференцированными платежами. Составим таблицу:

|-----|------------------------|---------------------------|------------------| |Го д |До лг до начисл ения % |Д олг после нач ислени я % | Пл атеж | |1----|-----------A------------|-------A-+--0,08 ⋅-A-------|-0,08-⋅ A-+-1-⋅ A-| |-----|----------11------------|-----11-----------11-------|-------11--12-1---| |2----|----------1120A-----------|-----1120A-+--0,08 ⋅-1120A-----|0,-08 ⋅-1120A-+-121A-| |3----|----------12A-----------|-----12A-+--0,08 ⋅-12A-----|0,-08 ⋅-12A-+-12A-| -4---------------912A-----------------192A-+--0,08 ⋅-912A------0,-08 ⋅-912A-+-112A-| |... | ... | ... | ... | |-----|----------5-------------|------5-----------5--------|-------5------1---| |8----|----------12A-----------|-----12A-+--0,08 ⋅-12A-----|0,-08 ⋅-12A-+-12A-| |...---|----------...-----------|------------...------------|--------...--------| |11---|----------212A-----------|-----122A-+--0,08 ⋅-212A-----|0,-08 ⋅-212A-+-112A-| |12 | 1-A | -1A + 0,08 ⋅ 1-A |0, 08 ⋅ 1-A +-1A | -----------------12------------------12-----------12---------------12----12---

Значит, за первые 8 лет клиент отдал банку

( 1 ) ( 11 1 ) ( 5 1 ) 0,08 ⋅ A +---⋅ A + 0,08 ⋅---A + --A + ⋅⋅⋅ + 0,08 ⋅---A + --A = 7 12 12 12 12 12 ( ) -1- 11- 10- -5- 8 ⋅12 A + 0, 08A ⋅ 1 + 12 + 12 + ⋅⋅⋅ + 12 = 7 2A + 0, 08A ⋅ 17 = 7 3 3 A = 6,25

Тогда за последние 4 года он отдал банку

( ) ( ) ( ) ( ) -4- -1- 3-- 1-- -2- -1- -1- -1- 0,08 ⋅12 A + 12 A + 0, 08 ⋅ 12A + 12A + 0,08 ⋅12 A + 12 A + 0,08 ⋅12A + 12 A = ( ) 4 ⋅ 1-A + 0,08A ⋅ -4-+ 3--+ -2-+ 1-- = 2A = 2-⋅ 6,25 = 2,5 12 12 12 12 12 5 5

Следовательно, за последние 4 года от отдал банку $2, 5$ млн. рублей.

Ответ: 2,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#2279

Родион хочет взять кредит на некоторую сумму и выбирает между двумя банками. Первый банк предлагает кредит на 15 лет под $6%$ годовых, второй – на 6 лет под $14%$ годовых, причем в обоих банках дифференцированная система платежей. Определите, в какой банк выгоднее обратиться Родиону и сколько процентов от кредита составляет эта выгода.

Показать ответ и решение

Выгоднее будет предложение от того банка, по которому будет меньше переплата. Пусть $A$ – сумма, которую Родион хочет взять в кредит. Заметим, что так как система выплат дифференцированная, то переплата по кредиту равна сумме “набежавших” на долг процентов на начало каждого года.

1) Первый банк предлагает кредит на 15 лет, следовательно, каждый год после платежа основной долг уменьшается на $1- 15$ часть. То есть если в начале 1-ого года долг равен $A$ , то в начале 2-ого — $A − 1-A = 14A 15 15$ , в начале 3-его — $13A 15$ , в начале 4-ого — $12A 15$ и т.д. Значит, “набежавшие” в 1-ый год проценты — это $0,06 ⋅ A$ , во 2-ой год — это $14 0,06 ⋅15A$ , в 3-ий — это $13 0,06 ⋅15A$ и т.д. Следовательно, переплата: