Тема 17. Задачи по планиметрии
17.11 Метод площадей
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи по планиметрии
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#2105

На сторонах AC  и BC  треугольника ABC  отмечены точки M  и N  соответственно так, что AM  :MC  = 4:5,  BN  :BC = 0,25.  Отрезки BM  и AN  пересекаются в точке P.  Найдите площадь треугольника AP M,  если площадь треугольника ABC  равна 63.

Показать ответ и решение

Из условия задачи следует, что BN  = 1BC
      4  .

Обозначим S △ABC =S.  Так как △ABC  и △ABN  имеют одинаковую высоту, опущенную из вершины A,  то

  S      BC                   1
S△ABN- = BN-= 4  ⇒   S△ABN  = 4S

Аналогично рассуждая, получим

---S---  -AC-  9               4
S△ABM  = AM  = 4   ⇒   S△ABM = 9S

Найдем отношение AP :PN,  чтобы определить, какую часть составляет S△ABP  от S △ABN.

 
PIC

 

Проведем прямую NK  ∥BM.  Тогда по теореме Фалеса

BN    MK        1   MK              1
BC--= MC--  ⇒   4 = MC--  ⇒   MK  = 4MC

Так как по условию AM  :MC = 4 :5,  то можно принять AM  = 4x,  MC  =5x.  Тогда MK  = 54x.

По теореме Фалеса имеем:

-AP = AM--  ⇒   -AP = 4x-= 16  ⇒   AP  = 16PN
P N   MK        P N   54x    5            5

Так как △ABP  и △ABN  имеют одинаковую высоту, опущенную из вершины B,  то получаем

S△ABN-= AN- = AP-+-PN-= 21
S△ABP   AP      AP      16

Следовательно,

        16         4
S△ABP = 21S△ABN  = 21-S

Тогда окончательно имеем:

S △APM = S△ABM − S△ABP = 4S − 4-S = 16S  ⇒   S△APM  =16
                         9    21    63
Ответ: 16

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!