Тема 17. Задачи по планиметрии
17.12 Теоремы Менелая и Чевы
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи по планиметрии
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#2254

Докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Показать ответ и решение

Пусть нам дан △ABC  , проведем в нем высоты AA1, BB1,  CC1   и докажем что они пересекаются в одной точке.

PIC

Заметим, что:

BA1  = cos∠B  ⋅ AB,      A1C  = cos∠C  ⋅ AC,
CB1  = cos∠C  ⋅ BC,     B1A  =  cos∠A  ⋅ AB,
AC   = cos∠A  ⋅ AC,     C  B = cos ∠B  ⋅ BC.
   1                      1
Воспользуемся теоремой Чевы:
   BA1--⋅ CB1--⋅ AC1-=  cos∠B--⋅ AB- ⋅ cos-∠C--⋅ BC- ⋅ cos-∠A-⋅-AC--=
   A1C    B1A   C1B     cos∠C  ⋅ AC    cos ∠A  ⋅ AB    cos∠B  ⋅ BC

   AB--⋅ BC-⋅ CA-⋅ cos-∠A-⋅ cos∠B-⋅ cos-∠C-
=  AB  ⋅ BC ⋅ CA ⋅ cos ∠A ⋅ cos∠B ⋅ cos ∠C = 1.

Следовательно, высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Ответ: Доказательство

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!