Тема 17. Задачи по планиметрии
17.12 Теоремы Менелая и Чевы
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи по планиметрии
Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#33125

Точки M  и N  расположены соответственно на сторонах AB  и AC  треугольника ABC,  причём AM :MB  = 1:2,  AN  :NC = 3:2.  Прямая MN  пересекает продолжение стороны BC  в точке F.  Найдите отношение CF  :BC.

Показать ответ и решение

Запишем теорему Менелая для треугольника ABC  и прямой MN  :

BM   AN  CF           2  3 CF
MA--⋅NC-⋅F-B = 1  ⇔   1 ⋅2 ⋅F-B = 1

PIC

Отсюда получаем

CF :FB = 1 :3   ⇔   CF :BC = 1:2
Ответ: 1:2
Критерии оценки

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ

2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#33123

На медиане AA1  треугольника ABC  взята точка M,  причём AM  :MA1 = 1 :3.  В каком отношении прямая BM  делит сторону AC?

Показать ответ и решение

Пусть B1  — точка пересечения прямых BM  и AC.  Запишем теорему Менелая для треугольника AA1C  и прямой BB1 :

CB    AM   A B           CB   1  1
B-A1⋅ MA--⋅-B1C- =1   ⇔   B-1A-⋅3 ⋅2 = 1
  1      1                1

PIC

Отсюда искомое отношение равно

CB  :B  A= 6 :1
  1   1
Ответ: 6:1
Критерии оценки

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ

2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#946

Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Показать ответ и решение

Пусть нам дан △ABC  , проведем в нем медианы AA1,  BB1, CC1   и докажем что они пересекаются в одной точке.

PIC

Воспользуемся теоремой Чевы:

AB     CA    BC      1  1   1
----1 ⋅---1-⋅----1 = --⋅--⋅ --= 1,
B1C    A1B    C1A    1  1   1
так как A1, B1, C1   – середины сторон BC,  AC,  AB  соответственно.
Следовательно, медианы треугольника пересекаются в одной точке.
Ответ: Доказательство

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#33127

На сторонах BC,  AC  и AB  треугольника ABC  отмечены точки A ,
 1  B ,
 1  C
 1  соответственно, причем BA :A C = 1:2,
  1  1  AB1 :B1C =1 :3,  AC1 :C1B =8 :3.  Отрезки BB1  и CC1  пересекаются в точке D.  Докажите, что ADA1B1  — параллелограмм.

Показать ответ и решение

Запишем теорему Менелая для треугольника B BA
 1  и прямой C C :
 1

B1D- BC1- AC--         B1D- 3 4         B1D-  2
 DB ⋅C1A ⋅CB1 = 1  ⇔   DB ⋅ 8 ⋅3 = 1 ⇔  DB  = 1

Получили, что B1D :DB = 2:1= CA1 :A1B  ⇒  CB1 ∥A1D   ⇒  AB1 ∥DA1  по обратной теореме Фалеса.

Пусть E  — точка пересечения B1A1  и CC1.  Запишем теорему Менелая для треугольника BCD  и прямой A1B1 :

BAA1C-⋅ CEED-⋅ DBBB1-= 1 ⇔  12 ⋅ CEED ⋅ 23 = 1 ⇔ CEED-= 31
 1          1

Получили, что CE :ED = 3:1= CB1 :B1A   ⇒  B1E ∥AD   ⇒   B1A1 ∥AD  по обратной теореме Фалеса.

Итого, имеем B1A1 ∥ AD  и AB1 ∥DA1,  следовательно, AB1A1D  — параллелограмм.

PIC

Ответ: Задача на доказательство

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#33126

Через точку P,  лежащую на медиане CC1  треугольника ABC,  проведены прямые AA1  и BB1.  При этом точки A1  и   B1  лежат на сторонах BC  и CA  соответственно. Докажите, что A1B1 ∥ AB.

Показать ответ и решение

Запишем теорему Менелая для треугольника ACC1  и прямой B1B :

AB1-  CP-- C1B-         AB1- -CP-  1
B1C ⋅ PC1 ⋅BA  = 1  ⇔   B1C ⋅P C1 ⋅ 2 = 1
              AB     2P C
              B-C1=  CP-1-
                1

Запишем теорему Менелая для треугольника BCC1  и прямой A1A :

BA1- ⋅ CP-⋅ C1A-= 1 ⇔   BA1-⋅-CP-⋅ 1= 1
A1C   PC1  AB           A1C  P C1  2
              BA1-=  2P-C1-
              A1C    CP

PIC

Из двух отношений получаем

AB1 :B1C = 2PC1 :CP = BA1 :A1C

Cледовательно, по обратной обобщенной теореме Фалеса A1B1 ∥ AB.

Ответ: Задача на доказательство

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#2235

В треугольнике ABC  на середине стороны AB  отмечена точка M.  Точка P  на продолжении стороны AC  за точку C  такова, что AC = CP.  Найдите меньший из отрезков, на которые прямая MP  делит сторону BC,  если BC  =3.

Показать ответ и решение

Пусть N  — точка пересечения прямых MP  и BC.

Решение 1.

По условию имеем:

AM :MB  = 1:1,  CP :PA = 1:2

Тогда по теореме Менелая для треугольника ABC  и прямой MP  :

    AM   BN   CP
    MB--⋅NC--⋅PA-= 1

BN--= MB--⋅ P-A = 1⋅ 2 = 2
NC    AM   CP    1 1

Так как BN  :NC = 2:1,  то искомый отрезок равен

     1
NC = 3BC = 1

PIC

Решение 2.

Проведем MK  ∥ BC.  Тогда по теореме Фалеса точка K  поделит AC  в том же отношении, что точка M  поделит отрезок AB.  Тогда AK = KC  и так как AC = CP,  то KC  = 1CP.
      2

Заметим, что △NP  C ∼ △MP K  по двум углам, так как ∠P  — общий и ∠NCP  = ∠MKP  как соответственные. Тогда имеем:

NC--= CP-   ⇔   NC--= 2KC- = 2
MK    KP        MK    3KC    3

Отсюда получаем NC = 2 MK.
     3  Далее, так как MK  — средняя линия в △ABC,  то MK  = 1BC.
      2  Тогда окончательно получаем

      2 1      1
NC =  3 ⋅2BC = 3BC = 1

Очевидно, что NC  <BN,  так как отрезок BN  в таком случае равен 23BC = 2.

Ответ: 1
Критерии оценки

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ

2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#2253

Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Показать ответ и решение

Пусть нам дан △ABC  , проведем в нем биссектрисы AA1, BB1,  CC1   и докажем что они пересекаются в одной точке.

PIC

Воспользуемся свойством биссектрисы для всех трех биссектрис:  

Для биссектрисы AA1  : BA1--=  AB--
       A1C     AC   

Для биссектрисы BB   : CB1-- = BC--
    1  B1A     BA   

Для биссектрисы        AC1--   CA--
CC1  : C  B =  CB
         1   

Воспользуемся теоремой Чевы:

BA1    CB1   AC1     AB    BC   CA     AB  ⋅ BC  ⋅ CA
-----⋅ -----⋅-----=  ----⋅ ----⋅---- = -------------- = 1.
A1C    B1A   C1B     AC    BA   CB     AB  ⋅ BC  ⋅ CA

Следовательно, биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Ответ: Доказательство

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#33130

Точки E  и F  — середины сторон BC  и AD  соответственно выпуклого четырёхугольника ABCD.  Отрезок EF  пересекает диагонали AC  и BD  в различных точках G  и H  соответственно. Докажите, что CG :GA = BH :HD.

Показать ответ и решение

Пусть I  — точка пересечения диагоналей.

Запишем теорему Менелая для треугольника BCI  и прямой EH :

BE   CG  IH             CG   IH
EC- ⋅GI-⋅HB--= 1  ⇔   1⋅GI- ⋅HB-= 1

      CG-= HB--  ⇔   CG--= GI-
      GI    IH        HB    IH

Запишем теорему Менелая для треугольника ADI  и прямой FG :

AF- ⋅ DH-⋅-IG = 1 ⇔   1⋅ DH-⋅ IG-= 1
FD   HI  GA              HI  GA
      DH-=  GA-  ⇔   DH--= HI-
      HI    IG       GA    IG

PIC

Объединив два результата выше, получаем

CG    GI   GA        CG   HB
HB-=  IH--= DH-- ⇔    GA-= DH--

Что и требовалось доказать.

Ответ: Задача на доказательство

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#2254

Докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Показать ответ и решение

Пусть нам дан △ABC  , проведем в нем высоты AA1, BB1,  CC1   и докажем что они пересекаются в одной точке.

PIC

Заметим, что:

BA1  = cos∠B  ⋅ AB,      A1C  = cos∠C  ⋅ AC,
CB1  = cos∠C  ⋅ BC,     B1A  =  cos∠A  ⋅ AB,
AC   = cos∠A  ⋅ AC,     C  B = cos ∠B  ⋅ BC.
   1                      1
Воспользуемся теоремой Чевы:
   BA1--⋅ CB1--⋅ AC1-=  cos∠B--⋅ AB- ⋅ cos-∠C--⋅ BC- ⋅ cos-∠A-⋅-AC--=
   A1C    B1A   C1B     cos∠C  ⋅ AC    cos ∠A  ⋅ AB    cos∠B  ⋅ BC

   AB--⋅ BC-⋅ CA-⋅ cos-∠A-⋅ cos∠B-⋅ cos-∠C-
=  AB  ⋅ BC ⋅ CA ⋅ cos ∠A ⋅ cos∠B ⋅ cos ∠C = 1.

Следовательно, высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Ответ: Доказательство
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!