Тема 17. Задачи по планиметрии
17.17 Задачи, требующие дополнительного построения
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи по планиметрии
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#2282

Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD  пересекаются в точке E,  AB  =AD,  CA  — биссектриса угла C,  ∠BAD  = 140∘,  ∠BEA  = 110∘.  Найдите угол CDB.

(И.Ф. Шарыгин, Р.К. Гордин)

Показать ответ и решение

PIC

Так как △BAD  равнобедренный и ∠BAD  = 140∘,  то ∠ABD  = ∠ADB  = 20∘.  Тогда ∠BAE  = 180∘ − 110∘− 20∘ = 50∘,  ∠DAE  = 140∘− 50∘ = 90∘.

Проведем AK  ⊥ CB,  AH ⊥ CD.  Так как A  лежит на биссектрисе угла C,  то A  равноудалена от сторон угла C,  следовательно, AK = AH.  Следовательно, △AKB   = △AHD  по катету и гипотенузе. Следовательно, ∠KAB  = ∠HAD  = x.  Так как △KAC  = ∠HAC  (также по катету и гипотенузе), то

50∘+ x= ∠KAC  = ∠HAC  = 90∘− x  ⇒   50∘+ x= 90∘− x  ⇒   x= 20∘

Следовательно, из △HAD   :

∠CDB  = 90∘− 20∘− 20∘ =50∘.
Ответ:

50∘

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!