Соединим точки и прямой, тогда эта прямая пересечет отрезок в середине, в точке Сделаем симметрию относительно точки , получим следующую картинку:

Тогда в силу симметрии следовательно, по признаку (диагонали и точкой пересечения делятся пополам) – параллелограмм. Следовательно,

Докажем, что Для этого достаточно доказать, что четырехугольник — вписанный.

По признаку около четырехугольника можно описать окружность, если, например,

Заметим, что — угол между касательной и хордой следовательно, он равен половине маленькой дуги

С другой стороны, — вписанный угол, опирающийся в такой же окружности на такую же дугу (т.к. хорды и равны, то и дуги, стягиваемые этими хордами, равны). Значит, также равен половине дуги

Но — это то же самое, что и Таким образом, мы доказали, что углы и равны половине от одинаковых дуг и соответственно, то есть они равны, чтд.

Эта же задача с другим решением представлена в разделе “Задачи с окружностями”.