Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На доске написано 100 различных натуральных чисел, причем известно, что сумма этих чисел равна 5120.
а) Может ли на доске быть написано число 230?
б) Может ли быть такое, что на доске не написано число 14?
в) Какое наименьшее количество чисел, кратных 14, написано на доске?
Известно, что сумма первых 
последовательных натуральных чисел равна
Когда в задаче сказано что-то о сумме некоторых чисел, можно попробовать рассмотреть наименьшую из возможных сумм этих чисел.
а) Рассмотрим наименьшую возможную сумму 
содержащую число 230. Она состоит из наименьших 99 натуральных чисел
и числа 230.
Следовательно, получаем противоречие.
б) Допустим, число 14 не написано на доске, возьмем 100 минимальных натуральных чисел, которые еще доступны. Их сумма равна
Очевидно, что какие бы числа ни были написаны на доске, их сумма будет не меньше 
Но 
следовательно,
получаем противоречие.
в) В пункте б) мы доказали, что как минимум одно число, кратное 14, написано на доске. Допустим, что оно действительно
ровно одно. Тогда сумма на доске не меньше, чем 
где 
— наименьшая возможная сумма 99 различных
натуральных чисел, ни одно из которых не кратно 14. Фактически она равна сумме наименьших 99 различных
натуральных чисел, не кратных 14. Ее легко посчитать (семь наименьших чисел, кратных 14, это 14, 28, 42, 56, 70, 84,
98)
Значит, 
Допустим, на доске оказалось написано ровно два числа 
и 14, кратных 14. Тогда сумма на доске не меньше, чем
где 
— наименьшая возможная сумма 98 различных натуральных чисел, ни одно из которых не кратно 14.
Фактически она равна сумме наименьших 98 различных натуральных чисел, не кратных 14. Ее легко посчитать (семь
наименьших чисел, кратных 14, это 14, 28, 42, 56, 70, 84, 98)
Значит, 
Получаем противоречие.
Допустим, на доске оказалось написано ровно три числа 
и 14, кратных 14. Тогда сумма на доске не меньше, чем
где 
— наименьшая возможная сумма 97 различных натуральных чисел, ни одно из которых не кратно 14.
Фактически она равна сумме наименьших 97 различных натуральных чисел, не кратных 14. Ее легко посчитать (семь
наименьших чисел, кратных 14, это 14, 28, 42, 56, 70, 84, 98)
Это на 52 меньше, чем сумма в условии, но 
Снова получаем, что 
Таким образом мы доказали, что чисел, кратных 14, должно быть хотя бы 4.
Приведем пример, когда на доске написано четыре числа, кратных 14 (14, 28, 42 и 56): 1, 2, …, 69, 71, …, 83, 85, …, 97, 99, 100, 101, 102, 119. Их сумма равна
а) Нет
б) Нет
в) 4
| Содержание критерия | Балл |
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в) | 4 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б) | 3 |
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б), | 2 |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте в) | |
| Обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
