а) Пусть первый член данной прогрессии — а последний — . Тогда — количество членов данной прогрессии ( — нечётное число).

Найд̈eм величину по формуле го члена арифметической прогрессии:

В таком случае сумма наибольшего и наименьшего члена прогрессии (то есть сумма крайних членов прогрессии) равна:

Это число является четным, так как слагаемое чётно из-за множителя 2, а число чётно, так как число ӵeтно.
Сумма двух ӵeтных чисел не может быть равна нечётному числу 987654321, следовательно, ответ отрицательный.

б) Найд̈eм сумму наибольшего и наименьшего члена данной прогрессии:

Запишем формулу суммы арифметической прогрессии:

в) Докажем, что среднее арифметическое всех членов конечной арифметической прогрессии и среднее арифметическое двух крайних членов конечной арифметической прогрессии равны.

Пусть первый член данной прогрессии — , а последний — . Тогда — количество членов данной прогрессии.

Среднее арифметическое нескольких чисел равно отношению суммы данных чисел к их количеству.
Среднее арифметическое нескольких чисел:

Среднее арифметическое крайних членов

Равенство очевидно.

Таким образом, Преобразуем это равенство:

В левой части мы имеем три неизвестных: Все три переменные входят в это равенство со знаком «+», следовательно, при увеличении значения любой переменной, значения двух других переменных уменьшаются, так как в правой части фиксированное число.

Таким образом, чтобы было максимальным, и должны быть минимально возможными натуральными числами. Разность не может быть равной 0 или отрицательной, так как по условию прогрессия возрастающая.

Возьмем Тогда

Пример такой прогрессии для

а) Если на доске записано 4 числа, оканчивающихся на 1, то их сумма чётна, так как сумма чётного количества нечётных чисел чётна.

Если на доске записано 26 чётных чисел, то их сумма чётна, так как сумма любого количества чётных чисел чётна.

Таким образом, сумма всех 30 чисел также будет чётной. Но число 771 нечётно, значит, ответ на пункт отрицательный.

б) Рассмотрим сумму 30 наименьших натуральных чисел таких, что 13 из них оканчиваются на 1, а остальные 17 — чётные.

По формуле суммы арифметической прогрессии 17 последовательных чётных чисел имеем:

Запишем сумму 13 наименьших оканчивающихся на 1 чисел :

То есть при этом мы рассматривали наименьший возможный пример чисел, значит, для всех остальных наборов сумма будет еще больше, поэтому ответ на этот пункт также отрицательный.

в) Пусть на доске записано чисел, оканчивающихся на 1. Тогда на этой же доске записано чётных чисел.

Запишем сумму первых чисел как сумму суммы единиц и наименьших натуральных последовательных чисел, кратных 10:

Запишем сумму первых наименьших натуральных чётных чисел:

Сумма по условию:

Найдём нули левой части через формулу дискриминанта:

По методу интервалов получаем .

Определим положение левой границы отрезка.

Раз , то Тогда:

Так как , то Однако если чётно, то (как показано в пункте а)) мы встречаем противоречие, поэтому на самом деле

Пример для

Рассмотрим произведение

Если раскрыть скобки, то получится как раз сумма всех чисел таблицы умножения. Поэтому эта сумма равна а среднее арифметическое равно

Можно пытаться объяснить этот ответ по-простому: средний сомножитель, то есть среднее арифметическое чисел от 1 до 9, равен 5, и потому среднее произведение равно 25. Но это опасная логика: так можно решить, что среднее арифметическое чисел равно а это совсем не так.

Обозначим числа через

Запишем условие на среднее арифметическое:

Все числа различны, значит, верны следующие оценки:

Подставив их в условие на то, что сумма равна 100, получим:

Все чисел по условию различны, и все они меньше чем Очевидно, что количество различных натуральных чисел, меньших равно Тогда имеем неравенство

Пример: все натуральные числа от 1 до 22.

Обозначим числа в первой группе через

Обозначим числа во второй группе через

Нам нужно максимизировать выражение

Запишем условие на числа первой группы:

Числа внутри первой группы различны, значит, верны следующие оценки:

Подставив их в условие на то, что сумма равна 42, получим:

Запишем условие на числа второй группы:

Числа внутри второй группы различны, значит, верны следующие оценки:

Подставив их в условие на то, что сумма равна 36, получим:

Мы получили, что максимально возможное натуральное максимально возможное натуральное а их сумма равна 11. Приведем пример:

Обозначим числа в первой группе через

Обозначим числа во второй группе через

Нам нужно максимизировать выражение

Запишем условие на числа первой группы и выразим

Запишем условие на числа второй группы и выразим

Тогда сумма равна

Каждое из восьми чисел, которые мы вычитаем из 78, не меньше 1, так как все числа натуральные, следовательно,

Сумма, равная 70, очевидно достигается:

Известно, что сумма первых последовательных натуральных чисел равна

Когда в задаче сказано что-то о сумме некоторых чисел, можно попробовать рассмотреть наименьшую из возможных сумм этих чисел.

а) Рассмотрим наименьшую возможную сумму содержащую число 230. Она состоит из наименьших 99 натуральных чисел и числа 230.

Следовательно, получаем противоречие.

б) Допустим, число 14 не написано на доске, возьмем 100 минимальных натуральных чисел, которые еще доступны. Их сумма равна

Очевидно, что какие бы числа ни были написаны на доске, их сумма будет не меньше Но следовательно, получаем противоречие.

в) В пункте б) мы доказали, что как минимум одно число, кратное 14, написано на доске. Допустим, что оно действительно ровно одно. Тогда сумма на доске не меньше, чем где — наименьшая возможная сумма 99 различных натуральных чисел, ни одно из которых не кратно 14. Фактически она равна сумме наименьших 99 различных натуральных чисел, не кратных 14. Ее легко посчитать (семь наименьших чисел, кратных 14, это 14, 28, 42, 56, 70, 84, 98)

Значит,

Допустим, на доске оказалось написано ровно два числа и 14, кратных 14. Тогда сумма на доске не меньше, чем где — наименьшая возможная сумма 98 различных натуральных чисел, ни одно из которых не кратно 14. Фактически она равна сумме наименьших 98 различных натуральных чисел, не кратных 14. Ее легко посчитать (семь наименьших чисел, кратных 14, это 14, 28, 42, 56, 70, 84, 98)

Значит,

Получаем противоречие.

Допустим, на доске оказалось написано ровно три числа и 14, кратных 14. Тогда сумма на доске не меньше, чем где — наименьшая возможная сумма 97 различных натуральных чисел, ни одно из которых не кратно 14. Фактически она равна сумме наименьших 97 различных натуральных чисел, не кратных 14. Ее легко посчитать (семь наименьших чисел, кратных 14, это 14, 28, 42, 56, 70, 84, 98)

Это на 52 меньше, чем сумма в условии, но Снова получаем, что Таким образом мы доказали, что чисел, кратных 14, должно быть хотя бы 4.

Приведем пример, когда на доске написано четыре числа, кратных 14 (14, 28, 42 и 56): 1, 2, …, 69, 71, …, 83, 85, …, 97, 99, 100, 101, 102, 119. Их сумма равна

Обозначим сумму всех чисел последовательности через .

а) Из условия задачи получаем:

Возьмем, например, . Тогда

Чтобы сумма была равна 10, возьмем

Несложно видеть, что такой набор удовлетворяет условию.

б) Следую условию на и , возьмем

Из условия на получим:

Рассмотрим разность первого и третьего чисел последовательности:

Такое невозможно, так как и — по условию цифры.

в) По определению имеем:

Поскольку и — цифры, то модуль разности не должен превышать 9.

Тогда получаем оценку:

Построим пример для . Третье число равно

Возьмем, . Тогда

Чтобы сумма была равна 14, возьмем

Несложно видеть, что такой набор удовлетворяет условию.

а) Да, можно. Достаточно на каждом ходу стирать наименьшее из чисел. Например, для исходных чисел 9, 10, 11, 12, 13 можно стереть последовательно числа 9, 10, 11, 12. Легко проверить, что после каждого хода среднее арифметическое будет увеличиваться.

б) После трех ходов на доске останется два числа. Пусть их среднее арифметическое втрое больше исходного, то есть равно 33, тогда их сумма равна . Каждое из трех стертых чисел не меньше единицы (т.к. числа по условию натуральные), значит, сумма всех пяти чисел не меньше, чем , а среднее арифметическое не меньше, чем , что противоречит условию.

в) Утверждение. Пусть имеется набор из чисел со средним арифметическим, равным , тогда верны следующие утверждения:

• При удалении из набора числа, равного , среднее арифметическое чисел набора останется равным .
• При удалении из набора числа, большего, чем , среднее арифметическое чисел набора станет меньше, чем .
• При удалении из набора числа, меньшего, чем , среднее арифметическое чисел набора станет больше, чем .

Вернемся к нашим числам. Исходное среднее арифметическое равно 11, значит, исходная сумма равна . После трех ходов на доске всегда будет оставаться два числа, значит, минимизация их среднего арифметического равносильна минимизации их суммы.

Чтобы после стирания числа наше среднее арифметическое увеличилось, мы должны стереть число, меньшее текущего среднего арифметического, а так как средние арифметические после каждого стирания увеличиваются, то текущее среднее арифметическое меньше, чем итоговое среднее арифметическое двух оставшихся чисел. Тогда можем сделать вывод, что на каждом ходу мы стираем число, меньшее итогового среднего арифметического .

Мы знаем, что итоговое среднее арифметическое двух оставшихся чисел должно быть больше, чем 11. Тогда итоговая сумма должна быть натуральным числом, большим, чем . Таким образом, . Будем перебирать по ней снизу, пока не найдем достижимую (она и будет минимально возможной).

• Пусть , тогда итоговое среднее арифметическое , а числа, которые были стерты — различные натуральные, каждое из них меньше, чем 11,5 (см. ). Тогда их сумма не превышает , а сумма исходного набора не превышает . Получаем противоречие.
• Пусть , тогда итоговое среднее арифметическое , а числа, которые были стерты — различные натуральные, каждое из них меньше, чем 12 (см. ). Тогда их сумма не превышает , а сумма исходного набора не превышает . Получаем противоречие.
• Для и строится следующий пример (в каждой строчке набор, начиная с исходного):
  

  В полученном примере все условия выполняются, значит, наименьшее возможное среднее арифметическое после трех ходов при условии, что числа 12 в наборе нет, равняется 12,5.

Сумма чисел, написанных изначально, равна .

а) Пусть изначально на доске пять единиц и пять девяток, их среднее арифметическое действительно равно 5. После удвоения получим пять чисел 18 и пять двоек, после стирания останутся только пять двоек. Их среднее арифметическое равно 2, что меньше 5.

б) Допустим, что такое возможно. Тогда каждое из девяти чисел, которые после удвоения не были стерты, должно быть не больше 4. Число, которое было стерто после удвоения, не могло изначально быть больше 9. Тогда сумма чисел, изначально написанных на доске, не превышает , что меньше 50. Получаем противоречие.

в) Допустим, двоек могло быть шесть. Тогда сумма оставшихся четырех чисел должна быть равна , однако это больше, чем — наибольшая сумма, которую можно набрать четырьмя числами, каждое из которых не превышает 9. Таким образом, шесть и более двоек быть не могло, т.к. в этом случае сумма исходных чисел будет гарантированно меньше 50.

Будем называть неисчезающими числа, которые после удвоения не будут стерты. Очевидно, что все неисчезающие числа не превышают 4. Среднее арифметическое неисчезающих чисел после удвоения по условию равно 6, следовательно, их среднее арифметическое до удвоения должно быть равно 3.

Допустим, двоек могло быть пять. Пусть кроме двоек в исходном наборе неисчезающих чисел. Каждое из них не больше 4, тогда среднее арифметическое неисчезающих чисел не превышает

= = = 2 +

При этом, как объяснено выше, оно должно быть не меньше 3, тогда (домножать можем, т.к. )

2 + ≥ 3 ⇔ ≥ 1 ⇔ 2k ≥ 5 + k ⇔ k ≥ 5

Получили, что все числа неисчезающие. Это противоречит тому, что среднее арифметическое исходных чисел равно 5.

Допустим, двоек могло быть четыре. Пусть кроме двоек в исходном наборе неисчезающих чисел. Каждое из них не больше 4, тогда среднее арифметическое неисчезающих чисел не превышает

= = = 2 +

При этом, как объяснено выше, оно должно быть не меньше 3, тогда (домножать можем, т.к. )

2 + ≥ 3 ⇔ ≥ 1 ⇔ 2k ≥ 4 + k ⇔ k ≥ 4

Получили, что неисчезающих чисел хотя бы 8, из них 4 двойки. Тогда сумма наименьших восьми чисел в исходном наборе не превышает (помним, что неисчезающие )

2 ⋅ 4 + 4 ⋅ 4 = 24,

значит, сумма наибольших двух должна быть не меньше, чем . Получаем противоречие.

На три двойки есть пример:

2, 2, 2, 4, 4, 4, 8, 8, 8, 8

Сумма чисел в первой группе равна а во второй равна

а) Допустим, что такое возможно, тогда сумма семи оставшихся чисел первой группы равна и все они — тройки либо пятерки. Пусть среди оставшихся чисел троек и пятерок. Получаем следующее соотношение:

Однако должно быть целым неотрицательным, получаем противоречие.

б) Если такое возможно, то сумма семи оставшихся чисел второй группы равна и все они — четверки либо пятерки. Пусть среди оставшихся чисел четверок и пятерок. Получаем следующее соотношение:

Однако должно быть целым неотрицательным, получаем противоречие.

в) Пусть в какой-то из двух групп две или больше четверок. Тогда возьмем две любые четверки из этой группы и заменим на тройку и пятерку. После этой операции среднее арифметическое чисел в группе не изменится, а среднее арифметическое всех троек и четверок строго уменьшится, так как вместо двух четверок появится одна тройка. Таким образом, при оптимальных наборах в каждой из двух групп не больше одной четверки.

Допустим, что в первой группе ровно одна четверка, тогда сумма девяти оставшихся чисел первой группы равна и все они — тройки либо пятерки. Пусть среди оставшихся чисел троек и пятерок. Получаем следующее соотношение:

Однако должно быть целым неотрицательным, получаем противоречие. Значит, при оптимальных наборах в первой группе нет четверок, ровно пять троек и ровно пять пятерок.

Допустим, во второй группе нет четверок, тогда в ней троек и пятерок. Получаем

Однако должно быть целым неотрицательным, получаем противоречие. Значит, при оптимальных наборах во второй группе ровно одна четверка. Снова обозначим через количество троек, через количество пятерок, получим

Таким образом, при оптимальных наборах во второй группе две тройки и семь пятерок. Посчитаем среднее арифметическое троек и четверок в оптимальном наборе: