а) Да, можно. Достаточно на каждом ходу стирать наименьшее из чисел. Например, для исходных чисел 9, 10, 11, 12, 13 можно стереть последовательно числа 9, 10, 11, 12. Легко проверить, что после каждого хода среднее арифметическое будет увеличиваться.

б) После трех ходов на доске останется два числа. Пусть их среднее арифметическое втрое больше исходного, то есть равно 33, тогда их сумма равна . Каждое из трех стертых чисел не меньше единицы (т.к. числа по условию натуральные), значит, сумма всех пяти чисел не меньше, чем , а среднее арифметическое не меньше, чем , что противоречит условию.

в) Утверждение. Пусть имеется набор из чисел со средним арифметическим, равным , тогда верны следующие утверждения:

• При удалении из набора числа, равного , среднее арифметическое чисел набора останется равным .
• При удалении из набора числа, большего, чем , среднее арифметическое чисел набора станет меньше, чем .
• При удалении из набора числа, меньшего, чем , среднее арифметическое чисел набора станет больше, чем .

Вернемся к нашим числам. Исходное среднее арифметическое равно 11, значит, исходная сумма равна . После трех ходов на доске всегда будет оставаться два числа, значит, минимизация их среднего арифметического равносильна минимизации их суммы.

Чтобы после стирания числа наше среднее арифметическое увеличилось, мы должны стереть число, меньшее текущего среднего арифметического, а так как средние арифметические после каждого стирания увеличиваются, то текущее среднее арифметическое меньше, чем итоговое среднее арифметическое двух оставшихся чисел. Тогда можем сделать вывод, что на каждом ходу мы стираем число, меньшее итогового среднего арифметического .

Мы знаем, что итоговое среднее арифметическое двух оставшихся чисел должно быть больше, чем 11. Тогда итоговая сумма должна быть натуральным числом, большим, чем . Таким образом, . Будем перебирать по ней снизу, пока не найдем достижимую (она и будет минимально возможной).

• Пусть , тогда итоговое среднее арифметическое , а числа, которые были стерты — различные натуральные, каждое из них меньше, чем 11,5 (см. ). Тогда их сумма не превышает , а сумма исходного набора не превышает . Получаем противоречие.
• Пусть , тогда итоговое среднее арифметическое , а числа, которые были стерты — различные натуральные, каждое из них меньше, чем 12 (см. ). Тогда их сумма не превышает , а сумма исходного набора не превышает . Получаем противоречие.
• Для и строится следующий пример (в каждой строчке набор, начиная с исходного):
  

  В полученном примере все условия выполняются, значит, наименьшее возможное среднее арифметическое после трех ходов при условии, что числа 12 в наборе нет, равняется 12,5.