Сумма чисел, написанных изначально, равна .

а) Пусть изначально на доске пять единиц и пять девяток, их среднее арифметическое действительно равно 5. После удвоения получим пять чисел 18 и пять двоек, после стирания останутся только пять двоек. Их среднее арифметическое равно 2, что меньше 5.

б) Допустим, что такое возможно. Тогда каждое из девяти чисел, которые после удвоения не были стерты, должно быть не больше 4. Число, которое было стерто после удвоения, не могло изначально быть больше 9. Тогда сумма чисел, изначально написанных на доске, не превышает , что меньше 50. Получаем противоречие.

в) Допустим, двоек могло быть шесть. Тогда сумма оставшихся четырех чисел должна быть равна , однако это больше, чем — наибольшая сумма, которую можно набрать четырьмя числами, каждое из которых не превышает 9. Таким образом, шесть и более двоек быть не могло, т.к. в этом случае сумма исходных чисел будет гарантированно меньше 50.

Будем называть неисчезающими числа, которые после удвоения не будут стерты. Очевидно, что все неисчезающие числа не превышают 4. Среднее арифметическое неисчезающих чисел после удвоения по условию равно 6, следовательно, их среднее арифметическое до удвоения должно быть равно 3.

Допустим, двоек могло быть пять. Пусть кроме двоек в исходном наборе неисчезающих чисел. Каждое из них не больше 4, тогда среднее арифметическое неисчезающих чисел не превышает

= = = 2 +

При этом, как объяснено выше, оно должно быть не меньше 3, тогда (домножать можем, т.к. )

2 + ≥ 3 ⇔ ≥ 1 ⇔ 2k ≥ 5 + k ⇔ k ≥ 5

Получили, что все числа неисчезающие. Это противоречит тому, что среднее арифметическое исходных чисел равно 5.

Допустим, двоек могло быть четыре. Пусть кроме двоек в исходном наборе неисчезающих чисел. Каждое из них не больше 4, тогда среднее арифметическое неисчезающих чисел не превышает

= = = 2 +

При этом, как объяснено выше, оно должно быть не меньше 3, тогда (домножать можем, т.к. )

2 + ≥ 3 ⇔ ≥ 1 ⇔ 2k ≥ 4 + k ⇔ k ≥ 4

Получили, что неисчезающих чисел хотя бы 8, из них 4 двойки. Тогда сумма наименьших восьми чисел в исходном наборе не превышает (помним, что неисчезающие )

2 ⋅ 4 + 4 ⋅ 4 = 24,

значит, сумма наибольших двух должна быть не меньше, чем . Получаем противоречие.

На три двойки есть пример:

2, 2, 2, 4, 4, 4, 8, 8, 8, 8