Сумма чисел в первой группе равна а во второй равна

а) Допустим, что такое возможно, тогда сумма семи оставшихся чисел первой группы равна и все они — тройки либо пятерки. Пусть среди оставшихся чисел троек и пятерок. Получаем следующее соотношение:

Однако должно быть целым неотрицательным, получаем противоречие.

б) Если такое возможно, то сумма семи оставшихся чисел второй группы равна и все они — четверки либо пятерки. Пусть среди оставшихся чисел четверок и пятерок. Получаем следующее соотношение:

Однако должно быть целым неотрицательным, получаем противоречие.

в) Пусть в какой-то из двух групп две или больше четверок. Тогда возьмем две любые четверки из этой группы и заменим на тройку и пятерку. После этой операции среднее арифметическое чисел в группе не изменится, а среднее арифметическое всех троек и четверок строго уменьшится, так как вместо двух четверок появится одна тройка. Таким образом, при оптимальных наборах в каждой из двух групп не больше одной четверки.

Допустим, что в первой группе ровно одна четверка, тогда сумма девяти оставшихся чисел первой группы равна и все они — тройки либо пятерки. Пусть среди оставшихся чисел троек и пятерок. Получаем следующее соотношение:

Однако должно быть целым неотрицательным, получаем противоречие. Значит, при оптимальных наборах в первой группе нет четверок, ровно пять троек и ровно пять пятерок.

Допустим, во второй группе нет четверок, тогда в ней троек и пятерок. Получаем

Однако должно быть целым неотрицательным, получаем противоречие. Значит, при оптимальных наборах во второй группе ровно одна четверка. Снова обозначим через количество троек, через количество пятерок, получим

Таким образом, при оптимальных наборах во второй группе две тройки и семь пятерок. Посчитаем среднее арифметическое троек и четверок в оптимальном наборе: