Тема 19. Задачи на теорию чисел
19.15 Среднее арифметическое и минимальная сумма
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи на теорию чисел
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#10817

Даны две группы натуральных чисел: в первой группе шесть чисел, во второй — четыре числа. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно 7, а во второй группе равно 9. Пусть M1  — наибольшее число из первой группы, M2  — наибольшее число из второй группы. Какое наибольшее значение может принимать сумма M1+ M2?

Показать ответ и решение

Обозначим числа в первой группе через

a1 ≥a2 ≥ ...≥ a6

Обозначим числа во второй группе через

b1 ≥ b2 ≥...≥ b4

Нам нужно максимизировать выражение

M1 + M2 = a1 +b1

Запишем условие на числа первой группы и выразим a1 :

a1+-...+-a6= 7  ⇔   a1 +...+ a6 = 42
    6
       a1 = 42− (a2+...+ a6)

Запишем условие на числа второй группы и выразим b1 :

b1+ ...+ b4
-----4----= 9  ⇔   b1+ ...+b4 = 36
       b = 36− (b + b +b )
        1        2  3   4

Тогда сумма равна

a1 +b1 = 78− a2− a3− a4− a5− a6− b2 − b3− b4

Каждое из восьми чисел, которые мы вычитаем из 78, не меньше 1, так как все числа натуральные, следовательно,

a1+ b1 ≤ 78− 8⋅1= 70

Сумма, равная 70, очевидно достигается:

pict
Ответ: 70

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!