а) Так как хорды оказываются разделены точками пересечения на три равные части, то каждая точка пересечения делит хорду в отношении Возьмем произвольные две хорды из наших трех и назовем их и Пусть их точка пересечения тогда не умаляя общности имеем:

Тогда по углу и двум сторонам, следовательно, как соответствующие у подобных треугольников.

Вспомним, что точки лежат на одной окружности, следовательно, как вписанные, опирающиеся на одну дугу.

Получили, что в треугольнике углы при вершинах и равны, отсюда и Мы доказали равенство двух произвольных хорд, а значит, все хорды равны между собой.

б) Из пункта а) ясно, что треугольник, образованный пересечениями хорд — правильный. Обозначим длину его стороны через тогда из подобия, доказанного в первом пункте, ясно, что

Рассмотрим трапецию Проведем диагональ и найдем значения тригонометрических функций от углов и Для этого воспользуемся несколько раз теоремой косинусов:

Заметим, что как центральный, опирающийся на ту же дугу, аналогично Отрезки как радиусы. Очевидно, что площадь четырехугольника составляет треть от площади всего шестиугольника. Найдем ее.