а) Рассмотрим треугольник Он равнобедренный, так как половины и диагоналей прямоугольника равны. Отсюда имеем:

В четырехугольнике сумма противоположных углов и равна

Следовательно, — вписанный. Тогда углы и равны как опирающиеся на сторону вписанного четырехугольника. Что и требовалось доказать.

б) Пусть — точка пересечения и Тогда треугольники и равны по стороне и двум прилежащим углам. Действительно, как вертикальные, из параллельности Отсюда получаем

По теореме косинусов для треугольника

Четырехугольник — вписанный, хорды и равны, следовательно, вписанные углы, которые на них опираются, тоже равны: Тогда — биссектриса угла треугольника и по свойству биссектрисы имеем:

Таким образом, искомый отрезок равен

а) По условию углы, опирающиеся на сторону равны. Тогда имеем:

Значит, четырёхугольник является вписанным. Получили, что — трапеция, вписанная в окружность. Значит, она равнобедренная, то есть

б) Пусть — основание высоты, опущенной из точки на прямую Тогда — высота трапеции Аналогично — другая высота трапеции

Рассмотрим прямоугольные треугольники и Они равны по гипотенузе и острому углу так как — равнобедренная трапеция. В равных треугольниках соответственные элементы равны, поэтому

Также заметим, что — прямоугольник, значит, Тогда получаем

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники и Они подобны по общему углу Запишем отношение подобия и найдем отрезок

Длина отрезка больше 0, поэтому Тогда искомый отрезок равен

а) По условию угол — центральный угол, который опирается на дугу , значит, .

Рассмотрим треугольник . В нем как радиусы описанной окружности треугольника . Следовательно, треугольник равнобедренный и . Тогда по сумме углов в треугольнике :

Рассмотрим треугольник . Он прямоугольный, так как по условию . Тогда по сумме углов в треугольнике :

б) Пусть — середина . Заметим, что , так как — равнобедренный треугольник. Тогда по двум углам, так как

Из отношения подобия получим

Отсюда окончательно

а) Пусть Тогда по сумме углов имеем:

Пусть точка — центр вписанной окружности

Мы знаем, что центром вписанной окружности треугольника является точка пересечения его биссектрис. Значит, — биссектриса а — биссектриса

Следовательно,

Углы и вписаны в описанную окружность и опираются на дуги и соответственно, поэтому равны половинам их величин. Значит, величина дуги равна

Рассмотрим центральный угол окружности, описанной вокруг треугольника Он опирается на дугу поэтому равен ей, так как является центральным. Значит,

Тогда рассмотрим четырехугольник . В нем сумма противоположных углов и равна

Значит, четырехугольник — вписанный.

б) Так как в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы длин его противоположных сторон равны, то есть

Заметим, что как радиусы описанной окружности треугольника значит,

Рассмотрим В нем и Следовательно, является равносторонним. Тогда имеем:

 

 

В предыдущем пункте мы доказали, что Тогда

Вернемся к четырехугольнику В нем и Значит, — дельтоид. Осью симметрии является прямая, содержащая диагональ  

Тогда центр вписанной окружности, пусть это точка должен лежать на Также в дельтоиде диагональ является биссектрисой углов и значит,

Тогда рассмотрим Он прямоугольный, так как по сумме углов треугольника

Пусть и — радиусы вписанной окружности четырехугольника проведенные к сторонам и соответственно. Тогда и следовательно, — квадрат со стороной Далее имеем:

Рассмотрим треугольник В нем и тогда

Мы уже знаем, что и значит,

Тогда искомый радиус окружности равен

а) Угол — центральный, опирающийся на дугу угол — вписанный и опирающийся на ту же дугу, следовательно, Что и требовалось доказать.

 

 

б) Проведем Так как угол между касательной и хордой, выходящей из точки касания, равен половине дуги, заключенной между ними, то

Аналогично получаем

 

 

Следовательно, имеем две пары прямоугольных подобных по острому углу треугольников:

Отсюда получаем

а) Четырехугольник вписанный, отсюда имеем:

Тогда по двум углам, так как и — общий.

б) Пусть коэффициент подобия треугольников и равен Тогда имеем:

Из подобия получаем

По условию Обозначим угол через Так как он внешний в треугольнике то имеем:

Обозначим искомый радиус через Запишем теорему синусов для треугольников и с учетом того, что у них общая описанная окружность:

Далее имеем:

Отсюда окончательно получаем

а) В первом пункте нам важна только информация о треугольнике . Обозначим через его радиус описанной окружности. По условию . Докажем, что . Запишем теорему косинусов для угла

По следствию из теоремы синусов

Подставив в первое равенство, получим

Получили квадратное уравнение относительно . Подставим значения и решим

Первый корень очевидно подходит, получается прямоугольный треугольник со сторонами . Проверим второй корень

Угол тупой, т.к. , а по условию треугольник не может быть тупоугольным. Получили противоречие, значит, единственный возможный случай, когда треугольник — прямоугольный.

б) с коэффициентом (т.к. , — общий). Из подобия следует, что . По аналогичным причинам с коэффициентом и . Тогда

Известно, что в четырехугольнике с перпендикулярными диагоналями площадь равна половине произведения диагоналей, тогда

а) Пусть — точка пересечения диагоналей трапеции. Докажем, что точка лежит на

Углы так как это вписанные углы, опирающиеся на диаметры соответствующих окружностей. Тогда точка — ортоцентр треугольника Угол между диагоналями прямой по условию, значит, — третья высота в треугольнике и тоже проходит через точку

Трапеция равнобокая, следовательно, треугольники и равны, откуда и Угол по условию, тогда треугольник — прямоугольный равнобедренный, а Углы как накрест лежащие.

Тогда по сумме углов треугольника

Прямая — серединный перпендикуляр к отрезку точка лежит на прямой следовательно, Получили, что в выпуклом четырехугольнике суммы противоположных сторон равны:

Значит в четырехугольник можно вписать окружность.

б) Рассмотрим равнобедренные прямоугольные треугольники и

Тогда по теореме Пифагора для треугольника

 

Площадь четырехугольника из соображений симметрии равна удвоенной площади треугольника

Площадь описанного четырехугольника равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности значит

а) Углы , так как — биссектриса. Точка лежит на серединном перпендикуляре к тогда имеем:

Тогда по двум углам: — общий. Запишем отношение подобия:

Что и требовалось доказать.

б) Воспользуемся формулой для площади треугольника, где — полупериметр, — радиус вписанной окружности. Найдем площадь и полупериметр треугольника чтобы вычислить радиус его вписанной окружности.

Точка лежит на биссектрисе и равноудалена от сторон угла отсюда где — основание перпендикуляра из на Найдем

Следовательно,

Тогда несложно найти все отрезки в а также полупериметр и площадь

а) — равнобедренный по условию . Далее, как накрест лежащие. Получили, что — биссектриса угла .

б) Заметим, что площади треугольников и равны, т.к. они имеют общее основание , а равенство высот следует из параллельности прямых и . Пусть — полупериметр треугольника , все стороны которого нам известны, . Запишем равенство площадей

Несложно понять, что угол меньше 90. Допустим обратное . Тогда как накрест лежащий. Получили противоречие, т.к. в равнобедренном треугольнике угол при основании должен быть строго меньше 90. Значит, . Найдем по теореме косинусов для треугольника

а) Обозначим По условию следовательно, — равнобедренный и Угол как внешний в треугольнике Отрезок перпендикулярен по условию, а — угол прямоугольника. Следовательно,

Тогда четырехугольник вписанный по сумме противоположных углов Отсюда получаем

В прямоугольнике диагонали равны, значит

Найдем угол

Тогда

б) Пусть точка — основание перпендикуляра из на — основание высоты из вершины в треугольнике Заметим, что треугольники и подобны, так как с коэффициентом 2, поскольку

Найдем длины некоторых отрезков, воспользовавшись условием, что

Запишем площадь треугольника двумя способами:

Отсюда найдем искомое расстоние

а) Четырехугольник вписанный . , т.к. — параллелограмм. — вписанный.

б) Для начала докажем лемму.

___________________________________________________________

Лемма 1. Пусть есть окружность и точка вне ее. Через точку проведена касательная к окружности, а также прямая, пересекающая окружность в двух точках и . Тогда .

Доказательство. , т.к. угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду. Тогда по двум углам (т.к. общий). Запишем подобие

___________________________________________________________

Вернемся к решению исходной задачи. Дважды воспользовавшись Леммой 1 для точек и , получим соотношения

Далее, из равенств углов, доказанных в первом пункте, очевидно, что трапеции и — равнобокие, то есть . Пусть . Тогда из вписанности четырехугольника

Выразим двумя способами по теореме косинусов для треугольников и и найдем

Найдем по теореме косинусов для треугольника

а) Пусть Проведем Тогда по теореме Фалеса имеем:

Тогда также по теореме Фалеса

 

Следовательно, — медиана и высота в треугольнике поскольку

Тогда равнобедренный и Следовательно, Так как катет, равный половине гипотенузы, лежит напротив угла то

б) Рассмотрим В нем Так как то имеем:

То есть — середина Проведем Тогда — средняя линия треугольника Значит,

Из прямоугольного имеем:

Следовательно, а так как то и

Заметим, что по двум углам, поскольку как вертикальные, как накрест лежащие при и секущей Следовательно,

По теореме Пифагора из

Тогда искомый отрезок равен

Сразу отметим, что в силу симметрии точки касания малой и большой окружностей с основанием треугольника совпадают, то есть — точка касания обеих окружностей со стороной .

а) Известно, что центр вневписанной окружности является точкой пересечения биссектрисы из вершины треугольника и двух внешних биссектрис, тогда . Также , так как — центр вписанной окружности. Получили

б) Сразу заметим, что , так как соответствующие радиусы перпендикулярны касательным. Кроме того, как радиусы. Точки , и лежат на одной прямой, поэтому . По теореме Пифагора в : .

по двум углам с коэффициентом . Кроме того, как отрезки касательных из одной точки.

по двум углам с коэффициентом радиус большей окружности .

а) В первом пункте высота из никак не фигурирует, поэтому пока забудем про нее. У угла косинус положителен, значит, он острый, следовательно, точка лежит на луче поэтому точка находится ближе чем к точке а значит, точка лежит строго на отрезке Так мы поняли, какой примерный вид должна иметь картинка.

Пусть Тогда

По теореме косинусов

Получили, что значит, — тупой.

б) Нарисуем новую картинку, пользуясь знаниями из первого пункта. Заметим, что по двум углам ( — общий) с коэффициентом

Тогда

Значит,

Следовательно, так как точки и лежат на одной прямой. Итого

а) Вписанный угол опирающийся на хорду равен углу между касательной и хордой По условию трапеция прямоугольная, следовательно, Далее имеем:

Заметим, что четырехугольник — вписанный, поэтому

Также из условия следует, что Получили, что в треугольнике все углы равны, следовательно, он равносторонний и углы, обозначенные на картинке двумя дужками, равны Тогда имеем:

Значит, — биссектриса угла

б) Обозначим площадь треугольника через Из первого пункта мы знаем равенство углов отсюда Тогда треугольники и равны по трем сторонам и

Кроме того, является биссектрисой для углов и следовательно,

Получили, что по двум углам с коэффициентом подобия

Для подобных треугольников отношение площадей равно

Тогда прямая делит площадь трапеции в отношении, равном

а) Пусть – центр окружности, описанной около . Так как – касательная к окружности, проходящей через точку , то , следовательно, . Опустим из точки на перпендикуляр .

Так как центр описанной около треугольника окружности – это точка пересечения его серединных перпендикуляров, то – середина .

Точки , и лежат на одной прямой: в самом деле, , тогда прямые, содержащие и либо параллельны, либо совпадают, но они проходят через общую точку .

Таким образом, лежит на серединном перпендикуляре к , следовательно, равноудалена от концов отрезка и треугольник – равнобедренный (). Кроме того, .
 

 

Аналогично, . Так как сумма углов четырёхугольника равна , то , причём

откуда следует, что .

Кроме того, как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых , и секущей . В итоге, два угла треугольника соответственно равны двум углам треугольника , следовательно, они подобны.

 

Замечание. Формально в рамках пункта а) треугольник может быть и остроугольным, а на рисунке он тупоугольный, однако, все рассуждения, приведённые выше, будут справедливы и для случая остроугольного треугольника .

б) , тогда .

В итоге

а) Так как хорды оказываются разделены точками пересечения на три равные части, то каждая точка пересечения делит хорду в отношении Возьмем произвольные две хорды из наших трех и назовем их и Пусть их точка пересечения тогда не умаляя общности имеем:

Тогда по углу и двум сторонам, следовательно, как соответствующие у подобных треугольников.

Вспомним, что точки лежат на одной окружности, следовательно, как вписанные, опирающиеся на одну дугу.

Получили, что в треугольнике углы при вершинах и равны, отсюда и Мы доказали равенство двух произвольных хорд, а значит, все хорды равны между собой.

б) Из пункта а) ясно, что треугольник, образованный пересечениями хорд — правильный. Обозначим длину его стороны через тогда из подобия, доказанного в первом пункте, ясно, что

Рассмотрим трапецию Проведем диагональ и найдем значения тригонометрических функций от углов и Для этого воспользуемся несколько раз теоремой косинусов:

Заметим, что как центральный, опирающийся на ту же дугу, аналогично Отрезки как радиусы. Очевидно, что площадь четырехугольника составляет треть от площади всего шестиугольника. Найдем ее.

а) Пусть — центр второй окружности, — точка касания окружностей, тогда лежат на одной прямой. Пусть и — точки касания второй окружности и сторон и соответственно.

Обозначим радиус второй окружности через отрезки касательных к ней из точки за угол за

По теореме Пифагора для треугольника имеем:

Вторая окружность касается сторон угла следовательно, её центр лежит на биссектрисе этого угла. Таким образом,

 

Рассмотрим прямоугольный треугольник В нём имеем:

По формуле тангенса половинного угла

Из прямоугольного треугольника с углом

Таким образом,

Следовательно,

Тогда, так как то

Что и требовалось доказать.

б) По предыдущему пункту

Рассмотрим прямоугольный треугольник В нём

Тогда по теореме Пифагора

 

 

Рассмотрим треугольник В нём

Запишем теорему косинусов для треугольника

Рассмотрим прямоугольный треугольник В нём

Тогда по теореме Пифагора

Рассмотрим треугольник В нём

Запишем теорему косинусов для треугольника

Приравняем левые части двух полученных уравнений:

Подставим полученное значение во второе уравнение:

Найдем дискриминант полученного уравнения:

Тогда

В предыдущем пункте мы доказали, что

Значит, нам не подходит. Таким образом,

а) Сразу отметим пары равных отрезков касательных:

Найдем Пусть — полупериметр треугольника. Запишем тогда площадь треугольника двумя способами:

Тогда имеем:

Cледовательно, по обратной теореме Пифагора угол треугольника прямой.

б) Известно, что в прямоугольном треугольнике середина гипотенузы является центром описанной окружности, обозначим ее Тогда имеем:

 

 

Так как по условию пункта б) то по теореме Пифагора в треугольнике имеем: