Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Диагонали равнобедренной трапеции с основаниями и перпендикулярны. Окружность с диаметром пересекает боковую сторону в точке а окружность с диаметром пересекает основание в точке Отрезки и пересекаются в точке
a) Докажите, что в четырёхугольник можно вписать окружность.
б) Найдите радиус этой окружности, если
(МИОО 2017)
а) Пусть — точка пересечения диагоналей трапеции. Докажем, что точка лежит на
Углы так как это вписанные углы, опирающиеся на диаметры соответствующих окружностей. Тогда точка — ортоцентр треугольника Угол между диагоналями прямой по условию, значит, — третья высота в треугольнике и тоже проходит через точку
Трапеция равнобокая, следовательно, треугольники и равны, откуда и Угол по условию, тогда треугольник — прямоугольный равнобедренный, а Углы как накрест лежащие.
Тогда по сумме углов треугольника
Прямая — серединный перпендикуляр к отрезку точка лежит на прямой следовательно, Получили, что в выпуклом четырехугольнике суммы противоположных сторон равны:
Значит в четырехугольник можно вписать окружность.
б) Рассмотрим равнобедренные прямоугольные треугольники и
Тогда по теореме Пифагора для треугольника
Площадь четырехугольника из соображений симметрии равна удвоенной площади треугольника
Площадь описанного четырехугольника равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности значит
б)
Содержание критерия | Балл |
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
ИЛИ | |
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), | 1 |
ИЛИ | |
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, | |
ИЛИ | |
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 3 |
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!