Тема 15. Решение неравенств
15.04 Показательные неравенства
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела решение неравенств
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#78012

Решите неравенство

3x+ 9   3x− 9  108⋅3x−2+ 144
3x−-9 + 3x+-9 ≥----9x-−-81----.
Показать ответ и решение

ОДЗ:

{ x
 3x− 9⁄= 0,
 9 − 81⁄= 0,

то есть x ∈(−∞; 2)∪(2;+∞ ).
Сделаем замену t= 3x,  тогда

                 1
t+9-+ t−-9≥ 108⋅29 ⋅t+-144,
t− 9  t+ 9      t− 81

(t+ 9)2+ (t− 9)2  12t+ 144
--(t− 9)(t+9)- ≥ -t2−-81-,

2           2
t+-18t+-81+-t−-18t+-81≥ --12t+-144--,
     (t− 9)(t+ 9)        (t− 9)(t+ 9)

   2
--2t-+162--≥ --12t+144--,
(t− 9)(t+ 9)  (t− 9)(t+ 9)

2t2+ 162 − 12t− 144
---(t−-9)(t+-9)---≥ 0,

2t2 − 12t+ 18
(t−-9)(t+-9) ≥ 0,

2(t2-− 6t+-9)
(t− 9)(t+ 9) ≥ 0,

--2(t− 3)2-≥ 0,
(t− 9)(t+ 9)

Воспользуемся методом интервалов:

PIC

Обратная замена. Рассмотрим все возможные случаи. При этом обращаем внимание на то, что основание степени 3> 1,  поэтому знак неравенства сохраняется.
1)

t< − 9,

3x < −9,

очевидно, что это неравенство не имеет решений.
2)

t= 3,

3x = 3,

x= 1.

3)

t> 9,

3x > 9,

x> 2.

Найденные решения удовлетворяет ОДЗ.

Ответ:

x ∈{1}∪ (2;+ ∞)

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получен верный ответ

2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,

1

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «<  » вместо «≤ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!