Тема 15. Решение неравенств
15.04 Показательные неравенства
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела решение неравенств
Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#2133

Решите неравенство

       (  )x+3
252x−4 <  1
         5
Показать ответ и решение

ОДЗ: x  — любое число.

Преобразуем данное неравенство:

  22x−4    −1x+3       4x−8   −x−3
(5 )   < (5  )    ⇔   5    < 5

Так как основание степени больше единицы, то неравенство равносильно

4x − 8< −x − 3 ⇔   x < 1  ⇔   x∈ (−∞; 1)
Ответ:

 (−∞; 1)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#2132

Решите неравенство

 x2−1
17   ≥ 1
Показать ответ и решение

Представим правую часть неравенства в виде степени:

  x2−1    0
17    ≥17

Так как основание степени больше единицы, то неравенство равносильно

 2
x − 1≥ 0  ⇔   (x− 1)(x+ 1)≥ 0

Решим данное неравенство методом интервалов:

PIC

Отсюда получим

x∈ (− ∞;− 1]∪[1;+ ∞)
Ответ:

 (−∞; −1]∪ [1;+∞ )

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#842

Решите неравенство

 2x2−23
4      <8
Показать ответ и решение

ОДЗ: x  — любое число.

Преобразуем данное неравенство:

 2 2x2−23   3       4x2−46   3
(2)     < 2   ⇔   2     < 2

Так как основание степени больше единицы, то неравенство равносильно

  2               2
4x − 46< 3  ⇔   4x − 49< 0  ⇔   (2x− 7)(2x+ 7)< 0

Решим данное неравенство методом интервалов:

PIC

Получим x∈ (− 72; 72).

Ответ:

( 7  7)
 −2 ;2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#798

Решите неравенство

 2x   x
3  − 3 ≥ 0
Показать ответ и решение

Исходное неравенство равносильно неравенству

 2x   x
3  ≥3   ⇔   2x ≥ x  ⇔   x≥ 0
Ответ:

 [0;+ ∞ )

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#80091

Решите неравенство

 3x3− 42x2+189x− 261    x3−6x2+3
3              ≥ 27       .
Показать ответ и решение

По свойству степеней (ab)c = abc  преобразуем запись:

33x3−42x2+189x−261 ≥ 33(x3−6x2+3),

33x3−42x2+189x−261 ≥ 33x3−18x2+9.

Основание показательной функции больше единички, следовательно, функция возрастающая и для неё справедлив закон «чем больше аргумент функции, тем больше её значение». Потенцируем обе части неравенства, сохраняя его знак:

3x3 − 42x2+ 189x− 261≥ 3x3− 18x2 +9,

3x3− 42x2+ 189x − 261− 3x3+ 18x2− 9≥ 0,

−24x2+ 189x − 270 ≥0,

8x2 − 63x +90 ≤0.

Найдём нули левой части по формуле дискриминанта:

D = 632− 4⋅8⋅90 =3969− 2880= 1089= 332,

x1 = 63-− 33 = 15, x2 = 63+-33-= 6.
      16     8         16

По методу интервалов имеем следующее:

PIC

В ответ берём отрезок [    ]
 15;6 .
 8

Ответ:

[   ]
 15;6
 8

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получен верный ответ

2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,

1

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «<  » вместо «≤ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#78012

Решите неравенство

3x+ 9   3x− 9  108⋅3x−2+ 144
3x−-9 + 3x+-9 ≥----9x-−-81----.
Показать ответ и решение

ОДЗ:

{ x
 3x− 9⁄= 0,
 9 − 81⁄= 0,

то есть x ∈(−∞; 2)∪(2;+∞ ).
Сделаем замену t= 3x,  тогда

                 1
t+9-+ t−-9≥ 108⋅29 ⋅t+-144,
t− 9  t+ 9      t− 81

(t+ 9)2+ (t− 9)2  12t+ 144
--(t− 9)(t+9)- ≥ -t2−-81-,

2           2
t+-18t+-81+-t−-18t+-81≥ --12t+-144--,
     (t− 9)(t+ 9)        (t− 9)(t+ 9)

   2
--2t-+162--≥ --12t+144--,
(t− 9)(t+ 9)  (t− 9)(t+ 9)

2t2+ 162 − 12t− 144
---(t−-9)(t+-9)---≥ 0,

2t2 − 12t+ 18
(t−-9)(t+-9) ≥ 0,

2(t2-− 6t+-9)
(t− 9)(t+ 9) ≥ 0,

--2(t− 3)2-≥ 0,
(t− 9)(t+ 9)

Воспользуемся методом интервалов:

PIC

Обратная замена. Рассмотрим все возможные случаи. При этом обращаем внимание на то, что основание степени 3> 1,  поэтому знак неравенства сохраняется.
1)

t< − 9,

3x < −9,

очевидно, что это неравенство не имеет решений.
2)

t= 3,

3x = 3,

x= 1.

3)

t> 9,

3x > 9,

x> 2.

Найденные решения удовлетворяет ОДЗ.

Ответ:

x ∈{1}∪ (2;+ ∞)

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получен верный ответ

2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,

1

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «<  » вместо «≤ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#72211

Решите неравенство

     2x−1     x−1
log3(2    − 3⋅2   + 1)< 1.
Показать ответ и решение

Запишем ограничения, определяющие ОДЗ неравенства:

 2x−1     x−1
2   − 3⋅2   + 1> 0,

    2x         x
0,5 ⋅2 − 0,5⋅3⋅2 + 1> 0,

2x     x
2 − 3⋅2 + 2 >0.

Сделаем замену 2x = t:

t2− 3t+2 > 0,

2
t − t− 2t+ 2> 0,

t(t− 1) − 2(t− 1) > 0,

(t− 2)(t− 1)> 0.

По методу интервалов получаем:

[t< 1,

 t> 2.

Обратная замена:

[
 2x < 1,
 2x > 2.

[
 x< 0,
 x> 1.

Таким образом, область допустимых значений состоит из двух интервалов: x ∈(−∞; 0)∪ (1;+∞ ).

Переходим к решению неравенства. Представим единичку как log 3:
  3

     2x−1     x−1
log3(2   − 3⋅2   + 1)< log33.

Потенцируем обе части неравенства, сохраняя знак неравенства, так как основание 3> 1:

 2x−1     x−1
2   − 3⋅2   + 1< 3,

    2x         x
0,5 ⋅2 − 0,5⋅3⋅2 − 2< 0,

22x− 3⋅2x− 4 <0.

Сделаем замену  x
2  = t:

t2− 3t− 4 < 0,

t2 +t− 4t− 4< 0,

t(t+ 1) − 4(t+ 1) < 0,

(t− 4)(t+ 1)< 0.

По методу интервалов получаем:

{
 t> −1,
 t< 4.

Обратная замена:

{
 2x > −1,
 2x < 4.

x< 2.

Найдём пересечение между ОДЗ и полученными решениями рационального неравенства:

PIC

Ответ:

Ответ: x∈ (−∞; 0)∪ (1;2)

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получен верный ответ

2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,

1

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «<  » вместо «≤ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#18560

Решите неравенство

 x      x+1
9  − 10⋅3  + 81≥ 0
Показать ответ и решение

 9x − 10⋅3x+1+ 81≥ 0
   2
(3x)− 10⋅3x⋅3 +81 ≥0
 (3x)2− 30⋅3x+ 81≥ 0

Пусть t= 3x,  тогда неравенство примет вид:

 t2− 30t+ 81≥ 0

(t− 3)(t− 27) ≥0

откуда

[
 t≤ 3
 t≥ 27

При  x
3 ≤ 3  получим  x
3 ≤ 3,  откуда x ≤ 1.

При  x
3 ≥ 27  получим  x   3
3 ≥ 3 ,  откуда x ≥3.

Решение исходного неравенства: x∈ (−∞; 1]∪ [3;+∞ ).

Ответ:

 (−∞; 1]∪[3;+ ∞)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#15706

Решите неравенство

  x     x 2     x     x
(4 − 5⋅2 ) − 20 (4 − 5 ⋅2 )≤ 96
Показать ответ и решение

  x     x 2     x     x
(4 − 5⋅2 ) − 20 (4 − 5 ⋅2 )≤ 96

Пусть t= 2x,  тогда неравенство примет вид:

 2    2     2
(t − 5t)− 20(t− 5t)− 96 ≤ 0

Разложим левую часть на множители как квадратный трехчлен относительно выражения (t2 − 5t):

  2           2
((t− 5t)− 24)((t − 5t) +4)≤ 0

Заметим, что t2− 5t− 24 = (t+ 3)(t− 8),  а t2− 5t+ 4= (t− 1)(t− 4).  Тогда имеем

(t+ 3)(t− 8)(t− 1)(t− 4)≤ 0

Отсюда по методу интервалов получаем

t∈[−3;1]∪[4;8]

При − 3≤ t≤ 1  получим      x
− 3 ≤ 2 ≤ 1,  откуда x≤ 0.

При 4≤ t≤ 8  получим 4≤ 2x ≤8,  откуда 2≤ x≤ 3.

Объединяя, получаем решения исходного неравенства: x≤ 0; 2 ≤ x≤ 3.

Ответ:

(−∞; 0]∪[2;3]

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получен верный ответ

2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,

1

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «<  » вместо «≤ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#2752

Решите неравенство

  2
6xx > (0,5)x
Показать ответ и решение

ОДЗ: x ⁄=  0  .

 

Запишем число 0,5  как степень с основанием 6  :

        log60,5
0,5 =  6     .
Тогда неравенство примет вид
  2
6xx > 6x log60,5
Т.к. основание больше единицы (6 > 1  ), то неравенство равносильно
 2                    {                         {
x--> x log  0,5   ⇔      x > x log60,5      ⇔      x(1 − log6 0,5) > 0
x         6             x ⁄= 0                     x ⁄= 0
Т.к. основание и аргумент логарифма log6 0,5  лежат по разные стороны от 1  , то он отрицателен, то есть log6 0,5 < 0  . Следовательно, 1 − log6 0,5 > 0  , следовательно, x(1 − log60,5 ) > 0  ⇔     x > 0  и решением системы будут x ∈ (0;+ ∞ )  .
Ответ:

(0;+ ∞ )

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#2744

Решите неравенство

 x     x     x
8 − 3⋅4 + 3⋅2 − 1≤ 0
Показать ответ и решение

Исходное неравенство равносильно неравенству

 3x     2x      x
2  − 3⋅2  +3 ⋅2 − 1≤ 0

Сделаем замену y = 2x,  y > 0.  Полученное неравенство примет вид

3    2
y − 3y + 3y− 1 ≤0
   (y− 1)3 ≤ 0

По методу интервалов при y >0  имеем:

PIC

Отсюда получаем

y ∈ (0;1]

Таким образом, исходное неравенство равносильно неравенству

0< 2x ≤ 1
  x   0
 2 ≤ 2
  x≤ 0
Ответ:

 (−∞; 0]

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получен верный ответ

2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,

1

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «<  » вместо «≤ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#2545

Решите неравенство

         x
-x13−-5⋅3x----≥ 1
9 − 12⋅3 + 27   2
Показать ответ и решение

Сделаем замену 3x = t.  Так как 9x = (3x)2 =t2,  то неравенство сведется к рациональному:

 ---13−-5t--   1
 t2− 12t+ 27 ≥ 2
  −t2+ 2t− 1
2-(t2−-12t+27) ≥0

  --(t−-1)2--≤ 0
  t2− 12t+ 27

Так как t2− 12t+ 27= (t− 3)(t− 9),  то имеем:

       2
--(t−-1)---≤ 0
(t− 3)(t− 9)

Решим данное неравенство методом интервалов:

PIC

Отсюда получаем

t∈{1}∪ (3;9)

Сделаем обратную замену:

[               [
 3x = 1     ⇔    x= 0
 3< 3x < 9       1< x< 2
Ответ:

 {0}∪ (1;2)

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получен верный ответ

2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,

1

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «<  » вместо «≤ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#2544

Решите неравенство

 x
3x−-1 ≤ 1+ -x1--
3 − 3      3 − 2
Показать ответ и решение

Сделаем замену 3x = t,  тогда неравенство сведется к рациональному:

          t− 1     -1--
          t− 3 ≤ 1+ t− 2
(t− 1)(t− 2)− (t− 3)(t− 2) − (t− 3)
----------(t−-3)(t−-2)----------≤ 0

          ---t−-1---≤ 0
          (t− 3)(t− 2)

Решим данное неравенство методом интервалов:

PIC

Отсюда получаем

t∈ (− ∞;1]∪ (2;3)

Сделаем обратную замену:

[3x ≤ 1         [x ≤0
     x      ⇔
 2< 3 < 3        log32 < x< 1

Таким образом, окончательно получаем

x∈ (−∞; 0]∪(log32;1)
Ответ:

 (−∞; 0]∪(log 2;1)
           3

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получен верный ответ

2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,

1

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «<  » вместо «≤ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#2356

Решить неравенство

                  1
4x− 4⋅2x+ 3+ 4x−-4-⋅2x-+5 > 0
Показать ответ и решение

Сделаем замену t= 4x− 4⋅2x+ 5  . Тогда неравенство примет вид

                 2                      2
t− 2+ 1> 0  ⇔    t−-2t+-1> 0  ⇔    (t−-1)-> 0
      t             t                t

Решим полученное неравенство методом интервалов:

 
PIC

 

Таким образом, решением являются

{             { x     x
  t> 0    ⇒    4 − 4⋅2  +5 > 0
  t⁄= 1         4x− 4⋅2x +5 ⁄= 1

Сделав замену  x
2  = y  , система приобретет вид

{                    {                    {
 y2− 4y+ 5> 0          (y− 2)2 > − 1        y ∈ℝ
 y2− 4y+ 4⁄= 0    ⇔     (y− 2)2 ⁄= 0     ⇔    y ⁄= 2    ⇔   y ⁄= 2

Сделаем обратную замену:

2x ⁄= 2 ⇔   x ⁄= 1
Ответ:

 (−∞; 1)∪(1;+∞ )

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получен верный ответ

2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,

1

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «<  » вместо «≤ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#2168

Решите неравенство √ ---
  4x ≥ sin 855∘ .

Показать ответ и решение

Т.к. 855∘ = 2 ⋅ 360∘ + 135∘ , то                       1
sin 855∘ = sin 135∘ = √---
                       2  .

Таким образом, неравенство сводится к

√ ---
  4x ≥ √1--  ⇔    4 x2 ≥ 2− 12  ⇔     2x ≥ 2− 12  ⇔    x ≥  − 1-
         2                                                 2
(т.к. основание степени 2 > 1  , то знак неравенства не меняется).

 

Следовательно, ответ:     [         )
x ∈  − 1-;+∞
       2 .

Ответ:

[        )
 − 12;+∞

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#2136

Решите неравенство

       −x
8x+2 < 3-
       9
Показать ответ и решение

ОДЗ: x  — любое число.

Преобразуем правую часть:

3−x
-9- = 3−x⋅3−2 = 3−x−2

Тогда неравенство равносильно

8x+2 <3−x−2

Умножим обе части неравенства на положительное выражение  x+2
3  :

8x+2⋅3x+2 < 3−x−2⋅3x+2 ⇔   (8 ⋅3)x+2 < 30 ⇔   24x+2 < 240

Так как основание степени больше единицы, то неравенство равносильно

x+ 2< 0  ⇔   x ∈(−∞; −2)
Ответ:

 (−∞; −2)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#2135

Решите неравенство

2x+1 ⋅ 53−4x <-1---
              104x
Показать ответ и решение

ОДЗ: x  – произвольный.

 

Т.к. --1--     −4x         −4x    −4x   −4x
104x =  10    = (2 ⋅ 5)  =  2    ⋅ 5  , то неравенство равносильно:

 x      3  − 4x    −4x   −4x         −4x  (      x    −4x)
2  ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 5 <  2   ⋅ 5     ⇔     5   ⋅  250 ⋅ 2 − 2    <  0
Т.к. по определению  − 4x
5    >  при всех x  из ОДЗ, то неравенство равносильно
      x    −4x
250 ⋅ 2 − 2    < 0
Умножим обе части неравенства на положительное выражение 24x  и получим
                                                                                        −1
250 ⋅ 2x ⋅ 24x − 2−4x ⋅ 24x < 0 ⇔    250 ⋅ 25x < 1  ⇔    25x < 250−1   ⇔    25x < 2log2250
Т.к. основание больше единицы (2 > 1  ), то неравенство равносильно
5x < log 250 −1   ⇔    x < − 1-+-3-log2-5
        2                         5

Таким образом, ответ     (       1+3 log 5)
x ∈  − ∞; − ----5-2- .

Ответ:

(       1+3log 5)
 − ∞; − ---5-2--

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#2134

Решите неравенство

    √ -x2−7      √-
(2+   3)   ≤ 7+ 4 3
Показать ответ и решение

ОДЗ: x  — любое число.

Заметим, что

   √ -2   2     √ -   √- 2      √-
(2 +  3) = 2 +2 ⋅2 3+ ( 3) = 7+ 4 3

Следовательно, неравенство равносильно

    √- x2−7      √ -2
(2+  3)    ≤(2+   3)

Так как основание 2+ √3  степени больше единицы, то неравенство равносильно

 2             2
x − 7≤ 2  ⇔   x − 9≤ 0  ⇔   (x− 3)(x +3)≤ 0

Решим данное неравенство методом интервалов:

PIC

Получим x∈ [− 3;3].

Ответ:

 [−3;3]

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#2088

Решите неравенство

8x + 2x − 2 ≤ 0
Показать ответ и решение

ОДЗ: x  – произвольный.

Исходное неравенство равносильно неравенству

 3x    x
2  +  2 −  2 ≤ 0

Сделаем замену      x
y = 2   , y > 0  . Полученное неравенство примет вид:

y3 + y − 2 ≤ 0

Можно угадать корень левой части последнего неравенства: y = 1  . Знание корня многочлена позволяет поделить его столбиком на y − y0   , где y0   – его корень, тогда

 3       2           |
y 3+ 0 ⋅ y2+ y − 2   |--2-y-−-1------
 y-−----y-2          |y  + y + 2
        y  + y       |
        y2-−-y-      |
            2y − 2   |
            2y − 2   |
            -----0-  |

Таким образом, последнее неравенство равносильно

(y − 1)(y2 + y + 2) ≤ 0

Так как у уравнения y2 + y + 2 = 0  дискриминант отрицательный, то выражение y2 + y + 2  всюду имеет один и тот же знак. Так как при y = 1  выражение  2
y +  y + 2  положительно, то оно положительно при всех y  .

Таким образом, последнее неравенство равносильно

(y − 1 ) ≤ 0     ⇔      y ≤ 1

Тогда исходное неравенство равносильно неравенству

2x ≤ 1     ⇔       2x ≤ 20     ⇔      x ≤  0.
Ответ:

(− ∞; 0]

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#2087

Решите неравенство

  x        x   x
27 − 3 +3 ⋅9  − 3 ≤0
Показать ответ и решение

ОДЗ: x  — любое число.

Исходное неравенство равносильно неравенству

 3x     2x  x
3  + 3⋅3  − 3 − 3 ≤ 0

Сделаем замену y = 3x  , y > 0  . Полученное неравенство примет вид:

 3    2
y + 3y − y− 3≤ 0

В левой части последнего неравенства сгруппируем первые два и последние два слагаемых:

y2(y +3)− (y+ 3)≤ 0  ⇔   (y2 − 1)(y+ 3)≤ 0 ⇔   (y − 1)(y+ 1)(y+ 3)≤ 0

По методу интервалов при y >0  имеем:

 
PIC
 

Отсюда y ∈ (0;1]  .

Таким образом, исходное неравенство равносильно неравенству

0< 3x ≤1    ⇔     3x ≤ 30   ⇔     x≤ 0
Ответ:

 (−∞; 0]

Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!