Задача №80089: Тригонометрические: разложение на множители — Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Тема 13. Решение уравнений

13.03 Тригонометрические: разложение на множители

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела решение уравнений

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#80089

а) Решите уравнение $1 +sinx = cos2 x. 2$

б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку $[ 3π π] − 2-;− 2-.$

Показать ответ и решение

а)

Перенесём $cos2 x 2$ в левую часть уравнения:

1 − cos2 x+ sin x = 0. 2

По ОТТ $sin2 x = 1− cos2 x : 2 2$

sin2 (x) + sinx = 0. 2

По формуле синуса двойного угла $x x sin x = 2 sin 2 cos2 :$

2 x- x- x- sin 2 + 2sin2 cos2 = 0.

Вынесем $x sin 2$ за скобку:

( ) sin x-⋅ sin x-+ 2cos x = 0. 2 2 2

Произведение равно 0 тогда, когда хотя бы один из множителей равен 0:

$⌊ sin x-= 0, ⌈ x 2 x sin 2 + 2 cos 2-= 0.$

Второе уравнение совокупности — однородное.

Если в рамках данного уравнения $x cos2$ равен 0, то и $x sin 2$ одновременно равен 0. В таком случае получаем противоречие с ОТТ: $2 2 0 + 0 ⁄= 1.$

Разделим второе уравнение совокупности на $x cos2 :$

$⌊ sin x-= 0, ⌈ 2 tg x-+ 2 = 0. 2$

$⌊ x- ⌈ 2 = πn,n ∈ ℤ, x-= arctg (− 2)+ πn,n ∈ ℤ. 2$

$[ x = 2πn,n ∈ ℤ, x = 2 arctg(− 2)+ 2πn,n ∈ ℤ.$

б)

Проведём отбор корней графическим методом:

$PIC$

Ни одна из точек серии $x = 2πn,n ∈ ℤ$ не принадлежит отрезку.

Из серии $x = 2arctg(− 2)+ 2πn,n ∈ ℤ$ на отрезок попадает ровно одна точка $2 arctg(− 2).$

Для того, чтобы точно определить её положение на окружности, сначала определим положение точки $arctg (− 2).$ Она, очевидно, лежит в IV четверти из-за отрицательности аргумента арктангенса: $− 2 < − 1,$ откуда $arctg(− 2)$ меньше $− π. 4$

Отмерим такой же угол уже от точки $arctg(− 2)$ и попадём в III четверть, где и будет лежать точка $2 arctg(− 2).$

Таким образом:

$2arctg(− 2) = arctg(− 2)+ arctg(− 2) = 2 arctg(− 2)+ 2π ⋅0.$

Ответ:

а) $x = 2πn,x = 2arctg (− 2)+ 2πn$ , где $n ∈ ℤ$ ;

б) $2 arctg(− 2).$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Специальные программы

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное обучениев Школково

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное обучениев Школково

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Бесплатное обучение
в Школково

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Бесплатное обучение
в Школково

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ