Тема 13. Решение уравнений
13.03 Тригонометрические: разложение на множители
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела решение уравнений
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#78010

а) Решите уравнение          √-
(cos2x− 13 2 sinx+ 13)⋅log13(sin22x)= 0.

б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку [     ]
 3π; 9π .
     2

Показать ответ и решение

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю, а другие при этом не теряют смысла. Уравнение определено, если sin22x> 0.  Рассмотрим два случая:
1)

cos2x− 13√2sin x+ 13= 0,

1− 2sin2 x− 13√2-sin x+ 13= 0,

−2sin2x− 13√2sin x+ 14= 0.

Сделаем замену t =sinx:

        √-
−2t2− 13 2t+ 14= 0,

      √-
2t2+ 13 2t− 14= 0,

      √ -
D = (13  2)2 − 4 ⋅2 ⋅(− 14) =338+ 112= 450,

       √ -  √---      √-    √-      √ -
t1 = −13-2−--450 = −13-2−-15-2-= −-28--2= − 7√2,
        2 ⋅2            4          4

       √ -  √---      √-    √-    √ -  √ -
t1 = −13-2+--450 = −13-2+-15-2-= 2--2= --2.
        2 ⋅2            4         4     2

Сделаем обратную замену:
1а)

        √-
sinx = −7 2.

Это уравнение не имеет решений, так как    √-
− 7 2< − 1.
1б)

      √2
sinx = 2-,

x= π-+ 2πn, n ∈ℤ
   4

и

x=  3π-+ 2πn, n ∈ ℤ.
    4

2)

       2
log13(sin 2x)= 0,

  2      0
sin 2x =13 ,

sin22x= 1,

sin2x= ±1,

2x = π-+πn,  n ∈ℤ,
     2

    π- πn-
x = 4 + 2 .

Все найденные решения удовлетворяют ограничению   2
sin 2x > 0.

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку [   9π]
 3π;-2 .  Для отбора корней воспользуемся тригонометрической окружностью:

PIC

Вычислим явно все корни, принадлежащие данному отрезку.

x1 = π+ π-⋅6= 13π,
     4  2      4

     π- π-    15π
x2 = 4 + 2 ⋅7= 4 ,

x1 = π+ π-⋅8= 17π.
     4  2      4
Ответ:

а) x = π-+ πn,  n∈ ℤ
    4   2  ;
б) 13π- 15π- 17π
 4 ; 4 ; 4

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах

2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)

1

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!