Задача №2479: Тригонометрические: разложение на множители — Каталог задач по ЕГЭ - Математика — Школково

Тема 13. Решение уравнений

13.03 Тригонометрические: разложение на множители

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела решение уравнений

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#2479

а) Решите уравнение $sin2 2x + sin4x + cos 4x = 0.$

б) Найдите все его корни, принадлежащие интервалу $(− 1;0)$ .

Показать ответ и решение

а) ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ.

Воспользуемся формулами двойного угла для синуса $sin2α = 2sinα cos α$ и косинуса $cos2α = cos2α − sin2α$ :

$2 2 2 2 sin 2x + 2 sin 2x cos2x + cos 2x − sin 2x = 0 ⇒ cos 2x + 2 sin 2x cos 2x = 0 ⇒$

$[ cos2x (cos2x + 2 sin 2x) = 0 ⇒ cos 2x = 0 ⇒ cos 2x + 2sin 2x = 0$

$⌊ ⌊ π π 2x = π-+ πn, n ∈ ℤ x1 = --+ --n,n ∈ ℤ ⌈ 2 ⇒ |⌈ 4 2 ctg2x = − 2 x2 = − 1-arcctg2 + πm, m ∈ ℤ 2 2$

б) Отберем корни:

1) $− 1 < x < 0 ⇒ − 2-− 1-< n < − 1- 1 π 2 2$ .

Т.к. $7 2 4 2 1 15 π π < --⇒ --> --⇒ − --− --< − ---⇒ n = − 1 ⇒ x = − -- 2 π 7 π 2 14 4$

2) Обозначим $arcctg2 = α$ , тогда $2- α- α- − 1 < x2 < 0 ⇒ − π + π < m < π$ .

Т.к. $3 < π < 4 ⇒ 1-< 1-< 1-⇒ − 2-< − 2- < − 1- 4 π 3 3 π 2$

Т.к. в первой четверти котангенс убывает и $2 > 1$ , то $π α 1 α < --⇒ 0 < --< -- 4 π 4$

Следовательно, $2- 2- α- 1- − 3 < − π + π < − 4$

Условно можно записать, что $1 − 0,...< m < 0,...⇒ m = 0 ⇒ x = − --arcctg2 2$

Ответ:

а) $π π 1 π --+ -n, − -arcctg2 + --m, n, m ∈ ℤ 4 2 2 2$

б) $π- 1- − 4 ;− 2arcctg2$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse