Тема 13. Решение уравнений
13.05 Тригонометрические: сведение к однородному уравнению
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела решение уравнений
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#761

а) Решите уравнение sin2x − 3 sinxcosx+ 2cos2x= 0.

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку [   π-]
 −π;2  .

Показать ответ и решение

а) Данное уравнение является однородным и решается путем деления правой и левой частей уравнения на sin2x  или на cos2x.  Разделим обе части на cos2x:

                       [            ⌊    π
tg2x − 3tgx+ 2 =0  ⇒    tgx = 1  ⇒   ⌈x = 4-+πk,k ∈ℤ
                        tgx = 2       x = arctg2+ πk,k ∈ ℤ

б) Отберем походящие корни с помощью неравенств.

Первая серия решений:

        π-        5      1
−π ≤ x≤  2  ⇒   − 4 ≤ k ≤ 4

Таким образом, целые k,  удовлетворяющие этому неравенству, это k = −1;0.  При этих значениях k  получаем корни

x= − 3π-, x = π-
     4       4

Вторая серия решений:

        π-          arctg2-     1   arctg2-
−π ≤x ≤ 2  ⇒   − 1−   π   ≤ k ≤ 2 −  π

Заметим, что

π-         π-      1   arctg2-  1
4 < arctg2< 2   ⇒   4 <   π   < 2

Таким образом,

−11 < −1 − arctg2< − 11
  2          π       4
   0< 1 − arctg2-< 1
      2     π     4

Значит, целые k,  подходящие в полученное неравенство, это k = −1;0.  При этих значениях k  получаем корни

x= arctg2− π,  x= arctg2
Ответ:

а) π+ πk;arctg2+ πk;k ∈ ℤ
4

 

б) − 3π ;arctg 2− π; π;arctg2
   4           4

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах

2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)

1

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!