Тема 13. Решение уравнений
13.05 Тригонометрические: сведение к однородному уравнению
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела решение уравнений
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#415

а) Решите уравнение (sinx+ 2cosx)(3sinx+ cosx)= sin2x.

б) Найдите все его корни, принадлежащие [  π-π]
 − 2;2  .

Показать ответ и решение

а) ОДЗ: x  – произвольное. Решим на ОДЗ.

Применим формулу синуса двойного угла sin2x = 2sinx cosx  , раскроем скобки и перенесем все слагаемые в левую часть:

    2                 2
3sin x+ 5sin xcosx + 2cos x = 0

Разделим правую и левую части равенства на cos2x  , сделаем замену tgx= t,t∈ ℝ  и получим:

 2                         2
3t+ 5t+ 2= 0⇒  t1 =− 1;t2 = − 3

Сделаем обратную замену:

⌊           ⌊
  tgx = −1     x1 = − π4-+ πn,n∈ ℤ
⌈       2 ⇒ |⌈           2
  tgx = −3     x2 = −arctg 3 + πm,m ∈ ℤ

б) Отберем корни:

− π-≤x1 ≤ π-⇒ − 1 ≤ n≤ 3 ⇒ n = 0⇒ x = − π
  2       2    4      4               4

Обозначим tg 2= α
   3  , тогда:

  π-     π-   α- 1       α-  1
− 2 ≤ x2 ≤ 2 ⇒ π − 2 ≤ m ≤ π + 2

Т.к. в первой четверти тангенс возрастает и 2             π       α   1
3 < 1⇒ 0 < α< 4-⇒ 0 < π-< 4 ⇒ целое m  , удовлетворяющее неравенству, это m = 0  . Ему соответствует угол x =− arctg 2
         3  .

Ответ:

а)   π-          2
− 4 + πn,− arctg3 + πm, n,m ∈ ℤ

 

б) − π-;−arctg 2
   4      3

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!