Задачи на прямолинейное движение —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Тема 10. Сюжетные текстовые задачи

10.02 Задачи на прямолинейное движение

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела сюжетные текстовые задачи

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#3

Велосипедист преодолел 72 километра за 5 часов. Найдите среднюю скорость велосипедиста. Ответ дайте в метрах в секунду.

Показать ответ и решение

Средняя скорость по определению есть отношение всего пути ко времени, за которое этот путь был проделан. Средняя скорость велосипедиста $72 : 5 = 14,4$ км/ч, что составляет 14400 м/ч или $14400 : (60 ⋅ 60 ) = 4$ м/с.

Ответ: 4

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#23560

Расстояние между городами A и B равно 435 км. Из города A в город B со скоростью 60 км/ч выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 65 км/ч второй автомобиль. На каком расстоянии от города A автомобили встретятся? Ответ дайте в километрах.

Показать ответ и решение

На момент выезда второго автомобиля первый проедет 60 км, то есть будет на расстоянии 60 км от города А. Начиная с этого момента, автомобили будут сближаться со скоростью $60+ 65 = 125$ км/ч и встретятся через $317525-= 3$ часа.

Получаем, что суммарно первый автомобиль провел в движении $1+ 3= 4$ часа со своей постоянной скоростью 60 км/ч, за это время он удалился от города А на $60⋅4= 240$ км.

Ответ: 240

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#2344

Два велосипедиста выехали из одного места в одном направлении. Скорость первого — 10 км/ч, а второго — 18 км/ч. Через сколько часов расстояние между велосипедистами будет равно 104 км?

Показать ответ и решение

$PIC$

Заметим, что за каждый час второй велосипедист будет проходить на $18− 10 = 8$ км больше, чем первый. Следовательно, 8 км/ч — скорость удаления. Изначально между велосипедистами было расстояние 0 км, стало — 104 км, следовательно, расстояние между ними изменилось на 104 км. Значит, прошло $104:8 =13$ часов.

Ответ: 13

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#1612

Два кота одновременно выбегают в одном направлении из одного и того же подъезда. Скорость первого на 0,5 км/ч больше скорости второго. Через сколько минут расстояние между котами станет равным 200 метрам?

Показать ответ и решение

Способ 1.

Первый кот за один час убегает от второго на $0,5 км= 500 м етров.$ Тогда на $500:5 = 100$ метров он убегает от второго кота за $60:5= 12$ минут. На 200 метров первый кот обгонит второго за $12⋅2= 24$ минуты.

Способ 2.

Пусть $v$ км/ч — скорость второго кота, тогда $(v+ 0,5)$ км/ч — скорость первого кота.

Пусть $t$ ч — время, через которое первый кот обгонит второго на $200 м = 0,2 км.$

Тогда $v ⋅t$ км — расстояние, которое второй кот пробежит за $t$ часов, $(v+ 0,5)⋅t$ км — расстояние, которое первый кот пробежит за $t$ часов. Получаем уравнение:

(v+ 0,5)⋅t− v⋅t= 0,2 v ⋅t+0,5t− v ⋅t= 0,2

Отсюда получаем $t= 0,4$ часа. Тогда через $60⋅0,4= 24$ минуты расстояние между котами станет равным 200 метрам.

Ответ: 24

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#1611

Евгений добирался из Москвы до Сочи автостопом. Первые 20 км он шёл пешком со скоростью 4 км/ч, после чего ехал с первым попутчиком следующие 500 км со скоростью 100 км/ч, затем Евгений ехал ещё 500 км со вторым попутчиком со скоростью 125 км/ч, а оставшиеся 600 км он ехал с третьим попутчиком со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость Евгения. Ответ дайте в км/ч.

Показать ответ и решение

По определению средняя скорость – это отношение всего пути ко времени, затраченному на весь путь. Весь путь Евгения составляет $20 + 500 + 500 + 600 = 1620$ км.

Время, которое Евгений потратил на этот путь, равно $20 : 4 + 500 : 100 + 500 : 125 + 600 : 100 = 20$ ч. Тогда средняя скорость Евгения равна $1620 : 20 = 81$ км/ч.

Ответ: 81

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#1610

Борис выехал в город из деревни Борисовка на мопеде со скоростью 30 км/ч, но через 90 км его мопед сломался и он был вынужден пройти пешком 10 км до ближайшей деревни Ивановка. Это расстояние Борис шёл со скоростью 5 км/ч. В Ивановке ему посчастливилось взять напрокат велосипед и оставшиеся до города 65 км он проехал со скоростью 13 км/ч. Найдите среднюю скорость Бориса. Ответ дайте в км/ч.

Показать ответ и решение

По определению средняя скорость – это отношение всего пути ко времени, затраченному на весь путь. Весь путь Бориса составляет $90 + 10 + 65 = 165$ км.

Время, которое Борис потратил на этот путь, равно $90 : 30 + 10 : 5 + 65 : 13 = 10$ ч. Тогда средняя скорость Бориса равна $165 : 10 = 16,5$ км/ч.

Ответ: 16,5

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#1609

Из двух городов, расстояние между которыми равно 840 км, одновременно навстречу друг другу выехали два автомобилиста. Скорость первого 70 км/ч, а скорость второго 60 км/ч. Через сколько часов они встретились, если известно, что автомобиль первого автомобилиста сломался на полпути между этими городами и на его починку пришлось потратить час.

Показать ответ и решение

Половина расстояния между городами 420 км. Это расстояние первый автомобилист преодолел за 6 часов, а второй автомобилист за 7 часов.

Так как первый сломался на полпути между городами, то через 7 часов после начала движения он также был на полпути между городами, то есть, через 7 часов они встретились.

Ответ: 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#1030

Поезд длиной 1 км проходит мимо километрового столба за 1 мин, а через туннель при той же скорости – за 3 мин. Какова длина туннеля? Ответ дайте в километрах.

Показать ответ и решение

$PIC$

Из картинки видно, что “поезд проходит мимо столба” – это то же самое, что “поезд проходит расстояние, равное длине поезда”, а “поезд проходит через туннель” – это то же самое, что “поезд проходит расстояние, равное длине поезда плюс длине туннеля”.
Следовательно, так как длина поезда 1 км, а мимо столба он проходит за 1 мин, то его скорость равна 1 км/мин. Следовательно, 1 км/мин $⋅$ 3 мин $=$ 3 км – длина поезда плюс длина туннеля. Следовательно, длина туннеля равна 2 км.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#86193

Первый велосипедист выехал из посёлка по шоссе со скоростью 14 км/ч. Через час после него со скоростью 11 км/ч из того же посёлка в том же направлении выехал второй велосипедист, а ещё через час после этого — третий. Найдите скорость третьего велосипедиста, если сначала он догнал второго, а через 2 часа 30 минут после этого догнал первого. Ответ дайте в км/ч.

Источник: СтатГрад 24.04.2024

Показать ответ и решение

Пусть $v$ км/ч — скорость третьего велосипедиста, а $t$ часов — время, которое понадобилось ему, чтобы догнать второго велосипедиста. Таким образом,

vt= 11⋅(t+ 1) v = 11t+-11= 11+ 11 t t

Через 2 часа 30 минут после этого третий велосипедист догнал первого. Таким образом,

( 5) ( 5 ) v⋅ t+ 2 =14 ⋅ t+ 2 + 2 ( ) ( ) 11+ 11 ⋅ t+ 5 = 14t+ 63 t 2 55 11t+ 11+ 27,5+ 2t = 14t+ 63 55- 2t = 3t+ 24,5 55= 6t2+ 49t ⌊ |t= 1 ⌈ 55 t= − 6-

Так как время положительно, то $t =1$ час. Таким образом,

11 v = 11+ t = 22

Ответ: 22

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#75175

Санта Клаус в рождественскую ночь должен посетить 4 места: $A,$ $B,$ $C$ и $D$ (причём ровно в таком порядке). Расстояние в 20 км от $A$ до $B$ он преодолеет на санях со скоростью не более 40 км/ч. 50 км от $B$ до $C$ он проедет на спорткаре со скоростью не более 200 км/ч. Ну и финальные 5 км от $C$ до $D$ он пройдёт пешком со скоростью не более 10 км/ч. Какова максимальная средняя скорость (в км/ч) движения Санты из $A$ в $D?$

Показать ответ и решение

Вспомним формулу средней скорости:

В-есь-пройденный-путь V = В сё затраченное время.

Весь пройденный путь в км равен $20+ 50+ 5 = 75.$

Если мы хотим найти максимальную среднюю скорость, то нам нужно найти минимальное общее время, а значит, следует рассмотреть случай движения Санты из $A$ в $D$ с максимальной скоростью на каждом отдельном участке пути. Найдем время движения индивидуально для каждого такого участка (в км/ч):

20 В ремя A→B = -- = 0,5, 40

В ремя = -50 = 0,25, B→C 200

5 В ремя C →D =-- = 0,5. 10

Тогда ответ:

V = -----75------= 60. 0,5+ 0,25+ 0,5

Ответ: 60

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#46561

В 1925 году в городке Ном на Аляске случилось несчастье: развилась эпидемия дифтерии. Чтобы спасти детей, необходимо было доставить лекарство от порта Сьюард до Нома, расстояние между которыми равно 342 км. Первой с постоянной скоростью отправилась собачья упряжка во главе с хаски Стилом. Узнав, что упряжка Стила попала в снежную бурю и не выходит на связь, через 1 час после этого следом за ним в Ном отправился полуволк Балто со скоростью на 1 км/ч большей. Найдите скорость Балто, если в городок Ном он прибыл одновременно со Стилом, чему друг Балто, полярный гусь Борис, был очень рад. Ответ дайте в км/ч.

P.S. Конец счастливый!

$PIC$

Показать ответ и решение

Пусть $x$ км/ч — скорость Балто. Составим таблицу:

|------|-------------|-------------|---------| | |Расстояние, км|Скорость, км/ч|В рем я, ч| |Стил--|----342------|----x−-1-----|---342----| |------|-------------|-------------|---x−3421---| -Балто------342-------------x-----------x----|

По условию сказано, что Балто отправился Ном через 1 час после Стила. Следовательно, время, затраченное на дорогу Балто, на 1 час меньше, чем время, затраченное Стилом. Получаем следующее уравнение:

342 342 -x-+ 1= x-−-1 ⇔ 342(x − 1)+ x(x− 1)= 342x ⇔ x2− x− 342= 0

По теореме Виета корнями данного уравнения являются $x = −18;19.$ Так как скорость — положительная величина, то ответ $x= 19.$

Ответ: 19

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#45221

Автомобиль выехал с постоянной скоростью 86 км/ч из города А в город В, расстояние между которыми равно 344 км. Одновременно с ним из города С в город В, расстояние между которыми равно 300 км, с постоянной скоростью выехал мотоциклист. По дороге он сделал остановку на 40 минут. В результате автомобиль и мотоциклист прибыли в город В одновременно. Найдите скорость мотоциклиста. Ответ дайте в км/ч.

Показать ответ и решение

Пусть $x$ км/ч — скорость мотоциклиста. Заметим, что 40 мин $=$ $2 3$ часа. Составим таблицу:

|----|S-(км-)|v-(км/ч)-|t (ч)| |----|------|--------|-344--| |авт.-|-344--|---86---|-86--| -мот.---300------x------3x00---

Так как время, затраченное на дорогу автомобилем, равно времени, затраченному на дорогу мотоциклистом, учитывая остановку, то можно составить следующее уравнение:

344 4 300 2 ------= -x- +3 ⇔ 86 1 2 300 4− 3 = x ⇔ 10 = 300 ⇔ 3 x x= 90

Следовательно, скорость мотоциклиста равна 90 км/ч.

Ответ: 90

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#37907

Первую треть трассы автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, вторую треть — со скоростью 120 км/ч, а последнюю — со скоростью 40 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Показать ответ и решение

Средняя скорость равна отношению всего пути ко всему затраченному времени, следовательно, если $3S$ км — весь путь, то

----3S----- --3-- vср. = S60 + S120-+ S40-= 2+112+03= 60

Ответ: 60

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#23562

Первые 190 км автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующие 180 км — со скоростью 90 км/ч, а затем 170 км — со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Показать ответ и решение

Средняя скорость в километрах в час равна отношению суммарного расстояния в километрах к суммарному времени в пути в часах:

190+ 180+ 170 -190--180--170= 72 50 + 90 + 100

Ответ: 72

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#23559

Улитка ползет от одного дерева до другого. Каждый день она проползает на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий день. Известно, что за первый и последний дни улитка проползла в общей сложности 10 метров. Определите, сколько дней улитка потратила на весь путь, если расстояние между деревьями равно 150 метрам.

Показать ответ и решение

Пусть в первый день улитка проползла $a$ метров, а в каждый следующий день она проползала на $b$ метров больше, чем в предыдущий. Обозначим через $d$ количество дней, которые она ползла, тогда в последний день она проползла $a + b(d − 1)$ метров. По условию

a+ (a+ b(d− 1)) = 10

Нам известно, что улитка проползла всего 150 метров. Чтобы через $a$ , $b$ и $d$ посчитать, сколько всего метров проползла улитка, нам нужно найти сумму

a+ (a+ b)+ ⋅⋅⋅+ (a+ b(d − 1))

Это сумма первых $d$ членов арифметической прогрессии с первым членом $a$ и разностью $b$ , она вычисляется по формуле (по условию это равно 150)

a-+-(a-+-b(d-−-1)) 2 ⋅d = 150

Числитель дроби в левой части равен 10, тогда

150-⋅2- d = 10 = 30

Ответ: 30

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#22947

Автомобиль двигался первую половину пути со скоростью 44 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью 56 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Показать ответ и решение

Пусть длина всего пути равна $2S$ км. Тогда первую половину пути автомобиль проехал за $S- 44$ часа, а вторую — за $S- 56$ часа. Следовательно, средняя скорость $vср$ на всём пути равна

2S 2 1232 vср = S---S-= -14----11-= -25- =49,28 44 + 56 616 + 616

Ответ: 49,28

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#20837

Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 13 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью 78 км/ч. В результате второй автомобиль прибыл в пункт B одновременно с первым. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 48 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Показать ответ и решение

Обозначим скорость первого автомобиля за $x > 48$ км/ч, а расстояние от пункта А до пункта В через $S.$

Тогда первый автомобиль потратил на дорогу $S x-$ часа.

Скорость второго автомобиля на первой половине пути равна $x− 13$ км/ч. Тогда на первую половину пути он затратил время в часах, равное

S-:(x− 13)= ---S---- 2 2(x − 13)

На вторую половину пути второй автомобилист затратил $S 2⋅78$ часа. При этом на весь путь он затратил столько же времени, что и первый. Тогда имеем уравнение:

$pict$

Получили, что подходит только $x= 52$ км/ч.

Ответ: 52

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#19490

Расстояние между городами $A$ и $B$ составляет 790 км. Из $A$ в $B$ выехал первый автомобиль, через 3 часа навстречу ему из $B$ в $A$ со скоростью 75 км/ч выехал второй автомобиль. Они встретились на расстоянии 490 км от города $A.$ Найдите скорость первого автомобиля. Ответ выразите в км/ч.

Показать ответ и решение

Пусть до встречи второй автомобиль ехал $t$ часов. Тогда первый автомобиль до встречи ехал $t+ 3$ часа. Значит, за это время он проехал 490 км, так как автомобили встретились на расстоянии 490 км от города $A.$ Так как между городами $A$ и $B$ всего 790 км, то встреча произошла на расстоянии $790− 490= 300$ км от города $B,$ то есть второй автомобиль проехал 300 км за $t$ часов.

Тогда если $v$ — скорость первого автомобиля, то имеем систему:

( ( { 490= v⋅(t+ 3) {490= vt+ 3v ⇔ ( 300= 75t (t= 4 ({ ({ 490 =7v ⇔ v =70 (t =4 (t= 4

Значит, скорость первого автомобиля равна $v =70$ км/ч.

Ответ: 70

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#17058

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 105 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 7 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 4 часа. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из В в А. Ответ дайте в км/ч.

Показать ответ и решение

Пусть $VBA = x$ км/ч, $VAB = x− 7$ км/ч. Приравняем время на дорогу из А в В к времени на дорогу обратно:

$pict$

Ответ: 17,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#16749

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города $A$ в город $B,$ расстояние между которыми равно 104 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью, на 5 км/ч больше прежней. По дороге велосипедист сделал остановку на 5 часов. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из $A$ в $B.$ Найдите скорость велосипедиста на пути из $A$ в $B.$ Ответ дайте в км/ч.