Пусть – высота грани . Так как тетраэдр правильный, то все его грани – равные правильные треугольники, то есть также является и медианой, значит, . Также у правильного тетраэдра высота из каждой вершины падает в точку пересечения медиан (биссектрис, высот) противоположной грани. Следовательно, если – высота, то – точка пересечения медиан треугольника , а значит и высот, так как правильный. Следовательно, медиана и высота.
 

 
Рассмотрим . Проведем , следовательно, .
Заметим также, что будет лежать на .
Действительно, так как медианы точкой пересечения делятся в отношении , считая от вершины, то . Следовательно, (по теореме Фалеса, так как ). Но и – медианы в , следовательно, они пересекаются и точкой пересечения тоже делятся в отношении . А так как делит в отношении , считая от вершины , то и есть точка пересечения медиан и .
Таким образом, нужно найти .
Пусть – ребро тетраэдра. Тогда

По теореме Пифагора Так как грани тетраэдра равны, то Следовательно, по теореме косинусов из :