Задачи, сводящиеся к решению неравенств —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по ЕГЭ - Математика
Задачи, сводящиеся к решению неравенств

Тема 9. Задачи прикладного характера

9.03 Задачи, сводящиеся к решению неравенств

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи прикладного характера

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#23589

Автомобиль, начав тормозить, за $t$ секунд проходит путь $at2 s(t)= v0t− 2 ,$ где $v0$ (м/с) — начальная скорость, $2 a (м/с )$ — ускорение в момент времени $t.$

С какой наименьшей скоростью двигался автомобиль до начала торможения, если за 6 секунд, тормозя с ускорением $5 м/с2,$ он проехал не менее 90 метров? Ответ дайте в м/с.

Показать ответ и решение

По условию $s(6)≥ 90$ при $a= 5.$ Тогда имеем неравенство:

s(6) ≥90 5⋅62 6v0− 2 ≥ 90 6v0 ≥ 90+ 90 6v0 ≥ 180 v0 ≥ 30

Значит, до начала торможения автомобиль двигался со скоростью не меньше 30 м/с.

Ответ: 30

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#421

Совершенный газ описывается законом Менделеева-Клапейрона: $pV = νRT$ , где $p$ – давление в паскалях, $V$ – объем в м $3$ , $ν$ – количество вещества в молях, $T$ – температура в кельвинах, $R$ – универсальная газовая постоянная, равная $8,31$ Дж/(К $⋅$ моль). В некоторый момент давление газа увеличилось в $1,5$ раза по сравнению с первоначальным. В какое минимальное число раз при этом должен был увеличиться объем газа, чтобы его температура увеличилась не менее, чем в 6 раз?

Показать ответ и решение

Обозначим начальные параметры с индексом 0. Выразим температуру:

T = pV-, νR

тогда при увеличении давления газа в 1,5 раза и увеличении его температуры не менее чем в 6 раз имеем:

1, 5p0V p0V0 --------= T ≥ 6T0 = 6 ⋅----, νR νR

откуда $V ≥ 4V0$ , то есть объем газа должен был увеличиться не менее, чем в 4 раза.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#417

Совершенный газ описывается законом Менделеева-Клапейрона $pV = νRT.$ Здесь $p$ — давление в паскалях, $V$ — объем в $м3,$ $ν$ — количество вещества в молях, $T$ — температура в кельвинах, $R$ — универсальная газовая постоянная, равная 8,31 Дж/(К $⋅$ моль). В какое минимальное число раз надо увеличить температуру совершенного газа, чтобы при неизменном давлении его объем вырос не менее чем в 5 раз?

Показать ответ и решение

Обозначим начальные параметры с индексом 0. При увеличении объема не менее чем в 5 раз имеем:

νRT = pV ≥ 5pV0 = 5νRT0

Отсюда $T ≥ 5T0,$ то есть чтобы при неизменном давлении газа его объем вырос не менее чем в 5 раз, надо увеличить его температуру минимум в 5 раз.

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#80085

Период колебаний пружинного маятника $T0$ определяется формулой $T0 = 2π∘ m- k$ , где $m$ $−$ масса подвешенного тела (в кг), $k$ $−$ жесткость пружины (в Н/м). Определите минимальную жесткость пружины $k$ , при которой период колебаний будет составлять не более $4π$ , если масса тела составляет 4 килограмма.

Показать ответ и решение

Подставим имеющиеся значения в формулу и решим полученное неравенство:

∘ -- 4 2π k ≤ 4π,

∘ -- 2 4≤ 4, k

4 4 ⋅k-≤ 16,

16 -- ≤ 16. k

Поскольку, очевидно, $k > 0,$ то неравенство можно домножить на $k :$

16 ≤ 16k,

1 ≤ k.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#75427

Период колебаний математического маятника $T0$ определяется формулой $∘ L- T0 = 2π g,$ где $g = 10$ $2 м/c$ — ускорение свободного падения, $L$ — длина невесомой нерастяжимой нити. Определите максимальную длину нити $L,$ при которой период колебаний будет составлять не более $3π -2 .$

Показать ответ и решение

Подставим имеющиеся значения в формулу и решим полученное неравенство:

∘ --- 3π L 2--≥ 2π 10,

∘ --- L- 3 ≥ 4 10,

L 9 ≥ 16 ⋅-, 10

90 --≥ L, 16

5,625 ≥ L.

Ответ: 5,625

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#75174

Снегурочка продумывает запуск фейерверков в новогоднюю ночь. В одном пиротехническом пособии она нашла следующую формулу:

B- S h(t) = sin α⋅T ⋅6 ,

где $h$ — высота взрыва фейерверка в метрах, $α$ — угол наклона капсулы с порохом к горизонту в градусах, $B$ — рейтинг производителя фейерверка, $T$ — время полёта в секундах, $S$ — стоимость фейерверка в тысячах рублей.

Снегурочка провела исследования и выделила следующие требования к качеству фейерверка:

1. Время полёта должно составить ровно 1 минуту;

2. Рейтинг производителя должен быть равным 20;

3. Угол наклона должен составить $∘ 30$ ;

4. Высота полёта должна составить не менее 216 метров.

Неясной осталось лишь финансовая сторона вопроса. Помогите Снегурочке найти наименьшее значение стоимости фейерверка в рублях, при котором все описанные требования будут соблюдены.

Показать ответ и решение

Подставим известные значения в формулу и составим неравенство:

∘ 20 S sin30 ⋅60 ⋅6 ≥ 216,

1 1 2 ⋅3 ⋅6S ≥ 216,

6S ≥ 216⋅6,

6S ≥ 64,

S ≥ 4.

Минимальное значение $S = 4$ тысячи рублей.

Ответ: 4000

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#46560

Международная федерация лыжного спорта проводит соревнования, в программу которых включены прыжки на лыжах с трамплина. Высота в фазе полета, на которой находится участик N. после отрыва от трамплина и до приземления, меняется по закону

h = 0,5 + 25t− 5t2,

где $h$ — высота над трамплином, измеряемая в метрах, $t$ — время в секундах, отсчитываемое от момента отрыва участника N. от трамплина. Сколько секунд с момента отрыва от трамплина участник N. находился на высоте не менее 0,5 метра над трамплином?

Показать ответ и решение

Моменты $t,$ в которые участник N. находился на высоте не менее 0,5 метра, удовлетворяют неравенствам

2 2 2 0,5+ 25t− 5t ≥0,5 ⇔ 25t− 5t ≥0 ⇔ t− 5t≤ 0

Решим последнее неравенство методом интервалов. Найдем корни уравнения $2 t − 5t= 0:$

t1 = 0, t2 = 5

Тогда левая часть последнего неравенства имеет следующие знаки на промежутках знакопостоянства:

$PICT$

Следовательно, участник N. находился на высоте не менее 0,5 метра в моменты времени $t ∈[0;5],$ то есть в течение $5 − 0 = 5$ секунд.

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#45962

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с фокусным расстоянием $f = 60$ см. Расстояние $d1$ от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 95 см до 115 см, а расстояние $d2$ от линзы до экрана - в пределах от 140 см до 160 см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение

-1 + 1-= 1- d1 d2 f

На каком наименьшем расстоянии от линзы нужно поместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким? Ответ дайте в сантиметрах.

Показать ответ и решение

Из формулы следует, что

1-= -1 − 1- d1 60 d2

Так как $140≤ d2 ≤ 160,$ то

1 1 1 −140 ≤− d2 ≤ − 160

Следовательно,

1 1 1 1 1 1 1 1 60 − 140 ≤ d-≤ 60 − 160 ⇔ 105 ≤ d ≤ 96 ⇔ 96≤ d1 ≤ 105 1 1

Так как расстояние $d 1$ от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 95 см до 115 см, то наименьшее $d1 =96$ см.

Ответ: 96

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#45955

Амплитуда колебаний маятника зависит от частоты вынуждающей силы и определяется по формуле

--A0ω2p-- A(ω)= ||ω2p− ω2||,

где $ω$ — частота вынуждающей силы $(в с−1),$ $A0$ — постоянный положительный параметр, $ω р = 345с−1$ — резонансная частота. Найдите максимальную частоту $ω,$ меньшую резонансной, для которой амплитуда колебаний превосходит величину $A0$ не более чем на $12,5%.$ Ответ дайте в $с−1.$

Показать ответ и решение

Из условия задачи следует, что $A ≤ 1,125A0 = 9A0. 8$ Заметим также, что так как по условию задачи $ω < ωр,$ то $2 2 2 2 |ωр− ω |=ω р− ω > 0.$ Следовательно, получаем следующее неравенство:

A0⋅3452 9 3452− ω2 3452−-ω2 ≤ 8A0 |⋅ --A0----> 0 ⇔ 2 2 3452⋅8 345 − ω ≥ 9 ⇔ ω2 ≤ 3452− 3452⋅ 8 =3452⋅ 1 = 1152 ⇔ 9 9 − 115 ≤ω ≤ 115.

Следовательно, максимальное $ω =115.$

Ответ: 115

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#45951

Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону $βt2 φ= ωt+ -2-,$ где $t$ — время в минутах, $ω = 60∘∕$ мин — начальная угловая скорость вращения катушки, а $β = 6∘∕м ин2$ — угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Рабочий должен проверить ход его намотки не позже того момента, когда угол намотки $φ$ достигнет $3375∘.$ Определите время после начала работы лебёдки, не позже которого рабочий должен проверить её работу. Ответ выразите в минутах.

Показать ответ и решение

Из условия задачи следует, что $φ ≤ 3375.$ Следовательно, получаем следующее неравенство:

βt2- ωt+ 2 ≤ 3375.

Подставив значения из условия в данное неравенство, получим

6t2 2 60t+ 2 ≤ 3375 ⇔ t + 20t− 1125≤ 0 ⇔ −45 ≤ t≤ 25.

Следовательно, не позже чем через 25 минут рабочий должен проверить работу лебедки.

Ответ: 25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#22840

В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет $R1 = 25$ Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите наименьшее возможное сопротивление $R2$ этого электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями $R1$ и $R2$ их общее сопротивление задаётся формулой $R1R2 Rобщ = R--+-R-. 1 2$ При этом для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 20 Ом. Ответ дайте в омах.

Показать ответ и решение

Подставим данные по условию числа и решим неравенство:

$pict$

Ответ: 100

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#20862

Скорость тела, движущегося прямолинейно, вычисляется по формуле

2 v(t) =− t +7,4t− 7,

где $t$ — время с начала движения в секундах, $v(t)$ — скорость в соответствующий момент времени. В течение скольких секунд скорость тела будет не менее 5 м/с?

Показать ответ и решение

Решим квадратное неравенство на $t:$

2 − t +7,4t− 7 ≥ 5 t2 − 7,4t+12 ≤0 (t− 2,4)(t− 5)≤ 0 2,4≤ t≤ 5

Тогда скорость тела будет не менее 5 м/с в течение времени в секундах, равного

5− 2,4= 2,6

Ответ: 2,6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#19489

К источнику с ЭДС $𝜀= 130$ В и внутренним сопротивлением $r = 1$ Ом хотят подключить нагрузку с сопротивлением $R$ Ом. Напряжение на этой нагрузке, выражаемое в вольтах, задаётся формулой

𝜀R U = R-+-r

При каком наименьшем значении сопротивления нагрузки напряжение на ней будет не менее 120 В? Ответ выразите в омах.

Показать ответ и решение

Нам нужно найти такое минимальное значение $R,$ при котором $U ≥120$ В, то есть

-𝜀R-- U ≥ 120 ⇔ R + r ≥ 120 130R ≥ 120(R +1) 10R ≥ 120 ⇔ R ≥ 12

Значит, при $R ≥ 12$ Ом напряжение на нагрузке будет не менее 120 В. Тогда наименьшее сопротивление равно $R = 12$ Ом.

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#17301

Емкость высоковольтного конденсатора в телевизоре $−6 C = 6⋅10$ Ф. Параллельно с конденсатором подключен резистор с сопротивлением $R =8 ⋅106$ Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе $U0 = 34$ кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения $U$ (кВ) за время, определяемое выражением

t= αRC ⋅log U0(c), 2 U

где $α = 0,8$ — постоянная. Определите наибольшее возможное напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло не менее 76,8 секунды. Ответ дайте в киловольтах.

Показать ответ и решение

Из условия следует, что $t≥ 76,8.$ Подставим все значения из условия и получим следующее неравенство:

6 −6 34 0,8⋅8 ⋅10 ⋅6⋅10 ⋅log2U ≥ 76,8 34 log2 U-≥ 2 34 U- ≥4

Так как $U > 0,$ то неравенство можно переписать в виде

34 ≥4U U ≤ 8,5

Следовательно, наибольшее возможное значение напряжения $U = 8,5$ кВ.

Ответ: 8,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#17239

В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет $R1 = 28$ Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите наименьшее возможное сопротивление $R2$ этого электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями $R1$ и $R2$ их общее сопротивление задается формулой

Rобщ =--R1R2- R1 + R2

При этом для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 20 Ом. Ответ дайте в омах.

Показать ответ и решение

Найдем в омах наименьшее возможное значение $R2,$ при котором $Rобщ ≥ 20$ и $R1 = 28.$ Для этого заметим, что

R R 28R Rобщ = R-1+R2-= 28+-2R-- 1 2 2

Тогда имеем:

Rобщ ≥ 20 --28R2--≥ 20 28 +R2 28R2 ≥ 560+ 20R2 R2 ≥ 70

Отсюда наименьшее значение $R2$ равно 70.

Ответ: 70

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#17163

Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры в кельвинах от времени работы:

T (t)= T + bt+ at2 0

где $t$ — время в минутах, $T0 =1300$ К, $a =− 14 3$ К/мин $2,$ $b =98$ К/мин.

Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше 1720 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.

Показать ответ и решение

Подставим данные условия в уравнение $T (t)= T0+ bt+at2 :$

14 2 2 1720 = 1300+ 98t− 3 t ⇔ t − 21t+ 90= 0 ⇔ [t= 6 ⇔ (t− 6)(t− 15)= 0 ⇔ t= 15

Рассмотрим функцию $T (t)= 1300+ 98t− 143 t2.$ Ее графиком является парабола с ветвями, направленными вниз. Тогда через $t= 6$ минут после начала работы прибор впервые нагреется до температуры 1720 К.

Следовательно, прибор необходимо отключить не позднее чем через 6 минут.

Ответ: 6

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#13547

T(t) =T0 +bt+ at2

Здесь $t$ — время в минутах, $T0 =1330$ К, $2 a =− 15 К/м ин,$ $b= 165$ К/мин. Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше 1600 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить.

Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.

Показать ответ и решение

Подставим значения коэффициентов и максимальной температуры нагревательного элемента в исходное выражение и получим

T(t) =− 15t2+ 165t+ 1330

Так как $t$ — время работы, то $t≥ 0.$ Прибор испортится, если температура нагревательного элемента превысит 1600 К, поэтому нужно найти первый момент, когда элемент нагреется до такой температуры. То есть нужно решить следующее неравенство:

−15t2+165t+ 1330≤ 1600 2 −15t+ 165t− 270 ≤ 0 t2− 11t+ 18≥ 0 (t− 2)(t− 9)≥ 0 ⌊ ⌈t≤ 2 t≥ 9

Через 2 минуты работы прибора температура нагревательного элемента станет равна 1600 К, поэтому прибор нужно отключить через 2 минуты после начала работы.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#11716

Амплитуда колебаний маятника зависит от частоты вынуждающей силы и определяется по формуле

A0ω2p A(ω)= ||ω2p −-ω2||

Здесь $ω$ — частота вынуждающей силы в $с−1,$ $A0$ — постоянный положительный параметр, $ωp = 330 с−1$ — резонансная частота.

Найдите максимальную частоту $ω,$ меньшую резонансной, для которой амплитуда колебаний превосходит величину $A0$ не более чем на 80%. Ответ дайте в $с−1.$

Показать ответ и решение

Если $ω < ωp,$ то $|| 2 2|| 2 2 ωp − ω = ωp − ω > 0.$ Если амплитуда колебаний превосходит величину $A0$ не более чем на 80%, то

ω2 A(ω)≤ 1,8 ⇒ -2-p-2-≤1,8 A0 ωp − ω ω2p ≤ 1,8ω2p − 1,8ω2 ⇒ 9ω2 ≤ 4ω2p |3ω|≤ |2ωp| ⇒ |ω |≤ 2|ωp| 3

Так как $ω = 330 с−1, p$ то получаем, что максимальная частота равна $ω =220$ $c−1.$

Ответ: 220

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#2665

Миша ударил по мячу так, что тот полетел вертикально вверх. Высота мяча до падения меняется по закону

2 h = 0,5+ 25t− 5t,

где $h$ — высота в метрах, $t$ — время в секундах, отсчитываемое от момента подбрасывания. Сколько секунд с момента удара мяч находился на высоте не менее 0,5 метра?

Показать ответ и решение

Моменты $t,$ в которые мяч находился на высоте не менее 0,5 метра, удовлетворяют неравенствам

2 0,5 +25t− 5t ≥ 0,5 25t− 5t2 ≥ 0 t2 − 5t≤ 0

Решим последнее неравенство методом интервалов. Найдем корни уравнения $t2− 5t= 0:$

t = 0, t = 5 1 2

Тогда левая часть последнего неравенства имеет следующие знаки на промежутках знакопостоянства:

$PIC$

Следовательно, мяч находился на высоте не менее 0,5 метра в моменты времени $t∈ [0;5],$ то есть в течение $5− 0 =5$ секунд.

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#2626

2 T(t) =T0 +bt+ at,

где $t$ — время в минутах, $T0 = 1300$ К, $14 a= − 3$ К/мин $2 ,$ $b= 98$ К/мин. Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше 1720 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить.

Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.

Показать ответ и решение

Из условия задачи следует, что $T (t)$ должно быть не больше 1720, то есть, подставляя все данные из условия, получим неравенство

( ) 1300+ 98t− 14-t2 ≤ 1720 |⋅ − 3 ⇔ t2− 21t+ 90≥ 0 3 14

Корнями многочлена $t2 − 21t+ 90$ являются $t= 6$ и $t= 15.$ Следовательно, решением неравенства будут

t∈ (−∞;6]∪ [15;+∞ )

$PIC$

Таким образом, наибольшее время, после которого нужно отключить прибор, равно 6 мин.

Из решения неравенства следует, что после шестой минуты температура нагревательного элемента превысит 1720 К, то есть после шестой минуты нагревательный элемент уже испортился! Именно поэтому мы выбираем ответ 6 минут.

Ответ: 6

Предыдущий раздел

Следующий раздел