Задачи, сводящиеся к решению уравнений или вычислениям —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по ЕГЭ - Математика
Задачи, сводящиеся к решению уравнений или вычислениям

Тема 9. Задачи прикладного характера

9.02 Задачи, сводящиеся к решению уравнений или вычислениям

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи прикладного характера

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#1608

Купаясь в ванне, Игорь прикинул, что на него со стороны воды действует сила Архимеда

FA =ρgV,

где $ρ$ — плотность воды в кг/м $3,$ $g$ — ускорение свободного падения в м/с $2,$ $V$ — объем Игоря в м $3.$ Игорь задумался, во сколько раз увеличилась бы сила, действующая на него со стороны воды в ванне, если при неизменной плотности его объем увеличился в 8 раз. Какой ответ должен получить Игорь?

Показать ответ и решение

Пусть до увеличения объем Игоря был равен $VИгоря$ м $3.$ Сила Архимеда, с которой на него действовала вода, была равна $FA1.$

Тогда после увеличения объем Игоря стал равен $8VИгоря$ м $3,$ а сила Архимеда стала равна

FA2 = ρg⋅8VИгоря = 8ρgVИгоря = 8FA1

Значит, сила Архимеда увеличилась в 8 раз.

Ответ: 8

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#1602

Совершенный газ описывается законом Менделеева-Клапейрона $pV = νRT.$ Здесь $p$ — давление в паскалях, $V$ — объем в $м3,$ $ν$ — количество вещества в молях, $T$ — температура в кельвинах, $R$ — универсальная газовая постоянная, равная 8,31 Дж/(К $⋅$ моль). В некоторый момент давление газа увеличилось в 2 раза по сравнению с первоначальным.

Во сколько раз при этом должен был увеличиться объем газа, если его температура увеличилась в 7 раз?

Показать ответ и решение

Пусть $V1$ — начальный объём газа в $м3,$ $p1$ — начальное давление газа в паскалях, $T1$ — начальная температура газа в кельвинах, $V2$ — конечный объем газа в $м3.$

Тогда $7T1$ — конечная температура, $2p1$ — конечное давление газа.

Для начальных параметров известно, что

p1V1 = νRT1

Для конечных параметров известно, что

2p1V2 = νR ⋅7T1

Умножая первое уравнение на 7, получаем

7p1V1 = 7νRT1

Отсюда заключаем, что

7p1V1 = 2p1V2 ⇔ V2 = 3,5V1

Тогда объем совершенного газа должен был увеличиться в 3,5 раза.

Ответ: 3,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#1601

Совершенный газ описывается законом Менделеева-Клапейрона

pV =νRT

Здесь $p$ — давление в паскалях, $V$ — объем в $м3,$ $ν$ — количество вещества в молях, $T$ — температура в кельвинах, $R$ — универсальная газовая постоянная, равная 8,31 Дж/(K $⋅м оль).$ Во сколько раз надо увеличить температуру совершенного газа, чтобы при неизменном давлении его объем вырос в 3 раза?

Показать ответ и решение

Пусть $V1$ — начальный объём газа в $м3,$ $T1$ — начальная температура газа в кельвинах, $T2$ — конечная температура газа в кельвинах. Так как объем газа увеличился в 3 раза, то $3V1$ — конечный объём.

Для начальных параметров известно, что

pV1 = νRT1

Для конечных параметров известно, что

p⋅3V1 =νRT2

Умножая первое уравнение на 3, получаем

3pV1 = 3νRT1

Отсюда заключаем, что

3νRT1 = νRT2 ⇒ T2 =3T1

Тогда температуру совершенного газа надо увеличить в 3 раза.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#529

Совершенный газ описывается законом Менделеева-Клапейрона: $pV = νRT$ , где $p$ – давление в Паскалях, $V$ – объем в м $3$ , $ν$ – количество вещества в молях, $T$ – температура в кельвинах, $R$ – универсальная газовая постоянная, равная $8,31$ Дж/(К $⋅$ моль). Во сколько раз надо увеличить температуру совершенного газа, чтобы при неизменном давлении его объем вырос в 3 раза?

Показать ответ и решение

Пусть $V1$ – начальный объём газа в м $3$ , $T1$ – начальная температура газа в кельвинах, $T2$ – конечная температура газа в кельвинах (т.е. после увеличения объема в 3 раза), тогда $3V1$ – конечный объём.

Для начальных параметров известно, что

pV1 = νRT1,

для конечных параметров известно, что

p ⋅ 3V1 = νRT2.

Умножая первое уравнение на $3$ , получаем

3pV1 = 3νRT1,

откуда заключаем, что $3νRT1 = νRT2$ , следовательно, $T2 = 3T1$ , то есть, температуру совершенного газа надо увеличить в $3$ раза.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#286

В гидростатике сила давления жидкости на дно цилиндрического сосуда может быть найдена по формуле $F = ρghSдна,$ где $F$ — сила давления в ньютонах, $ρ$ — плотность жидкости в $кг/м3,$ $h$ — высота столба жидкости в метрах, $Sдна$ — площадь дна в $м2.$ Во сколько раз увеличится сила давления на дно сосуда, если высоту столба жидкости уменьшить в 2 раза при одновременном увеличении радиуса круглого дна в 5 раз?

Показать ответ и решение

Пусть начальная сила давления жидкости на дно сосуда равна $F1$ Н, высота столба жидкости в начальном состоянии равна $h1$ м, а радиус его основания $r1$ м.

Пусть конечная сила давления давления жидкости на дно сосуда равна $F2$ Н, тогда высота столба жидкости в конечном состоянии равна $0,5h1,$ а радиус основания равен $5r1.$

Для начальных параметров известно, что

2 F1 = ρgh1⋅πr1

Для конечных параметров известно, что

2 2 F2 = ρg⋅0,5h1⋅π(5r1) = 12,5ρgh1⋅πr1 =12,5F1

Тогда сила давления на дно сосуда увеличится в 12,5 раз.

Ответ: 12,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#72205

Груз массой $2,4$ кг колеблется на пружине. Его скорость $v$ меняется по закону $2πt v = v0cos T-,$ где $t$ — время с момента начала колебаний, $T = 2$ с — период колебаний, $v0 = 3,1$ м/с. Кинетическая энергия $E$ в джоулях груза вычисляется по формуле $mv2 E = -2--$ , где $m$ — масса груза в килограммах, $v$ — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 3 секунды после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.

Показать ответ и решение

Запишем общую формулу кинетической энергии $E :$

( 2πt)2 m v0cos-T- E = -------2------ .

Подставим имеющиеся значения переменных в формулу:

( ) 2π-⋅3 2 2,4--3,1cos--2---- 2,4(3,1cos3π)2 E = 2 = 2 =

2,4 ⋅9,61 = --------= 1,2 ⋅9,61 = 11,532. 2

Ответ: 11,532

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#45966

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a$ $( 2) в км/ч$ Скорость $v$ (в км/ч) вычисляется по формуле $√--- v = 2la,$ где $l$ — пройденный автомобилем путь (в км). Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 0,8 км, приобрести скорость 100 км/ч. Ответ дайте в $км/ч2.$

Показать ответ и решение

Подставим данные в формулу:

100= ∘2-⋅0,8a- a= 104⋅10 24 a= 6250

Ответ: 6250

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#45965

Независимое агентство намерено ввести рейтинг $R$ новостных изданий на основе показателей информативности $In,$ оперативности $Op$ и объективности $T r$ публикаций. Каждый отдельный показатель — целое число от -1 до 1. Составители рейтинга считают, что информативность публикаций ценится вчетверо, а объективность — вдвое дороже, чем оперативность, то есть

R = 4In+-Op+-2Tr- A

Найдите, каким должно быть число $A,$ чтобы издание, у которого все показатели максимальны, получило рейтинг 1.

Показать ответ и решение

Подставим данные в формулу:

1 = 4+-1+-2 ⇔ A = 7. A

Ответ: 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#45964

Для обогрева помещения, температура в котором поддерживается на уровне $∘ Tn =20 C,$ через радиатор отопления пропускают горячую воду. Расход проходящей через трубу радиатора воды $m = 0,5$ кг/с. Проходя по трубе расстояние $x,$ измеряемое в метрах, вода охлаждается от начальной температуры $TB = 72∘C$ до температуры $T,$ причём $x =α cmγ-log2 TTB−−TTnn,$ где $c= 4200кВгт⋅⋅с ∘C$ — теплоёмкость воды, $γ = 63-Вт∘-- м⋅ C$ коэффициент теплообмена, а $α =1,5$ — постоянная. Найдите, до какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы радиатора равна 100 м.

Показать ответ и решение

Подставим значения переменных из условия в формулу:

100 =1,5⋅ 4200⋅0,5⋅log 72−-20 63 2T − 20 -52--- log2 T − 20 =2 52 T-− 20-= 4 52 T = 20+ 4- T = 33

Ответ: 33

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#45963

Груз массой 0,25 кг колеблется на пружине. Его скорость $v$ меняется по закону $2πt- v = v0cosT ,$ где $t$ — время с момента начала колебаний, $T = 2$ с — период колебаний, $v0 = 1,6$ м/с. Кинетическая энергия $E$ (в джоулях) груза вычисляется по формуле $2 E = mv2-,$ где $m$ — масса груза в килограммах, $v$ — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 56 секунд после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.

Показать ответ и решение

Найдем скорость, подставив в формулу скорости данные из условия:

v = 1,6⋅cos 2π⋅56 =1,6cos56π = 1,6 2

Теперь найдем кинетическую энергию:

0,25⋅1,62 E = ---2----= 0,32

Ответ: 0,32

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#45954

Водолазный колокол, содержаший $v = 5$ моль воздуха объёмом $V1 = 26$ л, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма $V2$ (в л). Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле $A= αvT log2 VV12,$ где $α= 8,5мДожль-⋅K-$ — постоянная, $T = 300$ К — температура воздуха. Найдите, какой объём $V2$ будет занимать воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 25500 Дж. Ответ дайте в литрах.

Показать ответ и решение

Подставим значения из условия в формулу и получим уравнение:

25500= 8,5⋅5⋅300⋅log 26 ⇔ 2 V2 26 -25500- 510- log2V2 = 85⋅5⋅30 = 85⋅3 = 2 ⇔ 26 V2 = 4 ⇔ V2 = 246= 6,5.

Ответ: 6,5

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#45953

Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При этом объём и давление связаны соотношением $1,4 1,4 p1V1 = p2V2 ,$ где $p1$ и $p2$ — давление газа (в атмосферах) в начальном и конечном состояниях, $V1$ и $V2$ — объём газа (в литрах) в начальном и конечном состояниях. Изначально объём газа равен 192 л, а давление газа равно одной атмосфере. До какого объёма нужно сжать газ, чтобы давление в сосуде стало 128 атмосфер? Ответ дайте в литрах.

Показать ответ и решение

Формулу $p1V1,4 = p2V 1,4 1 2$ можно переписать в виде

( V1)1,4 p2 V2 = p1.

Подставим значения переменных из условия в формулу

( )7 192 5 = 128 = 27 ⇔ V2 192 5 V2 = 2 = 32 ⇔ 192 V2 = 32-= 6.

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#45952

Небольшой мячик бросают под острым углом $α$ к плоской горизонтальной поверхности земли. Максимальная высота полёта мячика $H$ (в м) вычисляется по формуле

v20 H = 4g(1− cos2α),

где $v0 = 12$ м/с — начальная скорость мячика, а $g$ — ускорение свободного падения (считайте $g = 10м/с2$ ). При каком наименьшем значении угла $α$ мячик пролетит над стеной высотой $4,4$ м на расстоянии 1 м? Ответ дайте в градусах.

Показать ответ и решение

Подставим значения переменных из условия в формулу и получим уравнение:

5,4 = 122(1 − cos2α) 40 3 2 = 1− cos2α 3 2 2 = 2sin α 3 4 = sin2α √- sin α= ± -3- ⌊ 2 α = 60∘+360∘⋅k, k ∈ ℤ ⌈ ∘ ∘ α = 120 +360 ⋅k, k ∈ ℤ

Так как угол наклона к горизонту находится в промежутке от $0∘$ до $90∘,$ то $α = 60∘.$

Ответ: 60

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#45220

Емкость высоковольтного конденсатора в телевизоре равна $C = 5⋅10−6$ Ф. Параллельно с конденсатором подключен резистор с сопротивлением $6 R = 5⋅10$ Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе $U0 = 16$ кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения $U$ (кВ) за время

t= αRC ⋅log2 U0 (c), U

где $α = 0,7$ — постоянная. Определите напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло 35 с. Ответ дайте в киловольтах.

Показать ответ и решение

Подставим известные значения в формулу:

35= 0,7⋅5⋅106⋅5⋅10−6⋅log 16 2 U log 16 = 2 2 U 16 U = 4 U = 4

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#41105

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса $m$ уменьшается по закону

− t m = m0 ⋅2 T,

где $m 0$ — начальная масса изотопа в мг, $t$ — время, прошедшее от начального момента в минутах, $T$ — период полураспада в минутах. В начальный момент времени масса изотопа 40 мг. Период его полураспада составляет 10 мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 5 мг.

Показать ответ и решение

Подставим данные в формулу:

5= 40⋅2−1t0 ⇔ 2− t10-= 2− 3 ⇔ t= 30

Ответ: 30

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#37906

Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет-изданий на основе показателей информативности $In,$ оперативности $Op,$ объективности $Tr$ публикаций, а также качества $Q$ сайта. Каждый отдельный показатель — целое число от $− 2$ до 2.

Составители рейтинга считают, что объективность ценится втрое, а информативность публикаций — вчетверо дороже, чем оперативность публикаций и качество сайта. Таким образом, формула приняла вид

R = 4In+-Op-+3T-r+-Q A

Найдите, каким должно быть число $A,$ чтобы издание, у которого все показатели максимальны, получило рейтинг 1.

Показать ответ и решение

Подставим в формулу $R = 1,$ $In= Op = Tr = Q = 2:$

4⋅2+-2+-3⋅2+-2- 1 = A 18 1 = A- A = 18

Ответ: 18

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#22946

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону

− t m (t)= m0 ⋅2 T

Здесь $m0$ мг — начальная масса изотопа, $t$ мин — время, прошедшее с начала распада, $T$ мин — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа $m0 = 80$ мг.

Найдите период полураспада изотопа, если через 16 минут его масса будет равна 5 мг. Ответ дайте в минутах.

Показать ответ и решение

В условии указано значение функции $m (t) =5$ мг при $t= 16$ мин и $m0 = 80$ мг. Значит, можем составить следующее уравнение:

− t m (t)= m0 ⋅2 T 5 = 80⋅2− 1T6 21T6= 16 16= 4 T T = 4

Тогда период полураспада изотопа равен 4 мин.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#20616

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с фокусным расстоянием $f = 45$ см. Расстояние $d1$ от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 50 см до 70 см, а расстояние $d2$ от линзы до экрана — в пределах от 200 см до 270 см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение

1-+ 1-= 1- d1 d2 f

На каком наименьшем расстоянии от линзы нужно поместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким? Ответ дайте в сантиметрах.

Показать ответ и решение

Подставим $f = 45$ см в формулу линзы:

1 1 1 1 1 1 d1-+ d2 = 45 ⇔ d1 = 45 − d2

Так как мы ищем минимальное возможное значение $d1,$ то ему будет соответствовать максимально возможное значение $1d1,$ то есть максимально возможное значение $145 − 1d-. 2$

Максимум такого выражения достигается при минимальном возможном $1, d2$ то есть при максимально возможном $d = 270 2$ см:

-1 1- -1 d1 = 45 − d2 = = 1-− -1- = -5-= -1 45 270 270 54

Отсюда получаем значение $d1 = 54$ см, которое лежит в нужных пределах от 50 см до 70 см, то есть подходит по условию.

Ответ: 54

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#18613

Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана-Больцмана, согласно которому $4 P = σST ,$ где $P$ — мощность излучения звезды в ваттах, $σ = 5,7 ⋅10−8$ $мВ2т⋅К4$ — постоянная Стефана-Больцмана, $S$ — площадь поверхности звезды в квадратных метрах, $T$ — температура в кельвинах.

Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна $19 ⋅1020$ $м2$ , а мощность её излучения равна $5,13⋅1025$ Вт. Найдите температуру этой звезды в кельвинах.

Показать ответ и решение

Выразим из уравнения температуру в четвертой степени:

4 P = σST 4 P-- T = σS

Подставим значения $−8 Вт σ = 5,7⋅10 м2⋅К4,$ $1 20 2 S = 9 ⋅10 м ,$ $25 P = 5,13⋅10$ Вт:

4 5,13⋅1025 513 ⋅9 12 T = 5,7⋅10−8⋅ 1-⋅1020-=-57--⋅10 = 12 ( 93)4 3 = 81⋅10 = 3⋅10 ⇒ T = 3⋅10 = 3000

Ответ: 3000

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#18128

Два тела массой $m = 6$ кг каждое движутся с одинаковой скоростью $v = 9$ м/c под углом $2α$ друг к другу. Энергия в джоулях, выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, вычисляется по формуле

Q = mv2 sin2 α

где $m$ — масса в кг, $v$ — скорость в м/с. Найдите, под каким углом $2α$ должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилась энергия, равная $243$ Дж. Ответ дайте в градусах.