а) Если на доске записано 4 числа, оканчивающихся на 1, то их сумма чётна, так как сумма чётного количества нечётных чисел чётна.

Если на доске записано 26 чётных чисел, то их сумма чётна, так как сумма любого количества чётных чисел чётна.

Таким образом, сумма всех 30 чисел также будет чётной. Но число 771 нечётно, значит, ответ на пункт отрицательный.

б) Рассмотрим сумму 30 наименьших натуральных чисел таких, что 13 из них оканчиваются на 1, а остальные 17 — чётные.

По формуле суммы арифметической прогрессии 17 последовательных чётных чисел имеем:

Запишем сумму 13 наименьших оканчивающихся на 1 чисел :

То есть при этом мы рассматривали наименьший возможный пример чисел, значит, для всех остальных наборов сумма будет еще больше, поэтому ответ на этот пункт также отрицательный.

в) Пусть на доске записано чисел, оканчивающихся на 1. Тогда на этой же доске записано чётных чисел.

Запишем сумму первых чисел как сумму суммы единиц и наименьших натуральных последовательных чисел, кратных 10:

Запишем сумму первых наименьших натуральных чётных чисел:

Сумма по условию:

Найдём нули левой части через формулу дискриминанта:

По методу интервалов получаем .

Определим положение левой границы отрезка.

Раз , то Тогда:

Так как , то Однако если чётно, то (как показано в пункте а)) мы встречаем противоречие, поэтому на самом деле

Пример для