Тема 19. Задачи на теорию чисел
19.22 Оценка + пример
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи на теорию чисел
Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#72215

На доске написано 30 различных натуральных чисел, каждое из которых либо оканчивается цифрой 1, либо четное. Сумма всех чисел равна 771.

а) Может ли на доске быть выписано ровно четыре числа, оканчивающихся цифрой 1?

б) Может ли на доске быть выписано ровно 13 чисел, оканчивающихся цифрой 1?

в) Найдите наименьшее возможное количество чисел, оканчивающихся единицей, среди выписанных на доске.

Показать ответ и решение

а) Если на доске записано 4 числа, оканчивающихся на 1, то их сумма чётна, так как сумма чётного количества нечётных чисел чётна.

Если на доске записано 26 чётных чисел, то их сумма чётна, так как сумма любого количества чётных чисел чётна.

Таким образом, сумма всех 30 чисел также будет чётной. Но число 771 нечётно, значит, ответ на пункт отрицательный.

б) Рассмотрим сумму 30 наименьших натуральных чисел таких, что 13 из них оканчиваются на 1, а остальные 17 — чётные.

По формуле суммы арифметической прогрессии 17 последовательных чётных чисел S1  имеем:

     2+ 34
S1 = --2--⋅17= 306.

Запишем сумму 13 наименьших оканчивающихся на 1 чисел S2  :

S2 = 1 +11+ 21+ 31+ 41+ 51+ 61+ 71+ 81+ 91+ 101 +111+ 121= 793.

То есть S1+ S2 > 771,  при этом мы рассматривали наименьший возможный пример чисел, значит, для всех остальных наборов сумма будет еще больше, поэтому ответ на этот пункт также отрицательный.

в) Пусть на доске записано n  чисел, оканчивающихся на 1. Тогда на этой же доске записано 30− n  чётных чисел.

Запишем сумму S1  первых n  чисел как сумму суммы n  единиц и n  наименьших натуральных последовательных чисел, кратных 10:

S1 = 1 ⋅n + 0+-10(n-−-1)-⋅n= 5n2− 4n.
               2

Запишем сумму S2  первых 30 − n  наименьших натуральных чётных чисел:

S2 = 2+-2-+2((30-− n-)− 1) ⋅(30− n)= (31− n)⋅(30 − n) =n2 − 61n +930.
             2

Сумма S1+ S2 ≤ 771  по условию:

  2       2
5n − 4n+ n − 61n+ 930≤ 771,

  2
6n − 65n+ 159≤ 0.

Найдём нули левой части через формулу дискриминанта:

D = 652− 4 ⋅6⋅159= 4225 − 3816= 409.

⌊        √ ---
 n = 65−---409,
|| 1     12√ ---
⌈n = 65+---409.
  2     12

По методу интервалов получаем n∈ [65−√409; 65+√409]
      12     12  .

Определим положение левой границы отрезка.

Раз 400< 409< 441  , то 20 < √409< 21.  Тогда:

             √---
65-− 21 < 65−-409-< 65−-20,
  12        12        12

 2   65− √409    3
33 < ---12----< 34.

Так как n ∈ℕ  , то n ≥4.  Однако если n  чётно, то (как показано в пункте а)) мы встречаем противоречие, поэтому на самом деле n ≥ 5.

Пример для n = 5:

1+ 11+ 21+ 31+ 41+ 2+ 4+ ...+24 +26+ 484= 771.
Ответ:

а) Нет.

б) Нет.

в) 5. Пример: 1,11,21,31,41,2,4,...,24,26,484.

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в)

4

Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)

3

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б),

2

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте в)

Обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#2033

Какое наибольшее количество слонов можно поставить на Ванину шахматную доску так, чтобы они не били друг друга, если Ванина доска имеет размеры 10 × 10  , а каждый слон бьёт любого другого слона при первой же возможности?

Показать ответ и решение

Каждый слон простреливает целиком любую диагональ, на которой он находится. Найдём количество попарно параллельных диагоналей на Ваниной доске. Их 19  . Таким образом, количество слонов не может превышать 19  (иначе какие-то два слона оказались бы на одной диагонали и били бы друг друга).

Можно ли расставить 19  слонов так, чтобы условие задачи было выполнено? Заметим, что слон, стоящий на чёрной клетке, ходит только по чёрным клеткам, а слон, стоящий на белой клетке, ходит только по белым клеткам. Если можно расставить 19  слонов, то найдутся не менее 10  слонов, стоящих на клетках одного цвета (пусть для примера это будет чёрный цвет). Но тогда можно поставить и 10  слонов на белые клетки, для этого достаточно вертикально приподнять всех слонов, стоящих на чёрных клетках, затем повернуть под ними доску на 90∘ (вокруг точки пересечения диагоналей квадратной доски) и опустить слонов.

Если слоны, стоявшие до поворота доски на чёрных клетках, не били друг друга, то и после поворота доски они не будут бить друг друга. При этом слоны, стоящие на чёрных клетках, никак не связаны со слонами, стоящими на белых клетках (“они живут в разных мирах”). Тогда можно поставить на доску не менее 10  чёрных слонов и не менее 10  белых слонов так, что все они не будут бить друг друга, но такого быть не может, следовательно, наше предположение неверно и на такой доске можно расставить не более 18  слонов так, чтобы они не били друг друга.

18  слонов можно расставить, например, так: ставим слонов в каждую клетку верхней горизонтали, затем в каждую клетку нижней горизонтали, кроме угловых.

Ответ: 18

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#2032

Паша пытается в равенстве Д Ы Р А = Я М А +  ЯМ А  + ...+ Я М А  заменить буквы какими-нибудь цифрами, кроме нуля (разные буквы разными цифрами, одинаковые – одинаковыми) так, чтобы “в дыре было как можно больше ям”. Какой ответ у него получится, если он правильно решит поставленную задачу?

Показать ответ и решение

Минимальное значение, которое может принимать Я М А  , равно 123  . Тогда количество ям не может быть больше 81  , ведь 123 ⋅ 82 = 10086  – пятизначное число.

При этом количество ям не может быть и 81  , иначе даже при Я М А =  123  получится, что ДЫ Р А  не меньше, чем 9963  , но в слове Д Ы РА  первые две буквы должны заменяться разными цифрами, а числа, не меньшие 9963  , либо имеют первыми двумя цифрами девятки, либо по крайней мере пятизначны, следовательно, не подходят нам.

В случае, когда количество ям равно 80  , последняя буква в слове Д Ы РА  обязательно соответствует цифре 0  , которая у Паши запрещена, следовательно, количество ям не превосходит 79  .

При этом в случае, когда Я М А  = 125  и количество ям равно 79  , получаем: ДЫ  РА =  9875  , что подходит по условию.

Таким образом, если Паша правильно решит поставленную задачу, он получит ответ 79  .

Ответ: 79

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#2031

В прямоугольную таблицу n × m  вписали целые числа (здесь n  – число строк). При этом оказалось, что сумма чисел в каждом столбце попадает на отрезок [15; 20]  , а сумма чисел в каждой строке попадает на отрезок [22;25]  . Какое наименьшее значение могло иметь выражение n-
m  ?

Показать ответ и решение

Пусть ai  – сумма чисел в i  -ой строке (i  пробегает натуральные значения от 1  до n  ). Пусть  bj  – сумма чисел в j  -ом столбце (j  пробегает натуральные значения от 1  до m  ). Пусть также S  – сумма всех чисел таблицы.

Тогда, учитывая тот факт, что слагаемые в сумме можно складывать в любом порядке, получим:

a1 + ...+ an =  S = b1 + ...+  bm .

Из последнего равенства получаем следующие оценки:

{
  22n ≤  S ≤ 25n
                     ,
  15m  ≤ S ≤  20m

откуда следует, что существуют p ∈ [22;25]  и q ∈ [15;20]  такие, что

p ⋅ n = S = q ⋅ m    ⇒       n-=  q-≥  15-= 0,6 .
                             m    p    25

Пример для n
-- = 0,6
m  может быть таким: n = 3  , m  = 5  , все числа в таблице равны 5  :

5  5  5  5  5
5  5  5  5  5
5  5  5  5  5
Ответ: 0,6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#1190

Имеется 8 кучек камней, причем во всех кучах число камней разное (куча может состоять из любого, не меньшего 1, числа камней). Известно, что любую из куч можно убрать и все камни из нее разложить по другим кучам так, чтобы число камней в них стало одинаковым. Какое наименьшее число камней может быть в самой большой куче?

Показать ответ и решение

Пусть ai  , где i = 1...8  – число камней в каждой куче после того, как кучи упорядочили по возрастанию числа камней в них. То есть a1 < a2 < ... < a8   . Тогда a1 ≥ 1  (следует из условия), a2 ≥ 2,..., a8 ≥ 8  .
Пусть мы взяли первую кучу и раскладываем из нее камни по остальным кучам так, чтобы количество в них стало одинаковым. Тогда, так как во всех кучах разное количество камней, наилучший исход (наименьшее количество камней в 1-ой куче) для нас будет таким: ничего не класть в 8-ую кучу, положить 1 камень в 7-ую, 2 камня в 6-ую, 3 камня в 5-ую, 4 камня в 4-ую, 5 камней в 3-ю и 6 камней во 2-ую. Следовательно, в первой куче должно быть как минимум 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6  камней. То есть a1 ≥ 21  . Следовательно, a2 ≥ 22  и т.д., a8 ≥ 28  .
Утверждаем, что наименьшее возможное количество камней в большой куче – 28. Приведем пример: пусть у нас есть 8 куч камней, в которых 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28 камней соответственно.
Разложение 1-ой кучи по остальным мы уже продемонстрировали выше. Аналогично можно проверить, что это условие выполняется для любой другой кучи: после разложения камней в оставшихся семи кучах будет по 28 камней.

Ответ: 28

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#744

В странном кинозале места образуют треугольник: в первом ряду одно место, во втором ряду два места, ..., в n  -ом ряду n  мест. Известно, что число мест в кинозале положительно и делится на 2017  . Какое наименьшее количество стульев может быть в таком зале?

Показать ответ и решение

Пусть в зале n  рядов, тогда число стульев в зале равно

1 + 2 + ...+ n =  n(n-+-1)-=  k ⋅ 2017
                     2
– для некоторого натурального k  . Так как число 2017  простое, то один из множителей n  и (n + 1)  должен делиться на 2017  .

При этом ясно, что для того, чтобы количество стульев было минимальным из возможных, необходимо и достаточно, чтобы имело место равенство (n + 1 ) = 2017  . Само количество стульев в этом случае равно

2016 ⋅ (2016 + 1 )
-----------------=  2033136.
        2
Такой вот кинозал...
Ответ: 2033136

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#369

Какое наибольшее число трёхклеточных уголков можно вырезать из клетчатого квадрата 8 × 8  ?

Показать ответ и решение

Так как, всего на шахматной доске 64 клетки, то вырезать больше 21 уголка не получится, так как 22 ⋅ 3 = 66 > 64  .

Это мы провели оценку, то есть доказали что больше 21 уголка вырезать точно не получится. Но это нам не гарантирует, что мы сможем врезать 21 уголок, поэтому мы должны привести пример, как можно вырезать 21 уголок из клетчатого квадрата 8 × 8  .

Вот пример:
 
PIC

Ответ: 21

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#745

Илья испёк себе круглый блин. Он решил разрезать его на части, сделав ровно три разреза (разрез идёт “от края до края”) и получить при этом 8  частей (не обязательно равных)

а) Сможет ли Илья сделать задуманное?

б) На какое наибольшее количество частей Илья сможет разрезать блин тремя разрезами?

Показать ответ и решение

а) Первый разрез разрезает блин ровно на две части.

Второй разрез может пройти по каждой из уже имеющихся частей не более, чем один раз. Таким образом, после второго разреза количество частей не превосходит четырёх.

Третий разрез также может пройти по каждой из имеющихся теперь частей не более, чем один раз. Таким образом, после третьего разреза количество частей не превосходит восьми.

При этом для того, чтобы количество частей стало 8  , необходимо, чтобы после двух разрезов стало 4  части, а третий разрез прошёл по каждой из этих четырёх частей. Докажем от противного, что так быть не может: пусть нам удалось сделать такой третий разрез, тогда через точку пересечения первых двух разрезов мысленно построим разрез, параллельный третьему.

Пусть третий разрез не был параллелен какому-то из первых двух, тогда мысленный разрез прошёл лишь через 2  части из четырёх первоначальных, но те две части, через которые он не прошёл, лежат по разные стороны от него, следовательно, перенося его параллельно (до тех пор, пока он не совпадёт с третьим разрезом), мы будем удалять его от одной из частей, через которую он и не проходил.

Аналогичное рассуждение имеет место в случае, когда третий разрез оказался параллельным одному из первых двух.

Таким образом, наш третий разрез не мог пройти через все 4  имевшихся до него части, то есть количество частей после него не может быть больше 7  .

б) Решение для 7  частей приведено ниже:
 
PIC

Ответ:

а) Нет

б) 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#370

Какое наименьшее число клеточек на доске 8 × 8  можно закрасить в черный цвет так, чтобы была хотя бы одна закрашенная клетка

а) в любом квадратике 2 × 2

б) в любом уголке из трёх клеточек?

Показать ответ и решение

а) Разобьем шахматную доску на 16  клеток 2 × 2  как показано на рисунке
 
PIC

 

Так как всего квадратов 2 × 2  16 штук, то минимальное количество закрашенных клеток 16 (так как если мы закрасим всего 15 клеток, то в каком то из 16 квадратов 2 × 2  не будет закрашенной клетки).

Это была оценка, то есть доказательство того, что меньше 16 клеток закрасить мы не сможем.

Пример того, как это можно сделать ниже:
 
PIC

 

б) Воспользуемся разбиением шахматной доски из пункта а).

Заметим, что если в каком-то из 16 квадратов будет закрашена только 1 клетка, то в этом квадрате 2 × 2  обязательно будет уголок из трех клеточек, в котором не будет закрашенной клетки. Поэтому в каждом из 16 квадратов 2 × 2  должно быть как минимум 2 закрашенные клетки, то есть всего 32 закрашенные клетки.

Это была оценка, то есть доказательство того, что меньше чем 32 клетки закрасить нам не удастся.

Пример для 32 на рисунке ниже:
 
PIC

Ответ:

a) 16

б) 32.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#27143

У Вани есть несколько пакетов с вещами, каждый из которых весит целое число килограммов. Он хочет разложить все эти пакеты, не перекладывая их содержимое, по n  имеющимся у него рюкзакам. В каждый рюкзак можно положить любое число пакетов, суммарная масса которых не превосходит m  килограммов.

а) Сможет ли Ваня таким образом разложить семь пакетов, которые весят 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21 кг, если n= 3,  m = 29?

б) Сможет ли Ваня таким образом разложить семь пакетов, которые весят 6, 12, 14, 15, 19, 22, 25 кг, если n = 3,  m = 38?

в) Какое наименьшее значение может принимать m,  чтобы Ваня при n= 4  смог разложить таким образом девять пакетов, которые весят 3, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21 кг?

Показать ответ и решение

а) Суммарная масса вещей в килограммах в пакетах у Вани равна

3+ 6+ 9+ 12+ 15+ 18+ 21= 84

Заметим, что масса каждого пакета кратна 3, следовательно, масса любого числа пакетов также будет кратна 3. Значит, в любой рюкзак поместится число пакетов, суммарная масса которых кратна 3. Тогда суммарная масса в каждом рюкзаке не превосходит не 29 кг, а 27 кг. Но 27 ⋅3 = 81< 84.  Следовательно, семь таких пакетов разместить не удастся.

б) Суммарная масса вещей в килограммах в пакетах равна

6+ 12+ 14+ 15+ 19 + 22 +25 = 113

Если рюкзаков 3 и в каждом не более 38 кг, то всего уместится не более 3 ⋅38 = 114  кг. Тогда в два рюкзака должно поместиться ровно по 38 кг, а в третий — 37 кг.

Переберем все варианты, какими пакетами можно набрать 37 кг:

1.

12+ 25  кг, тогда остаются пакеты по 6, 14, 15, 19, 22 кг. Пакет в 22 кг должен попасть в один из двух оставшихся рюкзаков, где должно быть суммарно 38 кг, но среди пакетов нет пакета такой массы, который бы в сумме с 22 кг дал 38 кг. Если с пакетом массой 22 кг будет лежать хотя бы два других, то их общая масса будет не меньше 22+ 6+ 14 = 42  кг. Следовательно, в этом случае ничего не получается.

2.

15+ 22  кг. Тогда остаются пакеты по 6, 12, 14, 19, 25 кг. Пакет в 25 кг должен попасть в один из двух оставшихся рюкзаков, где должно быть суммарно 38 кг, но среди пакетов нет пакета такой массы, который бы в сумме с 25 кг дал 38 кг. Если с пакетом массой 25 кг будет лежать хотя бы два других, то их общая масса будет не меньше 25+ 6+ 12 = 43  кг. Следовательно, в этом случае ничего не получается.

3.

6+ 12+ 19  кг. Тогда остаются пакеты по 14, 15, 22, 25 кг. Пакет в 25 кг должен попасть в один из двух оставшихся рюкзаков, где должно быть суммарно 38 кг, но суммарная масса пакета в 25 кг и любого другого из оставшихся не меньше 25 + 14 = 39  кг. Следовательно, в этом случае ничего не получается.

Других вариантов набрать 37 кг пакетами с данными массами нет, значит, Ваня не сможет разложить такие пакеты по трем рюкзакам.

в) Суммарная масса вещей в килограммах в пакетах равна

3+ 7+ 9+ 11+ 13+ 15+ 17+ 19 +21 = 115

Заметим, что минимальное m  мы получим в том случае, если масса во всех рюкзаках будет одинаковой. Так как ближайшее сверху к 1154-  целое число равно 29, то m ≥ 29.  Тогда в трех рюкзаках должно быть по 29 кг, а в четвертом 28 кг.

Пакет в 21 кг должен попасть в один из рюкзаков, но среди других пакетов есть только один пакет такой массы, который бы в сумме с 21 кг дал 28 или 29 кг — это пакет массой 7 кг. Тогда пакеты массой в 7 и 21 кг обязаны лежать в одном рюкзаке, значит, остальные рюкзаки должны весить по 29 кг.

Рассмотрим пакет массой 19 кг. Среди оставшихся пакетов нет таких, которые бы в сумме с 19 кг дали бы 29 кг. Следовательно, в этом случае ничего не получается.

Пусть m = 30.  Тогда распределим пакеты по рюкзакам следующим образом:

9 +21 =30, 11 +19 = 30, 13+ 17 = 30, 3+ 7+ 15= 25
Ответ:

а) Нет, не сможет

б) Нет, не сможет

в) 30

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты

4

Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.

3

Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.

2

Верно получен один из следующий результатов:

— обоснованное решение в пункте а);

— обоснованное решение в пункте б);

— искомая оценка в пункте в);

— пример в пункте в), обеспечивающий точность предыдущей оценки.

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#23605

Новогодняя гирлянда, висящая вдоль школьного коридора, состоит из красных и синих лампочек. Рядом с каждой красной лампочкой обязательно есть синяя. Всего в гирлянде 50 лампочек.

а) Может ли в этой гирлянде быть 20 красных лампочек?

б) Может ли в этой гирлянде быть 41 красная лампочка?

в) Какое наибольшее количество красных лампочек может быть в этой гирлянде?

Показать ответ и решение

а) В гирлянде может быть 20 красных лампочек, например, если среди первых 40 лампочек чередуются синие и красные, а остальные 10 лампочек являются синими.

б) Докажем, что в гирлянде не может быть 41 красная лампочка. Разобьём 50 лампочек на десять подряд идущих групп по 5 лампочек в каждой.

Если бы в каждой группе была как минимум одна синяя лампочка, то всего синих лампочек было бы не менее 10, но если в гирлянде 41 красная лампочка, то синих лампочек всего 9. Значит, найдется группа, в которой нет синих лампочек. Но тогда подряд идет пять красных лампочек, а значит, есть красная лампочка, которая не соседствует с синей.

в) Подсчитаем, какое наименьшее количество синих лампочек должно быть в гирлянде.

Поскольку рядом с каждой красной лампочкой обязательно есть синяя, то три красных лампочки не могут идти подряд. Следовательно, среди каждых трёх последовательно идущих лампочек хотя бы одна лампочка должна быть синей. Тогда среди первых 48 лампочек синих будет не меньше чем 48:3 =16.

Также заметим, что лампочки с номерами 49 и 50 не могут оказаться красными одновременно, так как тогда у 50-ой лампочки не будет синей лампочки рядом.

Итак, синих лампочек в гирлянде должно быть не менее 17. Значит, в гирлянде может быть не больше 33 красных лампочек.

По рассуждениям можно построить пример такой гирлянды с 33 красными лампочками. Лампочки с номерами, которые дают остаток 2 при делении на 3, то есть с номерами 2,5,8,11,...,50,  будут синими, а остальные лампочки — красными.

Ответ:

а) Да

б) Нет

в) 33

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты

4

Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.

3

Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.

2

Верно получен один из следующий результатов:

— обоснованное решение в пункте а);

— пример в пункте б);

— искомая оценка в пункте в);

— пример в пункте в), обеспечивающий точность предыдущей оценки.

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#19983

На доске написано 20 различных натуральных чисел, причем известно, что сумма этих чисел равна 280.

а) Может ли быть такое, что среди этих чисел нет ни одного простого?

б) Может ли быть такое, что среди этих чисел ровно одно простое?

в) Какое наименьшее количество простых чисел может быть среди этих 20 чисел?

Показать ответ и решение

По формуле суммы арифметической прогрессии сумма первых n  последовательных натуральных чисел равна

             n ⋅(n + 1)
1+ 2+ ...+ n= ----2---

а) Рассмотрим наименьшую возможную сумму S0  двадцати различных натуральных чисел, не содержащую простых чисел. Она состоит из первых 20 непростых чисел натурального ряда. Наибольшим из таких чисел будет число 30. Действительно, среди чисел от 1 до 30 ровно 10 простых:

2,3,5,7,11,13,17,19,23,29

Тогда, исключив их, мы получим ровно 30− 10= 20  чисел. Найдем их сумму:

S0 = 30⋅31− (2+ 3+ 5+ 7+ 11+ 13+ 17+ 19 +23 +29)=
       2
               = 465 − 129 = 336 > 280

Таким образом, даже наименьшая сумма, удовлетворяющая условию, превосходит 280, значит, такого быть не могло.

б) В пункте а) мы доказали, что наименьшая сумма 20 различных натуральных чисел, не содержащая простых, равна 336. Тогда очевидно, что наименьшая сумма S1  двадцати различных натуральных чисел, содержащих ровно одно простое, получается заменой наибольшего числа из суммы S0  на наименьшее простое, то есть заменой числа 30 на 2:

S1 = S0− 30+ 2 =308 >280

Снова получили, что наименьшая сумма, удовлетворяющая условию, превосходит 280, значит, такого быть не могло.

в) Из пунктов а) и б) следует, что на доске написано как минимум два простых числа (если меньше — противоречие). Допустим, на доске оказалось написано ровно два простых числа a  и b.  Тогда сумма на доске не меньше чем S+ a+ b,  где S  — наименьшая возможная сумма 18 различных натуральных чисел, ни одно из которых не простое. Сумма S  состоит из первых 18 непростых чисел натурального ряда. Наибольшим из таких чисел будет число 27. Действительно, среди чисел от 1 до 27 ровно 9 простых:

2,3,5,7,11,13,17,19,23

Тогда, исключив их, мы получим ровно 27− 9= 18  чисел. Найдем их сумму:

   27 ⋅28
S =--2-- − (2 +3 +5 +7 +11 +13+ 17+ 19+ 23)=
              = 378− 100= 278

Это всего на 2 меньше, чем сумма в условии, то есть какие бы мы ни выбрали a  и b,  получим противоречие. Таким образом мы доказали, что простых чисел должно быть хотя бы 3.

Приведём пример, когда на доске написано три простых числа 3, 7 и 19:

1,3,4,6,7,8,9,10,12,14,15,16,18,19,20,21,22,24,25,26

Их сумма равна

S − 27+ 3+ 7+ 19= 280
Ответ:

а) Нет, не может

б) Нет, не может

в) 3

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты

4

Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.

3

Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.

2

Верно получен один из следующий результатов:

— обоснованное решение в пункте а);

— обоснованное решение в пункте б);

— искомая оценка в пункте в);

— пример в пункте в), обеспечивающий точность предыдущей оценки.

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

4
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!