а) В гирлянде может быть 20 красных лампочек, например, если среди первых 40 лампочек чередуются синие и красные, а остальные 10 лампочек являются синими.

б) Докажем, что в гирлянде не может быть 41 красная лампочка. Разобьём 50 лампочек на десять подряд идущих групп по 5 лампочек в каждой.

Если бы в каждой группе была как минимум одна синяя лампочка, то всего синих лампочек было бы не менее 10, но если в гирлянде 41 красная лампочка, то синих лампочек всего 9. Значит, найдется группа, в которой нет синих лампочек. Но тогда подряд идет пять красных лампочек, а значит, есть красная лампочка, которая не соседствует с синей.

в) Подсчитаем, какое наименьшее количество синих лампочек должно быть в гирлянде.

Поскольку рядом с каждой красной лампочкой обязательно есть синяя, то три красных лампочки не могут идти подряд. Следовательно, среди каждых трёх последовательно идущих лампочек хотя бы одна лампочка должна быть синей. Тогда среди первых 48 лампочек синих будет не меньше чем

Также заметим, что лампочки с номерами 49 и 50 не могут оказаться красными одновременно, так как тогда у 50-ой лампочки не будет синей лампочки рядом.

Итак, синих лампочек в гирлянде должно быть не менее 17. Значит, в гирлянде может быть не больше 33 красных лампочек.

По рассуждениям можно построить пример такой гирлянды с 33 красными лампочками. Лампочки с номерами, которые дают остаток 2 при делении на 3, то есть с номерами будут синими, а остальные лампочки — красными.