По формуле суммы арифметической прогрессии сумма первых последовательных натуральных чисел равна

а) Рассмотрим наименьшую возможную сумму двадцати различных натуральных чисел, не содержащую простых чисел. Она состоит из первых 20 непростых чисел натурального ряда. Наибольшим из таких чисел будет число 30. Действительно, среди чисел от 1 до 30 ровно 10 простых:

Тогда, исключив их, мы получим ровно чисел. Найдем их сумму:

Таким образом, даже наименьшая сумма, удовлетворяющая условию, превосходит 280, значит, такого быть не могло.

б) В пункте а) мы доказали, что наименьшая сумма 20 различных натуральных чисел, не содержащая простых, равна 336. Тогда очевидно, что наименьшая сумма двадцати различных натуральных чисел, содержащих ровно одно простое, получается заменой наибольшего числа из суммы на наименьшее простое, то есть заменой числа 30 на 2:

Снова получили, что наименьшая сумма, удовлетворяющая условию, превосходит 280, значит, такого быть не могло.

в) Из пунктов а) и б) следует, что на доске написано как минимум два простых числа (если меньше — противоречие). Допустим, на доске оказалось написано ровно два простых числа и Тогда сумма на доске не меньше чем где — наименьшая возможная сумма 18 различных натуральных чисел, ни одно из которых не простое. Сумма состоит из первых 18 непростых чисел натурального ряда. Наибольшим из таких чисел будет число 27. Действительно, среди чисел от 1 до 27 ровно 9 простых:

Тогда, исключив их, мы получим ровно чисел. Найдем их сумму:

Это всего на 2 меньше, чем сумма в условии, то есть какие бы мы ни выбрали и получим противоречие. Таким образом мы доказали, что простых чисел должно быть хотя бы 3.

Приведём пример, когда на доске написано три простых числа 3, 7 и 19:

Их сумма равна