Тема 18. Задачи с параметром
18.01 Задачи №18 из ЕГЭ прошлых лет
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи с параметром
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#65522

Найдите все значения параметра a,  при каждом из которых система

{ 2   2        2   2
 x + |x  +2x|= y + |y +2y|
 x+ y =a

имеет более двух решений.

Источники: ЕГЭ 2023, резервная волна, Москва

Показать ответ и решение

Так как x2 +2x = x(x +2),  то нули подмодульных выражений: x= − 2  и x = 0  для первого и y =− 2  и y =0  для второго. Эти четыре прямые разбивают плоскость xOy  на 9 областей, в которых каждый из двух модулей раскрывается с определенным знаком. Рассмотрим эти области, обозначив каждую как «∗∗ », где ∗ — один из знаков +  или − , причем первый знак отвечает за первый модуль, а второй знак отвечает за второй модуль.

xy11++++++−−−++++−−++−

Рассмотрим первое уравнение в каждой из областей.

++  :

x2+ x2+ 2x = y2+ y2+ 2y   ⇔   (x − y)(x+ y+ 1)= 0 ⇔   y = x, y = −x − 1;

+− :

 2   2       2   2
x + x + 2x = y − y − 2y   ⇔   y = −x(x+ 1);

− +  :

 2   2       2   2
x − x − 2x = y + y + 2y   ⇔   x= −y(y+ 1);

− − :

 2   2       2   2
x − x − 2x = y − y − 2y   ⇔   y = x.

Тогда получаем следующий график первого уравнения:

xy11((12))

(1) и (2) — граничные положения прямой y = −x + a,  задаваемой вторым уравнением исходной системы. Все a,  соответствующие положениям этой прямой между (1) и (2), включая (1), нам подходят. Положению (1) соответствует a= − 1,  положению (2) соответствует a =0.  Следовательно, ответ

a ∈[−1;0)
Ответ:

a ∈[−1;0)

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!