Задачи №18 из ЕГЭ прошлых лет —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Тема 18. Задачи с параметром

18.01 Задачи №18 из ЕГЭ прошлых лет

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи с параметром

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#83775

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

x2 − (x− 1)√2x-−-a= x

имеет ровно один корень.

Источник: ЕГЭ 2024, досрочная волна

Показать ответ и решение

Уравнение равносильно

x(x− 1)= (x − 1)√2x-−-a ⌊ ( | {x − 1 = 0 || (2x− a ≥0 ⌈ √----- x= 2x − a ⌊ ({x = 1 || || ((2x− a ≥0 || {(x− 1)2 = 1− a ⌈ ( x ≥ 0

При $1− a< 0 ⇔ a > 1$ уравнение из второй системы не имеет решений. Следовательно, исходное уравнение имеет единственное решение, если $x = 1$ удовлетворяет условию $2x− a≥ 0,$ то есть при $a ≤2.$ Следовательно, при $a ∈(1;2]$ исходное уравнение имеет единственное решение.

При $a= 1$ уравнение из второй системы имеет единственный корень $x =1,$ совпадающий с корнем из первой системы, который удовлетворяет условию $2x − a ≥ 0$ и $x≥ 0.$ Следовательно, это значение параметра нам также подходит.

Пусть далее $a < 1.$ Тогда уравнение из первой системы удовлетворяет условию $2x − a ≥ 0,$ уравнение из второй системы имеет два различных корня $√---- x = 1± 1− a,$ каждый из которых не должен являться корнем исходного уравнения, следовательно, не должен удовлетворять условию $x ≥0.$ Но $---- 1 +√ 1− a> 1,$ следовательно, удовлетворяет условию $x ≥ 0.$ Значит. исходное уравнение уже имеет как минимум два корня. Следовательно, $a< 1$ нам не подходит.

Таким образом, ответ

a∈ [1;2]

Ответ:

$a ∈[1;2]$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#64212

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система уравнений

{ (x2 − 5x +3 − y) ⋅√x-−-y+-3= 0 y = 3x+ a

имеет ровно два различных решения.

Источник: ЕГЭ 2023, основная волна

Показать ответ и решение

Способ 1. Графический

Система равносильна

([ 2 |||{ y = x − 5x+ 3 y = x+ 3 |||(y ≤x + 3 y =3x +a

Пусть $S$ — множество точек плоскости $xOy,$ лежащих либо на части параболы $y = x2− 5x+ 3,$ лежащей ниже прямой $y =x + 3,$ либо на прямой $y = x+ 3.$

Необходимо найти те $a,$ при которых прямая $y = 3x + a$ имеет ровно две точки пересечения с множеством $S.$

Найдем точки пересечения параболы $y = x2− 5x+ 3$ и прямой $y = x+ 3:$

2 x − 5x +3 = x+ 3 ⇔ x= 0;6

Получаем точки $A(0;3)$ и $B (6;9).$

Изобразим граничные положения прямой $y = 3x+ a:$

$xyyy139016AB(1(2(3 = =))) xx2+−35x+ 3$

Нам подходят положения 1 и 2, а также все положения между 2 и 3.

п. (1): Прямая $y = 3x+ a$ касается параболы $y = x2− 5x+ 3,$ если уравнение $x2 − 5x +3 = 3x + a ⇔ x2− 8x+ 3− a= 0$
имеет единственное решение. Следовательно, его дискриминант
$D = 52+ 4a= 0 ⇔ a = −13$
п. (2): Прямая $y = 3x+ a$ проходит через точку $B(6;9) :$ $9 =18 +a ⇔ a= −9$
п. (3): Прямая $y = 3x+ a$ проходит через точку $A(0;3):$ $a =3$

Следовательно, ответ

a∈ [− 9;3)∪ {−13}

Способ 2. Алгебраический

Подставим $y = 3x + a$ в первое уравнение. Так как замена линейная, то полученная система относительно $x$ должна иметь 2 решения:

( ⌊ ||{ ⌈x2− 8x+ 3− a= 0 x= x1 = 3−-a ||( 2 x≤ x1

Нам подходят две ситуации: когда первое уравнение имеет единственный корень $x0 <x1,$ и когда первое уравнение имеет два корня, причем ровно один из них меньше $x1$ (а второй $≥x1$ ).

1.: Пусть первое уравнение имеет единственный корень, меньший $x1.$ Это задается следующими условиями: ${D = 4(13+ a)= 0 x = 4< x ⇔ a= − 13 0 1$
2.: Пусть первое уравнение имеет два корня и ровно один меньше $x1.$ Это задается следующей картинкой для параболы $2 f = x − 8x+ 3− a:$

$x1$

Это задается следующими условиями:
$( ⌊( (⌊ { ||| ||{ (a+-9)(a−-3)= 0 ||| f(x1)= 0 ||||| || 4 {|⌈ x0 < x1 { |||||( 4< 3-− a ||| f(x1) <0 ⇔ ||| ⌈ (a +9)(2a− 3) ⇔ −9≤ a < 3 (D > 0 |||| ----4------< 0 |( a> −13$

Следовательно, ответ

a∈ [− 9;3)∪ {−13}

Ответ:

$a ∈{− 13} ∪[−9;3)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#64211

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система уравнений

{ (x2 − 7x − y +4) ⋅√x-−-y+-4= 0 y = −x +a

имеет ровно два различных решения.

Источник: ЕГЭ 2023, основная волна

Показать ответ и решение

Способ 1. Графический

Система равносильна

([ 2 |||{ y = x − 7x+ 4 y = x+ 4 |||(y ≤x + 4 y =− x+ a

Пусть $S$ — множество точек плоскости $xOy,$ лежащих либо на части параболы $y = x2− 7x+ 4,$ лежащей ниже прямой $y =x + 4,$ либо на прямой $y = x+ 4.$

Необходимо найти те $a,$ при которых прямая $y = −x+ a$ имеет ровно две точки пересечения с множеством $S.$

Найдем точки пересечения параболы $y = x2− 7x+ 4$ и прямой $y = x+ 4:$

2 x − 7x +4 = x+ 4 ⇔ x= 0;8

Получаем точки $A(0;4)$ и $B (8;12).$

Изобразим граничные положения прямой $y = −x+ a :$

$xyyy141018AB((( = =2123)))xx2−+47x+ 4$

Нам подходят положения 1 и 2, а также все положения между 2 и 3.

п. (1): Прямая $y = − x+ a$ касается параболы $y = x2− 7x+ 4,$ если уравнение $x2− 7x+ 4= − x+ a ⇔ x2− 6x+ 4− a= 0$
имеет единственное решение. Следовательно, его дискриминант
$D =4(5+ a)= 0 ⇔ a =− 5$
п. (2): Прямая $y = −x +a$ проходит через точку $A (0;4):$ $a =4$
п. (3): Прямая $y = −x +a$ проходит через точку $B (8;12):$ $12= −8 +a ⇔ a= 20$

Следовательно, ответ

a ∈[4;20)∪ {−5}

Способ 2. Алгебраический

Подставим $y = −x+ a$ в первое уравнение. Так как замена линейная, то полученная система относительно $x$ должна иметь 2 решения:

( ⌊ ||{ ⌈x2− 6x+ 4− a= 0 x= x1 = a−-4 ||( 2 x≥ x1

Нам подходят две ситуации: когда первое уравнение имеет единственный корень $x0 >x1,$ и когда первое уравнение имеет два корня, причем ровно один из них больше $x1$ (а второй $≤ x1$ ).

1.: Пусть первое уравнение имеет единственный корень, больший $x1.$ Это задается следующими условиями: ${D = 4(5+ a)= 0 x =3 > x ⇔ a= − 5 0 1$
2.: Пусть первое уравнение имеет два корня и ровно один больше $x1.$ Это задается следующей картинкой для параболы $2 f = x − 6x+ 4− a:$

$x1$

Это задается следующими условиями:
$(|| ⌊(| (a−-4)(a−-20) (|⌊ {f(x1)= 0 |||| ||{ 4 = 0 ||{|⌈ x0 > x1 ||{ ||||| a−-4 | ⇔ | |⌈( 3> 2 ⇔ 4 ≤ a< 20 ||( f(x1)< 0 |||| (a−-4)(a-− 20) <0 D > 0 |||( 4 a> −5$

Следовательно, ответ

a ∈[4;20)∪ {−5}

Ответ:

$a ∈{− 5} ∪[4;20)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#63812

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система уравнений

({ ( 2 2 ) √ -------- x + y +6x ⋅ y+ x+ 6= 0 ( y = x+ a

имеет ровно два различных решения.

Источник: ЕГЭ 2023, основная волна, Москва

Показать ответ и решение

Способ 1. Графический

Система равносильна

(||⌊ x2+ y2+ 6x = 0 (|| ⌊(x+ 3)2+y2 = 9 ||||⌈ |||| ⌈ { y+ x+ 6= 0 ⇔ { y =− x− 6 |||y +x +6 ≥ 0 ||| y ≥ −x − 6 |||( |||( y = x+ a y = x+ a

Графиком первого уравнения совокупности является окружность с центром в точке $(−3;0)$ и радиусом 3. Графиком второго уравнения является прямая.

Пусть $S$ — множество точек плоскости $xOy,$ лежащих на прямой $y = −x− 6$ или на части окружности $2 2 (x+ 3) + y = 9,$ лежащей выше этой прямой. Тогда два решения система будет иметь при тех $a,$ при которых прямая $y =x + a$ имеет две точки пересечения со множеством $S.$

Найдем точки пересечения окружности $x2+ y2+ 6x= 0$ и прямой $y = −x− 6:$

( {x2 +y2+ 6x =0 ( ⇔ A(−6;0), B (−3;−3) y = −x− 6

Изобразим граничные положения прямой $y = x+ a:$

$xyyAB((((1234=)))) −x− 6$

Положения 1 и 4: прямая $y =x + a$ касается окружности $x2+ y2+ 6x= 0.$ Следовательно, уравнение

2 2 2 2 x + (x + a) + 6x= 0 ⇔ 2x +2(a+ 3)x + a = 0

имеет одно решение. Значит, его дискриминант равен нулю:

2 2 √ - D = 4(a+ 3)− 8a = 0 ⇔ a = 3(1± 2)

Положение 2: прямая $y = x + a$ проходит через точку $B :$

−3 = −3+ a ⇔ a =0

Положение 3: прямая $y = x + a$ проходит через точку $A :$

0= −6 +a ⇔ a= 6

Нам подходят положения 1, 2, 3, 4, а также все положения между 2 и 3. Следовательно, ответ

√ - a ∈[0;6]∪ {3(1± 2)}

Способ 2. Алгебраический

Подставим $y = x+ a$ в первое уравнение и получим следующую систему

( ⌊ 2 2 ||||{ |2x + 2(a +3)x+ a = 0 ⌈x= − a+-6 |||| 2 ( x≥ − a-+-6 2

Так как замена $y = x +a$ линейная, то полученная система должна иметь два решения.

Примем число $a+6 − 2$ за $x1.$ Заметим, что $x1$ является решением системы при любом $a.$ Следовательно, либо квадратное уравнение должно иметь единственный корень, причем больший $x1,$ либо оно должно иметь два корня, причем ровно один больше $x1$ (а второй, соответственно, $≤x1$ ).

Рассмотрим параболу $f(x)= 2x2+ 2(a +3)x+ a2.$ Выпишем необходимые данные:

D = 4((a+ 3)2− 2a2) x0 = − a+-3 2 a(a−-6) f(x1)= 2

1 случай. Квадратное уравнение имеет один корень $> x1.$ Этот корень равен $x0.$ Значит:

( ( √- { D = 0 { a= 3(1± 2) √- ( x0 > x1 ⇔ ( a∈ ℝ ⇔ a= 3(1± 2)

2 случай. Квадратное уравнение имеет два корня: один $> x1,$ второй $≤ x1.$ Это задается следующей картинкой для параболы $f :$

$x1$

Такая картинка описывается следующей системой:

( |||| D > 0 ||{ ⌊f(x1)< 0 | ||( ⇔ 0≤ a≤ 6 |||| |⌈{ f(x1) =0 |( ( x1 < x0

Следовательно, ответ

a ∈[0;6]∪ {3(1± √2 )}

Ответ:

$a ∈[0;6]∪ {3(1± √2)}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#63811

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система уравнений

({ (2 ) √ -------- x − 7x +8 − y ⋅ x− y+ 8 =0 ( y = ax+ a

имеет ровно два различных решения.

Источник: ЕГЭ 2023, основная волна, Москва

Показать ответ и решение

Способ 1. Графический

Сделаем замену $x+ 1= t.$ Тогда система равносильна

( ⌊ (⌊ ||| (t− 1)2− 7(t− 1)+ 8− y =0 ||| y = t2− 9t+16 |||{ ⌈ |||{⌈ t− 1− y+ 8= 0 ⇔ y = t+ 7 |||| t− 1 − y +8 ≥ 0 ||||y ≤ t+7 ||( y = at ||(y = at

Пусть $S$ — множество точек плоскости $tOy,$ лежащих либо на части параболы $y = t2 − 9t+ 16,$ лежащей ниже прямой $y = t+7,$ либо на прямой $y = t+7.$

Необходимо найти те $a,$ при которых прямая $y = at,$ проходящая через начало координат плоскости $tOy,$ имеет ровно две точки пересечения с множеством $S.$

Найдем точки пересечения параболы $y = t2 − 9t+ 16$ и прямой $y = t+ 7:$

t2 − 9t+ 16= t+ 7 ⇔ t= 1;9

Получаем точки $A(1;8)$ и $B (9;16).$

Изобразим граничные положения прямой $y = at:$

$tyyy18119AB(((( = =61234))))tt2+−79t+16$

Нам подходят положения 1 и 2, а также все положения между 3 и 4, включая 3.

п. (1)

Прямая $y = at$ касается параболы $y = t2− 9t+ 16,$ если уравнение

2 2 t − 9t+16 = at ⇔ t − (a+ 9)t+ 16= 0

имеет единственное решение. Следовательно, его дискриминант

D = (a +9)2− 82 = 0 ⇔ a =− 17;− 1

При $a = −17$ прямая $y =at$ касается части параболы, лежащей выше прямой $y =t+ 7,$ то есть не принадлежащей множеству $S$ (так как точка касания ищется по формуле $t0 = a+29$ ). При $a = −1$ прямая касается нужной нам части параболы. Следовательно, подходит $a= −1.$

п. (2)

Прямая $y = at$ параллельна прямой $y = t+ 7:$

a =1

п. (3)

Прямая $y = at$ проходит через точку $B (9;16):$

16 16 =9a ⇔ a= 9-

п. (4)

Прямая $y = at$ проходит через точку $A (1;8):$

a =8

Следовательно, ответ

[ ) a∈ 16;8 ∪ {−1;1} 9

Способ 2. Алгебраический

Будем пользоваться той же заменой $x+ 1 =t.$ Подставим $y = at$ в первое уравнение. Так как замена линейная, то полученная система относительно $t$ должна иметь 2 решения:

(| ⌊ 2 ||{ ⌈t − (a + 9)t+ 16= 0 | (a− 1)t= 7 ||( (a − 1)t≤ 7

$a > 1$

Тогда система равносильна

( ⌊ 2 ||||{ |t − (a + 9)t+ 16= 0 ⌈t= t = --7- |||| 1 a − 1 ( t≤ t1

Число $t1$ при любом $a$ является решением системы. Следовательно, квадратное уравнение либо должно иметь 1 корень, меньший $t1,$ либо два корня, причем ровно один из них меньше $t1$ (а второй соответственно $≥ t1$ ).

Дискриминант квадратного уравнения $D = (a +1)(a+ 17).$ Абсцисса вершины параболы $2 f = t − (a+ 9)t+ 16$ равна $a+9 t0 = -2 .$

Если $D = 0,$ то $a = −17;− 1.$ Но эти $a$ не удовлетворяют условию $a> 1.$

Если $D > 0,$ то $a < −17$ или $a> − 1.$ Ветви параболы $f = t2 − (a+ 9)t+16$ направлены вверх, она пересекает ось абсцисс в двух точках. Значит, число $t1$ должно находиться между корнями или совпадать с большим корнем:

$t1$

Это задается следующими условиями:

(|⌊ ({ (| ⌊(| (9a− 16)(a− 8) (| ⌊( 16 ||||| f(t1) = 0 |||| ||{ ---(a−-1)2---= 0 |||| |||{ a= -9 ;8 ||||||⌈ (t0 < t1 |||| |||| a +9 7 |||| ||| √-- √ -- { f(t)< 0 ⇔ { |||( --2- < a−-1 ⇔ { |||( (a+-4+--39)(a-+4-−--39)< 0 ||| 1 ||| ⌈ (9a-− 16)(a-− 8) ||| ⌈16 a− 1 |||||D > 0 ||||| (a − 1)2 < 0 ||||| 9 < a< 8 |(a > 1 |( a> 1 |( a> 1

Следовательно, в этом случае получаем $196≤ a< 8.$

$a < 1$

Тогда система равносильна

( ⌊ 2 ||||{ |t − (a + 9)t+ 16= 0 ⌈t= t = --7- |||| 1 a − 1 ( t≥ t1

$t= t1$ при любом $a$ является решением системы. Следовательно, квадратное уравнение либо должно иметь 1 корень, больший $t1,$ либо два корня, причем ровно один из них больше $t1$ (а второй соответственно $≤ t1$ ).

Дискриминант квадратного уравнения $D = (a +1)(a+ 17).$ Абсцисса вершины параболы $2 f = t − (a+ 9)t+ 16$ равна $a+9 t0 = -2 .$

Если $D = 0,$ то $a= −17;−1.$ При $a = −17$ получаем $t0 = −4,$ $t =− 7- 1 18$ — не подходит. При $a =− 1$ получаем $t =4, 0$ $t= − 7 1 2$ — подходит.

Если $D > 0,$ то $a < −17$ или $a> − 1.$ Тогда парабола $y = t2− (a+ 9)t+ 16$ пересекает ось абсцисс в двух точках и необходимо, чтобы число $t1$ находилось между этими точками либо совпадало с левой точкой.

Получаем такую картинку:

$t1$

Это задается следующими условиями:

(⌊ ( ( ⌊( ( || {f(t1) = 0 || || (9a−-16)(a−-8)= 0 || ⌊(|| a= 16;8 ||||||| ( ||||| ||{ (a− 1)2 ||||| ||{ 9 ||{|⌈ t0 > t1 ||{ ||||( a-+9 > --7- ||{ |||| (a+ 4+ √39)(a +4 − √39-) f(t1)< 0 ⇔ || 2 a− 1 ⇔ |⌈( ---------a−-1---------> 0 ||||| ||||| ⌈ (9a-− 16)(a-− 8)-< 0 ||||| 16 < a< 8 ||||D > 0 |||| (a − 1)2 |||| 9 (a < 1 ( a∈ (−∞; −17)∪(−1;1) ( a∈ (− ∞;− 17)∪ (−1;1)

В случае $D > 0$ не получаем никаких значений параметра.

Получается, при $a< 1$ нам подходит только $a = −1.$

$a = 1$

Тогда система равносильна

(| ⌊ 2 ||{ ⌈t − 10t+ 16 =0 | 0⋅t= 7 ⇔ t= 2;8 ||( 0⋅t≤ 7

Следовательно, $a= 1$ нам подходит.

Следовательно, ответ

[16 ) a∈ 9-;8 ∪ {−1;1}

Ответ:

$[ ) a ∈ 16;8 ∪{− 1;1} 9$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#63810

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система уравнений

({ (2 ) √ -------- x − 5x − y + 3 ⋅ x− y+ 3 =0 ( y = ax+ a

имеет ровно два различных решения.

Источник: ЕГЭ 2023, основная волна, Адыгея

Показать ответ и решение

Способ 1. Графический

Сделаем замену $x+ 1= t.$ Тогда система равносильна

( ⌊ ( ⌊ ||| (t− 1)2− 5(t− 1)+ 3− y = 0 ||| y = t2− 7t+ 9 |||{ ⌈ |||{ ⌈ t − 1 − y +3 = 0 ⇔ y = t+2 |||| t− 1− y+ 3≥ 0 |||| y ≤ t+ 2 ||( y = at ||( y = at

Пусть $S$ — множество точек плоскости $tOy,$ лежащих либо на части параболы $y = t2 − 7t+ 9,$ лежащей ниже прямой $y = t+ 2,$ либо на прямой $y = t+2.$

Найдем точки пересечения параболы $y = t2− 7t+ 9$ и прямой $y = t+ 2:$

t2− 7t+9 = t+2 ⇔ t= 1;7

Получаем точки $A(1;3)$ и $B (7;9).$

Изобразим граничные положения прямой $y = at:$

$tyyy13917AB(1(2(3(4 = =)))) tt2+−27t+9$

Нам подходят положения 1 и 2, а также все положения между 3 и 4, включая 3.

п. (1)

Прямая $y = at$ касается параболы $y = t2− 7t+ 9,$ если уравнение

t2− 7t+9 = at ⇔ t2− (a+ 7)t+ 9= 0

имеет единственное решение. Следовательно, его дискриминант

D = (a +7)2− 62 = 0 ⇔ a =− 13;− 1

При $a = −13$ прямая $y =at$ касается части параболы, лежащей выше прямой $y =t+ 2,$ то есть не принадлежащей множеству $S$ (так как точка касания ищется по формуле $a+7 t0 = 2$ ). При $a = −1$ прямая касается нужной нам части параболы. Следовательно, подходит $a= −1.$

п. (2)

Прямая $y = at$ параллельна прямой $y = t+ 2:$

a =1

п. (3)

Прямая $y = at$ проходит через точку $B (7;9):$

9 =7a ⇔ a= 97

п. (4)

Прямая $y = at$ проходит через точку $A (1;3):$

a =3

Следовательно, ответ

[9 ) a ∈ 7 ;3 ∪{− 1;1}

Способ 2. Алгебраический

(|⌊ 2 ||{⌈ t− (a+ 7)t+9 = 0 | (a − 1)t= 2 ||((a− 1)t≤2

$a > 1$

Тогда система равносильна

(⌊ 2 ||||| t− (a+ 7)t+9 = 0 {⌈ -2-- ||| t= t1 = a− 1 |(t≤ t1

Дискриминант квадратного уравнения $D = (a +1)(a+ 13).$ Абсцисса вершины параболы $f = t2− (a+ 7)t+ 9$ равна $t0 = a+27.$

Если $D = 0,$ то $a = −13;− 1.$ Но эти $a$ не удовлетворяют условию $a> 1.$

Если $D > 0,$ то $a < −13$ или $a> − 1.$ Ветви параболы $f = t2 − (a+ 7)t+ 9$ направлены вверх, она пересекает ось абсцисс в двух точках. Значит, число $t 1$ должно находиться между корнями или совпадать с большим корнем:

$t1$

Это задается следующими условиями:

(⌊ ( ( ⌊( (7a− 9)(a− 3) ( ⌊( ||||| {f(t1) = 0 |||| |||{ ---(a−-1)2---= 0 |||| ||{ a= 9;3 ||||||| (t0 < t1 ||||| ||| ||||| ||| 7 √- √ - {⌈ { |||( a-+27 < a−21 { ||||( (a+-3+-2-5)(a-+3-−-2-5)< 0 || f(t1)< 0 ⇔ || |⌈ (7a − 9)(a− 3) ⇔ || ⌈9 a− 1 |||||D > 0 ||||| --(a−-1)2---< 0 ||||| 7 < a< 3 ||( ||( a> 1 ||( a> 1 a > 1

Следовательно, в этом случае получаем $97 ≤ a <3.$

$a < 1$

Тогда система равносильна

(⌊ ||||| t2− (a+ 7)t+9 = 0 {⌈ -2-- ||| t= t1 = a− 1 |(t≥ t1

Дискриминант квадратного уравнения $D = (a +1)(a+ 13).$ Абсцисса вершины параболы $f = t2− (a+ 7)t+ 9$ равна $t0 = a+27.$

Если $D = 0,$ то $a= −13;−1.$ При $a =− 13$ получаем $t0 <t1$ — не подходит. При $a= − 1$ получаем $t0 > t1$ — подходит.

Если $D > 0,$ то $a < −13$ или $a> − 1.$ Тогда парабола $y = t2− (a+ 7)t+ 9$ пересекает ось абсцисс в двух точках и необходимо, чтобы число $t1$ находилось между этими точками либо совпадало с левой точкой.

Получаем такую картинку:

$t1$

Это задается следующими условиями:

(|⌊ ({f(t) = 0 (| ⌊(| (7a−-9)(a−-3) (| ⌊(| 9 ||||||| 1 ||||| |||{ (a− 1)2 = 0 ||||| ||{ a= 7;3 |||{|⌈ (t0 > t1 |||{ |||| a-+7 --2- |||{ |||| (a+ 3+ 2√5)(a +3 − 2√5 ) f(t1)< 0 ⇔ ||( 2 > a− 1 ⇔ ||⌈( ---------a−-1---------> 0 |||| |||| ⌈ (7a-− 9)(a−-3)-< 0 |||| 9 < a< 3 ||||D > 0 |||| (a− 1)2 |||| 7 |(a < 1 |( a∈ (−∞; −13)∪(−1;1) |( a∈ (− ∞;− 13)∪(−1;1)

В случае $D > 0$ не получаем никаких значений параметра.

Получается, при $a< 1$ нам подходит только $a = −1.$

$a = 1$

Тогда система равносильна

(⌊ |||{⌈ t2− 8t+ 9= 0 √ - 0⋅t= 2 ⇔ t =4 ± 7 |||( 0⋅t≤ 2

Следовательно, $a= 1$ нам подходит.

Следовательно, ответ

[9 ) a ∈ 7 ;3 ∪{− 1;1}

Ответ:

$[ ) a ∈{− 1;1}∪ 9;3 7$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет	3

С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения,	2
ИЛИ
в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений

В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемьх ограничений,	1
ИЛИ
в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#63809

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система уравнений

({ √ --------- (xy− 2x+ 12) ⋅ y− 2x+ 12= 0 ( y = 3x+ a

имеет ровно два различных решения.

Источник: ЕГЭ 2023, основная волна, Дальний восток

Показать ответ и решение

Способ 1. Графический

Система равносильна

⌊ (|⌊ (|| y = 2− 12 ||||⌈ xy− 2x+ 12= 0 |||| |⌈ x |{ y− 2x+ 12= 0 |{ y = 2x− 12 ||y − 2x +12 ≥0 ⇔ || ||||( ||||| y ≥ 2x− 12 y = 3x + a ( y = 3x+ a

Первое уравнение задает гиперболу, а второе уравнение задает прямую. Пусть $S$ — множество точек гиперболы $y = 2− 12, x$ лежащих выше прямой $y = 2x − 12$ , или точек прямой $y = 2x− 12.$

Тогда нам подходят те значения параметра $a,$ при которых прямая $y = 3x + a$ имеет две точки пересечения со множеством $S.$

Найдем точки пересечения гиперболы $y = 2− 1x2$ и прямой $y = 2x− 12:$

( ( ( {xy − 2x +12 =0 ⇔ {xy − y = 0 ⇔ {y(x− 1)= 0 (y − 2x +12 =0 (y =2x − 12 (y =2x − 12

Получаем две точки: $A (1;− 10)$ и $B (6;0).$

Рассмотрим ключевые положения прямой $y = 3x+ a$ и посчитаем значения параметра в каждом из них.

$yy(1(2(3(4AB = =)))) 22−x−1x212$

Положение 1: прямая $y = 3x +a$ проходит через точку $B :$

0= 18+ a ⇔ a =− 18

Положение 2: прямая $y = 3x +a$ проходит через точку $A :$

−10 = 3+ a ⇔ a= −13

Положения 3 и 4. Прямая $y = 3x+ a$ касается гиперболы $12 y = 2 − x$ в точке $x0 :$

(| 12 (| 12 {2 − x-= 3x+ a { a= 2− -x − 3x |( 12= 3 ⇔ |( 2 x2 x = 4

При $x= − 2$ получаем $a = 14,$ что соответствует 4-ому положению. При $x = 2$ получаем $a = −10,$ что соответствует 3-ему положению.

Нам подходят положения 3 и 4, а также все положения между 1 и 2, включая положение 2.

Следовательно, ответ

a∈ (−18;−13]∪{−10;14}

Способ 2. Алгебраический

Так как замена $y = 3x +a$ линейная, то система будет иметь 2 решения в том случае, если первое уравнение системы после подстановки $y =3x +a$ будет иметь 2 решения:

( ⌊ |||{ ⌈3x2+ (a− 2)x+ 12= 0 x = −a− 12 |||( x≥ − a− 12

Назовем корень $− a − 12$ числом $x1.$ Заметим, что $x1$ при любом $a$ является решением полученной системы. Следовательно, эта система имеет два решения, если:

1) квадратное уравнение имеет одно решение $x , 0$ то есть $D =0,$ причем $x0 >x1;$

2) квадратное уравнение имеет два решения, то есть $D > 0,$ причем меньший из этих двух корней $≤ x1,$ а больший $> x1.$

Найдем $D = (a − 2)2− 122.$ Найдем абсциссу вершины параболы $g = 3x2 +(a− 2)x+ 12$ — это $x0 = 2−a. 6$

Следовательно, для первого случая получаем

({ D = 0 ({ a= −10;14 ⇔ ⇔ a= − 10;14 ( x0 > x1 ( a> −14,8

Второй случай выполняется, если парабола $g = 3x2+ (a− 2)x +12$ пересекает ось абсцисс в двух точках, причем число $x1$ лежит между этими точками либо совпадает с левой точкой:

$x1$

Эта картинка задается следующими условиями:

(|D > 0 (| a∈ (− ∞;− 10) ∪(14;+ ∞) |||||⌊ ( ||||| ⌊( {| {g(x1)= 0 ⇔ { |{ a= −18;−13 ⇔ − 18< a≤ − 13 ||||| (x0 >x1 ||| ||( a> −14,8 |||(⌈ |||( ⌈ g(x1)< 0 2(a+ 13)(a+ 18)< 0

Следовательно, ответ

a∈ (−18;−13]∪{−10;14}

Ответ:

$a ∈(−18;−13]∪ {− 10;14}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#63286

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система уравнений

({ 2 √-------- (x − 6x+ y+ 2) x − y +2 = 0 (y = ax+ a

имеет ровно два различных решения.

Источник: ЕГЭ 2023, основная волна, Москва

Показать ответ и решение

Способ 1. Графический

Сделаем замену $x+ 1= t.$ Тогда система равносильна

(|| ⌊(t− 1)2− 6(t− 1)+ y+ 2 =0 |||| ⌈ { t− 1− y+ 2= 0 ||| t− 1 − y + 2≥ 0 |||( y = at ( ⌊ 2 |||| ⌈y =− (t− 4) + 7 ||{ y =t+ 1 | ||||| y ≤ t+ 1 ( y = at

Пусть $S$ — множество точек плоскости $tOy,$ лежащих либо на части параболы $y = −(t− 4)2+ 7,$ лежащей ниже прямой $y = t+ 1,$ либо на прямой $y = t+1.$

Найдем точки пересечения параболы $y = −(t− 4)2+ 7$ и прямой $y = t+ 1:$

2 − (t− 4) +7 = t+ 1 ⇔ t= 2;5

Получаем точки $(2;3)$ и $(5;6).$

Изобразим граничные положения прямой $y = at:$

$tyyy136125(((( = =1234))))−t+(t−1 4)2+ 7$

Нам подходят следующие положения.

Положение 1, при котором прямая $y = at$ параллельна прямой $y = t+ 1.$

Все положения между положением 2, когда прямая $y = at$ проходит через точку $(5;6)$ и положением 3, когда прямая $y = at$ проходит через точку $(2;3),$ включая положение 2.

Положение 4, когда прямая $y =at$ касается левой ветви параболы.

Выпишем соответствующие каждому положению значения параметра.

Положение 1. Так как угловые коэффициенты параллельных прямых равны, то $a = 1.$

Положение 2. Прямая $y = at$ проходит через точку $(5;6):$

6 =5a ⇔ a= 6 5

Положение 3. Прямая $y = at$ проходит через точку $(2;3):$

3 3 =2a ⇔ a= 2

Положение 4. Прямая $y = at$ касается параболы $2 y = −(t− 4) +7,$ если имеет единственное решение уравнение

−(t− 4)2 +7 = at ⇔ t2+ (a− 8)t+ 9 =0

Следовательно, его дискриминант

D = (a− 8)2 − 62 = 0 ⇔ a = 2;14

При $a= 2$ прямая $y =at$ касается части параболы, лежащей выше прямой $y = t+1,$ то есть не принадлежащей множеству $S,$ так как точка касания ищется по формуле $8−-a t0 = 2 .$ При $a= 14$ прямая касается нужной нам части параболы. Следовательно, подходит $a = 14.$

Тогда исходная система имеет ровно два различных решения при

[ ) a ∈ 6 ; 3 ∪ {1;14} 5 2

Способ 2. Алгебраический

Подставим $y = ax+ a$ в первое уравнение. Так как замена линейная, то полученное уравнение относительно $x$ должно иметь 2 решения:

(x2− 6x+ ax +a +2)√x-−-ax-−-a+-2= 0 (⌊ || x2+ (a − 6)x +a +2 = 0 |{⌈ || (1− a)x = a− 2 |((1− a)x≥ a− 2

$a > 1$

Тогда система равносильна

(|⌊ 2 |||{|⌈ x + (a − 6)x+ a +2 = 0 x= x1 = a-−-2 ||||( 1 − a x ≤ x1

Число $x= x1$ при любом $a$ является решением системы. Следовательно, квадратное уравнение либо должно иметь 1 корень, меньший $x1,$ либо два корня, причем ровно один из них меньше $x1,$ а второй соответственно $≥ x1.$

Дискриминант квадратного уравнения $D = (a − 2)(a− 14).$ Абсцисса вершины параболы $2 f = x + (a− 6)x+ a+ 2$ равна $6−a x0 = 2 .$

Если $D = 0,$ то $a = 2;14.$ При $a = 2$ получаем $x0 =2,$ $x1 = 0$ — не подходит. При $a= 14$ получаем $x0 = −4,$ $x1 = − 12 13$ — подходит.

Если $D > 0,$ то $a < 2$ или $a> 14.$ Ветви параболы $f = x2+ (a− 6)x +a + 2$ направлены вверх, она пересекает ось абсцисс в двух точках. Значит, число $x1$ должно находиться между корнями или совпадать с большим корнем:

$x1$

Это задается следующими условиями:

(| ⌊({ (| ⌊(| (2a-− 3)(5a−-6) |||| | f(x1)= 0 |||| ||{ (a− 1)2 = 0 ||||{ ||⌈( x0 < x1 ||||{ ||||| 6− a a− 2 f (x )< 0 ⇔ ||( -2--< 1−-a ||| 1 ||| ⌈(2a−-3)(5a−-6) ||||| D > 0 ||||| (a− 1)2 < 0 |( a> 1 |( a∈ (1;2)∪(14;+∞ )

Отсюда получаем

6 3 5 ≤ a< 2

Следовательно, в этом случае получаем $6≤ a < 3 5 2$ или $a= 14.$

$a < 1$

Тогда система равносильна

(⌊ 2 ||||{| x + (a − 6)x+ a +2 = 0 ⌈ x= x = a-−-2 |||| 1 1 − a (x ≥ x1

Число $x = x 1$ при любом $a$ является решением системы. Следовательно, квадратное уравнение либо должно иметь 1 корень, больший $x1,$ либо два корня, причем ровно один из них больше $x1,$ а второй соответственно $≤ x1.$

Дискриминант квадратного уравнения $D = (a − 2)(a− 14).$ Абсцисса вершины параболы $2 f = x + (a− 6)x+ a+ 2$ равна $6−a x0 =-2-.$

Если $D = 0,$ то $a= 2;14.$ Но эти $a$ не удовлетворяют условию $a< 1.$

Если $D > 0,$ то $a < 2$ или $a> 14.$ Учитывая, что $a< 1,$ рассматриваем только $a< 1.$ Тогда $x1 < 0,$ а $x0 > 0.$ Следовательно, $x1 < x0.$ Следовательно, число $x1$ может находиться разве что между корнями, либо совпадать с меньшим корнем. Получаем такую картинку:

$xx10$

Это задается условием

f(x1)≤ 0 ⇒ (2a−-3)(5a−2-6)≤ 0 (a− 1)

Отсюда получаем

6 ≤ a≤ 3 5 2

Эти значения не удовлетворяют условию $a< 1.$

Следовательно, в этом случае подходящих значений параметра нет.

$a = 1$

Тогда система равносильна

( ⌊ |||{ ⌈x2 − 5x +3 = 0 √-- 0 ⋅x= −1 ⇔ x= 5±--13- |||( 2 0⋅x ≥− 1

Следовательно, $a= 1$ нам подходит.

Тогда исходная система имеет ровно два различных решения при

[ ) a ∈ 6 ; 3 ∪ {1;14} 5 2

Ответ:

$[ ) a ∈ 6 ; 3 ∪ {1;14} 5 2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет	3

С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения,	2
ИЛИ
в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений

В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений,	1
ИЛИ
в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#63285

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система уравнений

({ √--------- (xy − 2x +16) y − 2x +16 =0 ( y = ax− 14

имеет ровно два различных решения.

Источник: ЕГЭ 2023, основная волна

Показать ответ и решение

Способ 1. Графический

Система равносильна

⌊ (|| y = 2 − 16 |||| |⌈ x |{ y = 2x − 16 || ||||| y ≥ 2x− 16 ( y = ax− 14

Сделаем замену $y + 14 = p.$ Тогда система примет вид

( ⌊ ( ) ||| p = 16 1− 1 |||| |⌈ x { p = 2x− 2 ||| p≥ 2x− 2 ||||( p= ax

Пусть $S$ — множество точек плоскости $xOp,$ лежащих либо на части гиперболы $p = 16 (1 − 1x),$ лежащей выше прямой $p = 2x − 2,$ либо на прямой $p =2x − 2.$

Необходимо найти те $a,$ при которых прямая $p = ax,$ проходящая через начало координат плоскости $xOp,$ имеет ровно две точки пересечения с множеством $S.$

Найдем точки пересечения гиперболы $( 1) p = 16 1 − x$ и прямой $p = 2x − 2:$

( 1 ) 2 16 1− x = 2x− 2 ⇔ x − 9x +8 = 0 ⇔ x= 1;8

Получаем точки $(1;0)$ и $(8;14).$

Изобразим граничные положения прямой $p = ax:$

$( 1) xppp11118(((((==4612345)))))126x−1−2 x$

Нам подходят все $a <0$ (положение 5). При $a> 0$ нам подходят все положения между 4 (когда $p= ax$ горизонтальна) и 3 (когда $p = ax$ проходит через точку $(8;14)$ ), положение 2 (когда $p= ax$ параллельна прямой $p =2x − 2$ ), а также положение 1 (когда $p= ax$ касается гиперболы), если в положении 1 параметр $a ⁄= 2.$

п. (1): Прямая $p= ax$ — касательная к графику $p= 16(1− 1) x$ в точке $x,$ если $(| ( 1) ( |{16 1− x = ax {x = 2 ||16 ⇔ ( (x2 = a a = 4$
п. (2): Прямая $p= ax$ параллельна прямой $p= 2x− 2:$ $a =2$
п. (3): Прямая $p= ax$ проходит через точку $(8;14),$ если $7 14= 8a ⇔ a= 4$
п. (4): $a= 0.$
п. (5): $a< 0.$

Следовательно, ответ

( ] a∈ (−∞; 0)∪ 0; 7 ∪{2;4} 4

Способ 2. Алгебраический

Подставим $y = ax− 14$ в первое уравнение. Так как замена линейная, то полученное уравнение относительно $x$ должно иметь 2 решения:

(| ⌊ 2 √-------------- ||{ ⌈ax − 16x+ 16= 0 (x(ax − 14)− 2x+ 16) ax− 14− 2x+ 16= 0 ⇔ (a− 2)x= −2 |||( (a− 2)x ≥ −2

$a > 2$

Тогда система равносильна

(| ⌊ 2 |||{ |⌈ax − 16x+ 16= 0 x = x1 = −-2- ||||( a − 2 x≥ x1

$x= x1$ при любом $a$ является решением системы. Следовательно, квадратное уравнение либо должно иметь 1 корень, больший $x, 1$ либо два корня, причем ровно один из них больше $x1$ (а второй соответственно $≤ x1$ ).

Дискриминант квадратного уравнения $2 D = 8(4− a).$ Абсцисса вершины параболы $2 f = ax − 16x+ 16$ равна $8 x0 = a.$

Если $D = 0,$ то есть $a = 4,$ то единственный корень квадратного уравнения равен $x= x . 0$ Необходимо, чтобы $x >x . 0 1$ Это выполнено. Значит, $a = 4$ нам подходит, так как оно также удовлетворяет $a > 2.$

$a = 2$

Тогда система равносильна

(⌊ ||| x2− 8x + 8= 0 {⌈ √ - || 0⋅x= −2 ⇔ x = 4± 2 2 |(0⋅x ≥ −2

Следовательно, $a= 2$ нам подходит.

$0 <a < 2$

Тогда система равносильна

( ⌊ |||{ ⌈ax2− 16x+ 16= 0 x = x1 |||( x≤ x1

Заметим, что $D > 0,$ следовательно, квадратное уравнение имеет два корня. Значит, требуется, чтобы один корень был $< x , 1$ а второй $≥ x1.$

Ветви параболы $f = ax2− 16x +16$ направлены вверх, она пересекает ось абсцисс в двух точках. Значит, число $x1$ должно находиться между корнями или совпадать с большим корнем:

$x1$

Это задается следующими условиями:

(|⌊ (|a(4a−-7) (| ⌊({ f(x )= 0 |||||| ||{ (a− 2)2 = 0 ||||| || 1 ||||||| |8 2 { |⌈( x0 < x1 ⇔ {|| ||(a < −a-−-2 ⇔ 0 < a≤ 7 ||| f(x1)< 0 ||||⌈ a(4a − 7) 4 |||( |||| (a−-2)2-< 0 0< a< 2 |||( 0< a < 2

$a = 0$

Тогда система равносильна

( ⌊ |||{ ⌈x = 1 x = 1 ⇔ x= 1 |||( x≤ 1

Следовательно, $a= 0$ нам не подходит.

$a < 0$

Тогда система равносильна

(| ⌊ 2 ||{ ⌈ax − 16x+ 16= 0 | x = x1 ||( x≤ x1

Заметим, что $D > 0,$ следовательно, квадратное уравнение имеет два корня. Значит, требуется, чтобы один корень был $<x1,$ а второй $≥ x1.$

Ветви параболы $2 f = ax − 16x +16$ направлены вниз, она пересекает ось абсцисс в двух точках. Значит, число $x1$ должно находиться между корнями или совпадать с большим корнем:

$x 1$

Это задается следующими условиями:

( ⌊( a(4a− 7) (|⌊ ({ ||||| ||||{ -(a-− 2)2-= 0 ||||| f (x1)= 0 |||| || 8 2 |{||⌈ (x0 < x1 |{ ||||||( a < −a-− 2 || f(x) >0 ⇔ || |⌈ ⇔ a < 0 ||||( 1 ||||| a(4a−-72)->0 a < 0 |||( (a− 2) a< 0

Следовательно, ответ

( 7] a∈ (−∞; 0)∪ 0;4 ∪{2;4}

Ответ:

$( ] a ∈(−∞; 0)∪ 0; 7 ∪ {2;4} 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#63284

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система

( {(xy− x +7)(y− x+ 7)= 0 ( y = 3x+ a

имеет ровно два различных решения.

Источник: ЕГЭ 2023, основная волна, Дальний восток

Показать ответ и решение

Способ 1. Графический

Система равносильна

(⌊ || y = 1− 7 ||{|⌈ x | y = x− 7 |||( y = 3x + a

Заметим, что при любом $a$ прямые $y = x − 7$ и $y = 3x+ a$ пересекаются. Назовем эту точку $O.$ Следовательно, нам подойдут те значения параметра $a,$ при которых прямая $y = 3x +a$ находится в таком положении, что имеет:

1) ровно одну точку пересечения с гиперболой $y = 1 − 7, x$ причем эта точка не совпадает с точкой $O;$

2) ровно две точки пересечения с гиперболой $y = 1 − 7x,$ причем одна из них — это точка $O.$

Изобразим подходящие положения прямой $y = 3x+ a:$

$7 yy(1(2(3(4 = =)))) 1x−− x7$

Положения (1) и (2) — прямая $y = 3x+ a$ касается гиперболы $y =1 − 7x.$ Найдем, при каких $a$ это происходит.

( ( ||{ x−-7-= 3x+ a ||{a = x−-7−-3x2 x ⇔ x ||( -7 =3 ||(x2 = 7 x2 3

При $∘ 7- x= 3$ получаем $√ -- a =1 − 2 21,$ при $∘ 7- x= − 3$ получаем $√ -- a = 1+ 2 21.$

Следовательно, положению (1) соответствует $√-- a = 1+ 2 21,$ а положению (2) соответствует $a= 1 − 2√21.$

Положения (3) и (4) — когда $y = 3x +a$ проходит через одну из двух точек пересечения гиперболы $7 y = 1− x$ и прямой $y = x − 7.$ Найдем для начала эти точки:

⌊ ⌊ x-− 7-= x− 7 ⇔ ⌈ x− 7= 0 ⇔ ⌈ x= 7 x x= 1 x= 1

Следовательно, получаем точки $A (1;− 6)$ и $B (7;0).$

Положение (3): прямая $y = 3x+ a$ проходит через $A :$

−6 = 3+ a ⇔ a= −9

Положение (4): прямая $y = 3x+ a$ проходит через $B :$

0= 21+ a ⇔ a =− 21

Ответ:

a ∈ {−21;−9;1− 2√21;1+ 2√21-}

Способ 2. Алгебраический

⌊ 2 2 |3x + (a− 1)x + 7= 0 (3x + (a− 1)x +7)(2x+ a+ 7)= 0 ⇔ ⌈ a-+7 x = − 2

Назовем корень $− a+72-$ числом $x1.$

Полученная совокупность будет иметь 2 решения, если:

1) квадратное уравнение имеет одно решение, то есть $D = 0,$ причем это решение не совпадает с $x1;$

2) квадратное уравнение имеет 2 решения, то есть $D > 0,$ причем одно из этих решений совпадает с $x1.$

Найдем $D = (a − 1)2− 84.$ Найдем также абсциссу вершины параболы $g = 3x2 +(a− 1)x+ 7$ — это $x = 1−a. 0 6$

Тогда первый случай задается условиями

({ D =0 ⇔ a= 1± 2√21 ( x0 ⁄= x1

Второй случай задается условиями

( {D > 0 ( ⇔ a= − 21;− 9 g(x1)= 0

Ответ:

{ √-- √ --} a ∈ −21;−9;1− 2 21;1+ 2 21

Ответ:

$a ∈{− 21;− 9;1 − 2√21;1 +2√21}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#63283

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система уравнений

({ √ -------- (xy − x + 8) ⋅ y− x+ 8 =0 ( y = 2x+ a

имеет ровно два различных решения.

Источник: ЕГЭ 2023, основная волна, Дальний восток

Показать ответ и решение

Способ 1. Графический

Система определена при $y− x+ 8≥ 0.$ На этой области определения первое уравнение системы равносильно совокупности

⌊ ⌈y = x− 8 y = 1− 8x (при x= 0 получается неверное равенство 0= 8)

В координатах $xOy$ получаем прямую и гиперболу в области $y ≥ x− 8.$

Второе уравнение задаёт прямую с угловым коэффициентом 2, у которой параметр $a$ отвечает за сдвиг вверх-вниз по вертикальной оси.

Точка пересечения прямых $y = 2x+ a$ и $y =x − 8$ при каждом фиксированном $a$ является решением системы. Поэтому ровно 2 решения система будет иметь, если прямая $y = 2x+ a$ касается одной из веток гиперболы, либо пересекает правую ветку гиперболы один раз в области выше прямой $y =x − 8,$ а второй раз в области ниже прямой $y = x − 8.$

Рассмотрим ключевые положения и посчитаем значения параметра в каждом из них.

$yy(3(4(1(2 = =)))) 1x−− 8x8$

Положения 1 и 2. Прямая $y = 2x+ a$ касается гиперболы $y =1 − 8, x$ если уравнение

2x +a = 1− 8 ⇔ 2x2 +(a− 1)x+ 8= 0 x

имеет ровно одно решение. Квадратное уравнение имеет ровно одно решение, если его дискриминант $(a − 1)2− 4⋅2⋅8$ равен нулю:

a − 1 = ±8 ⇔ a ∈{− 7;9}

Гипербола $y = 1−-8 x$ пересекается с прямой $y = x− 8$ при

x− 8 =1 − 8 ⇔ x2− 8x =x − 8 ⇔ x2− 9x+ 8= 0. x

Получаем $x = 1,$ $y = − 7$ и $x= 8,$ $y = 0.$

Найдем значения параметра, при которых прямая $y = 2x+ a$ проходит через эти точки.

Положение 3: $− 7= 2+ a ⇔ a =− 9.$

При этом значении параметра решением системы является точка $(1;−7)$ и вторая точка пересечения гиперболы с прямой $y = 2x+ a,$ которая находится в пределах области выше прямой $y = x− 8.$ Всего будет два решения системы, так что это значение параметра нам подходит.

Положение 4: $0= 16+ a ⇔ a= − 16.$

При этом значении параметра решением системы является точка $(8;0),$ а вторая точка пересечения гиперболы с прямой $y = 2x+ a$ находится в пределах области ниже прямой $y = x− 8.$ Всего будет одно решение системы, так что это значение параметра нам не подходит.

Тогда окончательно имеем $a ∈(−16;−9]∪ {−7}∪ {9}.$

Способ 2. Алгебраический

Так как замена $y = 2x +a$ линейная, то система будет иметь 2 решения в том случае, если первое уравнение системы после подстановки $y =2x +a$ будет иметь 2 решения:

(⌊ |||{⌈ 2x2+ (a − 1)x+ 8 =0 x= − a− 8 |||( x ≥ −a− 8

Назовем корень $− a − 8$ числом $x1.$ Заметим, что $x1$ при любом $a$ является решением полученной системы. Следовательно, эта система имеет два решения, если:

1) квадратное уравнение имеет одно решение $x , 0$ то есть $D =0,$ причем $x0 >x1;$

2) квадратное уравнение имеет два решения, то есть $D > 0,$ причем меньший из этих двух корней $≤ x1,$ а больший $> x1.$

Найдем $D = (a − 1)2− 82.$ Найдем абсциссу вершины параболы $g = 2x2 +(a− 1)x+ 8$ — это $x0 = 1−a. 4$

Следовательно, для первого случая получаем

({ ({ D = 0 ⇔ a= −7;9 ⇔ a= − 7;9 ( x0 > x1 ( a> −11

Второй случай выполняется, если парабола $g = 2x2+ (a− 1)x +8$ пересекает ось абсцисс в двух точках, причем число $x1$ лежит между этими точками либо совпадает с левой точкой:

$x1$

Эта картинка задается следующими условиями:

(| (| |||| D⌊(> 0 ||||a⌊ ∈((−∞; −7)∪ (9;+∞ ) |{ |{ g(x1)= 0 |{| {a =− 16;− 9 || ||( x > x ⇔ |||| (a >− 11 ⇔ − 16 < a≤ −9 ||||( ⌈ 0 1 ||||(⌈ g(x1)< 0 (a +16)(a+ 9) < 0

Следовательно, ответ

a∈ (− 16;− 9]∪ {−7}∪ {9}

Ответ:

$a ∈(−16;−9]∪ {−7}∪ {9}$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но есть недостаток в обосновании	3

С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения,	2
ИЛИ
в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений

В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений,	1
ИЛИ
в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#58737

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

√----- √----- x − asinx = − x − acosx

имеет ровно одно решение на отрезке $[0;π].$

Источник: ЕГЭ 2023, досрочная волна

Показать ответ и решение

Перенесем все слагаемые в левую часть:

√----- x − a ⋅(sinx+ cosx)= 0

Исходное уравнение имеет один корень на отрезке $[0;π],$ если имеет единственное решение система

( ⌊ ||||| ⌈x− a =0 { sin x+ cosx = 0 ||| x− a≥ 0 ||( 0≤ x ≤π (|| ⌊x1 = a |||| ⌈ 3π { x2 =-4 + πn, n ∈Z ||| x≥ a |||( 0≤ x ≤π

Назовем «ОДЗ» решение системы

( {x ≥a (0 ≤x ≤ π

Заметим, что из серии предполагаемых корней $x2$ в отрезок $[0;π ]$ попадает только предполагаемый корень $x2 = 3π. 4$

Следовательно, найдем, при каких значениях $a$ будет иметь одно решение система

( ⌊ |||| x1 = a ||{ ⌈x = 3π | 2 4 |||| x≥ a |( 0≤ x ≤π

Назовем число хорошим, если оно удовлетворяет «ОДЗ», в противном случае будем называть число плохим. Нам необходимо, чтобы ровно одно из чисел $x1,$ $x2$ было хорошим.

$x1$ — хорошее, если

0 ≤ a≤ π

$x2$ — хорошее, если

a ≤ 3π 4

Таким образом, имеем:

1.: $x1$ — хорошее, $x2$ — плохое, если ${ 0 ≤ a≤ π ⇔ 3π < a≤ π a > 34π 4$
2.: $x1$ — плохое, $x2$ — хорошее, если $[ (|{ a< 0 a> π ⇔ a< 0 |( a≤ 3π 4$
3.: $x1 = x2,$ если $3π a = 4-,$ и тогда исходное уравнение имеет ровно один корень.

Тогда исходное уравнение имеет ровно одно решение на указанном отрезке при

[3π ] a∈ (− ∞;0)∪ 4-;π

Ответ:

$[ ] a ∈(−∞; 0)∪ 3π;π 4$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

С помощью верного рассуждения получено множество значений $a,$ отличающееся от искомого только включением/исключением точек $a =0,$ $a = 3π 4$ и/или $a= π$	3

В решении верно найдены корни $x= a$ при $a∈ℝ$ и $x = 3π4-+ πk$ при $3π a ≤-4 +πk,$ $k∈ ℤ,$ возможно, с учётом принадлежности корней указанному отрезку: $x =a$ при $0 ≤a ≤π,$ $x= 3π 4$ при $a≤ 3π- 4$	2
ИЛИ
верно пройдены все этапы решения, но неверно найдены граничные точки множества значений $a$ из-за вычислительной ошибки

В решении верно найден один из корней $x =a$ при $a ∈ℝ$ или $x = 3π4-+πk$ при $a ≤ 3π4 +πk,$ $k∈ ℤ,$ возможно, с учётом принадлежности корней указанному отрезку: $x =a$ при $0 ≤a ≤π,$ $3π x= 4$ при $a≤ 3π- 4$	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#57009

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых уравнение

√----- ( 2 2) √----- 1 − 2x ⋅ln 25x − a = 1 − 2x ⋅ln(5x− a)

имеет ровно один корень.

Источник: ЕГЭ 2023, досрочная волна

Показать ответ и решение

Преобразуем уравнение

√1-−-2x ⋅(ln(25x2− a2) − ln(5x − a)) =0 ⇔ ⌊ (√ ----- | |{ 1− 2x= 0 || |25x2− a2 > 0 || ({5x(− a > 0 ) ⇔ |⌈ ln 25x2− a2 − ln(5x − a)= 0 1− 2x ≥0 ⌊ ( 1 | ||{x = 2 || |5x +a > 0 || |(5x − a > 0 || (|ln(5x − a) +ln(5x + a) − ln(5x − a) =0 ⇔ ||| |||{5x +a > 0 || ⌈ ||||5x − a1 > 0 (x ≤ 2 ⌊ (| 1 || |{x1 = 2 || ||5x +a > 0 || ((5x − a > 0 || |||x2 = 1−-a || { 5 |⌈ |||5x − a1 > 0 (x ≤ 2

Назовем число хорошим, если оно удовлетворяет всем условиям, находящимся с ним в системе. В противном случае будем называть число плохим. В такой терминологии нам подходят ситуации, когда среди предполагаемых решений совокупности ровно одно хорошее. Определим, когда каждое из чисел $x1$ и $x2$ хорошее.

$x1$ — хорошее, если

( |{5 + a> 0 5 5 |25 ⇔ − 2 < a < 2 (2 − a> 0

$x2$ — хорошее, если

( { 1− a− a> 0 3 1 ( 1−-a 1 ⇔ − 2 ≤a < 2 5 ≤ 2

$x1$ — хорошее, а $x2$ — плохое, если

( ( ) ||{a ∈ − 52; 52 ( ) [ ) ( ) [ ) ⇔ a ∈ − 5;− 3 ∪ 1; 5 ||(a ∈ −∞;− 3 ∪ 1;+∞ 2 2 2 2 2 2

$x 2$ — хорошее, а $x 1$ — плохое, если

( ( ] [ ) || a∈ − ∞;− 5 ∪ 5;+∞ { [ )2 2 ⇔ a∈ ∅ ||( a∈ − 3; 1 2 2

$x1$ и $x2$ совпадают и оба при этом хорошие, если

( |{ 1 = 1−-a 2 5 ⇔ a= − 3 |( − 3≤ a< 1 2 2 2

Объединяя полученные значения параметра, получаем окончательно

( 5 3] [1 5) a∈ − 2;− 2 ∪ 2;2

Ответ:

$( ] [ ) a ∈ − 5;− 3 ∪ 1; 5 2 2 2 2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет	3

С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения	2
ИЛИ
в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений

В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений	1
ИЛИ
в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#56125

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

√ ----- 2 2 5x− 7⋅ln(x − 6x +10− a )= 0

имеет ровно один корень на отрезке $[0;3].$

Источник: ЕГЭ 2023, досрочная волна

Показать ответ и решение

На отрезке $[0;3]$ уравнение равносильно

⌊({ 7 ⌊(|{√5x-−-7= 0 | x1 = 5 || 0 ≤ x≤ 3 |||(( a2 < (x− 3)2+ 1 |||(x2 − 6x +10 − a2 >0 ||{ x2 = 3+ a ||( 2 2 ⇔ ||( 7 |||{x − 6x +10 − a =1 ||( 5 ≤x ≤ 3 ⌈|(5x − 7 ≥ 0 ||{ x3 = 3− a 0 ≤ x≤ 3 ⌈( 7 ≤x ≤ 3 5

$x1$ — хорошее, если

-- -- 2 89 √89- √-89 a < 25 ⇔ − 5 < a< 5

$x2$ — хорошее, если

7 ≤ 3+ a≤ 3 ⇔ − 8≤ a ≤0 5 5

$x3$ — хорошее, если

7 8 5 ≤3 − a ≤ 3 ⇔ 0≤ a≤ 5

Теперь рассмотрим подходящие нам комбинации.

$x1$ — хорошее, $x2,$ $x3$ — плохое:

( √-- √ -- |||− -89-< a< --89 ||||⌊ 5 5 ||||{ a< − 8 ( √-- ) ( √--) ⌈ 5 ⇔ a∈ − -89;− 8 ∪ 8;-89- ||||⌊ a> 0 5 5 5 5 |||| a< 0 |||(⌈ 8 a> 5

$x 2$ — хорошее, $x , 1$ $x 3$ — плохие:

( ⌊ √-- ||| a≤ − -89- |||| || √ -5 ||||| ⌈ --89 |{ a≥ 5 || − 8 ≤ a≤ 0 ⇔ a∈ ∅ |||| ⌊5 |||| ⌈a< 0 |||( a> 8 5

$x3$ — хорошее, $x1,$ $x2$ — плохое:

( ⌊ √-- |||| |a≤ − -89- |||| |⌈ √ -5 |||{ a≥ --89 ⌊ 58 ⇔ a∈ ∅ |||| ⌈a< − 5 ||||| a> 0 ||( 0≤ a≤ 8 5

$x1 = x2$ — хорошее, $x3$ — плохое:

( ||||7 = 3+ a ||||5 8 |{− 5 ≤ a ≤ 0 8 ||⌊ ⇔ a= − 5 |||||⌈a < 0 ||( a > 8 5

$x1 = x3$ — хорошее, $x2$ — плохое:

(|| 7= 3 − a |||| 5⌊ |{ a< − 8 8 || ⌈ 5 ⇔ a= 5 ||||| a> 0 ( 0≤ a≤ 8 5

$x2 = x3$ — хорошее, $x1$ — плохое:

(|3 + a= 3− a |||||⌊ √89- ||{| a≤ −--5- ||⌈ √ -- ⇔ a∈ ∅ |||| a≥ --89- |||(− 8 ≤a5≤ 0 5

Тогда исходное уравнение имеет ровно один корень на указанном отрезке при

( √ -- ] [ √ --) a ∈ −--89;− 8 ∪ 8;--89 5 5 5 5

Ответ:

$( √ -- ] [ √ --) a ∈ −--89;− 8 ∪ 8;--89 5 5 5 5$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет	3

С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения	2
ИЛИ
в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений

В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений	1
ИЛИ
в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#56124

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

√----- √ ----- 4x− 3⋅ln(5x − a)= 4x− 3⋅ln(6x+ a)

имеет ровно один корень на отрезке $[0;1].$

Источник: ЕГЭ 2023, досрочная волна

Показать ответ и решение

Уравнение на отрезке $[0;1]$ равносильно

⌊ ( |{√4x-−-3= 0 || 5x− a >0 {√ ----- || |(6x+ a >0 4x− 3⋅(ln(5x− a)− ln(6x + a))= 0 ⇔ ||| (ln(5x − a)= ln(6x + a) 0 ≤x ≤ 1 || |||{ || 5x− a >0 ⌈ |||(0 ≤x ≤ 1 4x− 3 ≥0

После преобразований получаем следующую совокупность:

⌊( ||x1 = 3 ||{ 4 ||||(a < 5x |||(a > −6x ||||{x2 = −2a |⌈ a < 5x ||( 3≤ x≤ 1 4

Назовем число хорошим, если оно удовлетворяет всем условиям, находящимся с ним в системе. В противном случае будем называть число плохим.

Найдем $a,$ при которых число $x1$ — хорошее:

( |{a < 5⋅ 3 9 15 | 4 ⇔ −2 < a< -4 (a > −6⋅ 34

Найдем $a,$ при которых число $x2$ — хорошее:

({ 3 4 ≤ −2a ≤1 ⇔ − 1 ≤ a≤ − 3 (a < 5⋅(− 2a) 2 8

В таком случае нам подходят ситуации, когда $x1$ — хорошее, $x2$ — плохое, или наоборот, а также ситуация, когда $x1 = x2$ — хорошее.

$x 1$ — хорошее, а $x 2$ — плохое, если

( |||− 9 < a< 15 ||{⌊ 2 4 ( ) ( ) | a< − 1 ⇔ a ∈ − 9;− 1 ∪ − 3; 15 |||||⌈ 2 2 2 8 4 ( a> − 38

$x2$ — хорошее, а $x1$ — плохое, если

(⌊ ||| a ≤ − 9 |{|⌈ 2 || a ≥ 145 ⇔ a ∈∅ ||(− 1≤ a ≤− 3 2 8

$x1 = x2$ — хорошее, если

( |{ 3= −2a 3 | 41 3 ⇔ a= −8 (− 2 ≤a ≤ −8

Тогда исходное уравнение имеет ровно один корень на указанном отрезке при

( ) [ ) 9 1 3 15 a∈ − 2;−2 ∪ −8; 4 .

Ответ:

$( ) [ ) a ∈ − 9;− 1 ∪ − 3; 15 2 2 8 4$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет	3

С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения	2
ИЛИ
в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений

В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений	1
ИЛИ
в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#56123

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

|4x|− x − 3− a ---x2− x-−-a-= 0

имеет ровно два различных решения.

Источник: ЕГЭ 2023, досрочная волна

Показать ответ и решение

Перепишем уравнение в виде системы

{ (| [ a = |4x|− x− 3 { a= 3x− 3, x ≥ 0 a ⁄= x2− x ⇔ |( a= −2 5x − 3, x< 0 a⁄= x − x

Будем рассматривать параметр $a$ как переменную. Построим в системе координат $xOa$ множество $S$ решений системы. Если некоторая точка плоскости с координатами $(x0;a0)$ принадлежит этому множеству $S,$ то для исходной задачи это означает, что если параметр $a$ принимает значение $a0,$ то $x0$ будет одним из решений системы. Нас просят найти все такие значения $a0$ параметра $a,$ при каждом из которых ровно две из точек вида $(x0;a0)$ , где $x0 ∈ ℝ,$ принадлежат множеству решений $S,$ изображенному на плоскости $xOa.$ Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая $a= a0$ имеет ровно две точки пересечения с множеством $S$ .

Решением совокупности на плоскости $xOa$ является объединение двух лучей, а решением уравнения $2 a= x − x$ является парабола. Следовательно, множеством $S$ на плоскости $xOa$ будет являться множество точек эти лучей за исключением тех точек параболы $a= x2− x,$ которые являются точками пересечения параболы и этих лучей.

Найдем точки пересечения луча $a= 3x− 3,$ $x≥ 0,$ и параболы $a = x2− x :$

(|{ a= x2− x (|{ x2− x= 3x− 3 a= 3x− 3 ⇔ x≥ 0 ⇔ A (1;0),B (3;6). |( x≥ 0 |( a= 3x− 3

Найдем точки пересечения луча $a= −5x− 3,$ $x < 0,$ и параболы $a= x2− x:$

( ( |{ a= x2− x |{ x2− x= − 5x − 3 | a= −5x− 3 ⇔ | x< 0 ⇔ C(−1;2),D (− 3;12). ( x< 0 ( a= − 5x − 3

Изобразим множество $S$ на плоскости $xOa$ (получим множество всех точек двух лучей с выколотыми точками $A,B, C,D$ ):

$xaABCD−261−−133231$

Таким образом, горизонтальная прямая $a= a0$ пересекает множество $S$ в двух точках, если $a0 > − 3$ и $a0 ⁄= 0;2;6;12.$ Следовательно, ответ

a∈ (−3;0)∪(0;2)∪(2;6)∪ (6;12)∪ (12;+∞ ).

Ответ:

$a ∈(−3;0)∪ (0;2)∪(2;6)∪(6;12) ∪(12;+ ∞)$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#65523

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых уравнение

∘ -2------- √----- x + 6x + 8= x +a

имеет корни (хотя бы один), ровно один из которых отрицательный.

Источник: ЕГЭ 2023, резервная волна

Показать ответ и решение

Уравнение равносильно системе

{ 2 x2+ 5x +8 − a = 0 x + 6x +8 ≥0

Множество решений неравенства назовем областью $U.$ Это $x ∈(−∞; −4]∪[−2;+∞ ).$ Решением исходного уравнения будут те корни уравнения системы, которые лежат в $U.$

Найдем дискриминант уравнения системы: $D = 4a− 7.$ Абсцисса вершины параболы $y = x2+ 5x+ 8− a$ — это $x0 = − 52.$ Если $D = 0,$ то $x= x0$ — единственный корень этого уравнения. Заметим, что $x0 ∕∈ U,$ следовательно, этот случай нам не подходит.

Рассмотрим случай $D > 0.$ Тогда парабола $2 y = x + 5x+ 8− a$ пересекает ось абсцисс в двух точках $x1 < −2,5$ и $x2 > − 2,5,$ а ее ветви направлены вверх.

$xx−122,5$

Так как $x1 < − 2,5,$ то если $x1 ∕∈ U,$ то есть $x1 >− 4,$ то необходимо, чтобы $x2 ∈U$ и $x2 < 0,$ то есть $x2 ∈[−2;0).$ Это задается следующей картинкой:

$xx−−−012242,5$

Такая картинка задается следующей системой:

( ||| D >0 { y(− 4) >0 || y(− 2) ≤0 ⇔ a∈ [2;4) |( y(0)> 0

Если же $x1 ∈U,$ то $x1$ и есть тот отрицательный корень, которым должен быть у уравнения единственным. Следовательно, необходимо, чтобы $x2 ≥ 0.$ Это задается следующей картинкой:

$xx−−01224,5$

Такая картинка задается следующей системой:

( |{D > 0 y(−4)≤ 0 ⇔ a ∈ [8;+∞ ) |(y(0)≤ 0

Следовательно, ответ

a∈ [2;4)∪ [8;+∞ )

Ответ:

$a ∈[2;4)∪ [8;+ ∞)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#65522

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система

{ 2 2 2 2 x + |x +2x|= y + |y +2y| x+ y =a

имеет более двух решений.

Источник: ЕГЭ 2023, резервная волна, Москва

Показать ответ и решение

Так как $x2 +2x = x(x +2),$ то нули подмодульных выражений: $x= − 2$ и $x = 0$ для первого и $y =− 2$ и $y =0$ для второго. Эти четыре прямые разбивают плоскость $xOy$ на 9 областей, в которых каждый из двух модулей раскрывается с определенным знаком. Рассмотрим эти области, обозначив каждую как « $∗∗$ », где $∗$ — один из знаков $+$ или $−$ , причем первый знак отвечает за первый модуль, а второй знак отвечает за второй модуль.

$xy11++++++−−−++++−−++−$

Рассмотрим первое уравнение в каждой из областей.

$++$ :: $x2+ x2+ 2x = y2+ y2+ 2y ⇔ (x − y)(x+ y+ 1)= 0 ⇔ y = x, y = −x − 1;$
$+−$ :: $2 2 2 2 x + x + 2x = y − y − 2y ⇔ y = −x(x+ 1);$
$− +$ :: $2 2 2 2 x − x − 2x = y + y + 2y ⇔ x= −y(y+ 1);$
$− −$ :: $2 2 2 2 x − x − 2x = y − y − 2y ⇔ y = x.$

Тогда получаем следующий график первого уравнения:

$xy11((12))$

(1) и (2) — граничные положения прямой $y = −x + a,$ задаваемой вторым уравнением исходной системы. Все $a,$ соответствующие положениям этой прямой между (1) и (2), включая (1), нам подходят. Положению (1) соответствует $a= − 1,$ положению (2) соответствует $a =0.$ Следовательно, ответ

a ∈[−1;0)

Ответ:

$a ∈[−1;0)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#65521

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система

{ 2 2 2 2 x + x+ |x − x − 2|= y + y+ |y − y− 2| x+ y = a

имеет более двух решений.

Источник: ЕГЭ 2023, резервная волна, Москва

Показать ответ и решение

Так как $x2 − x − 2 = (x +1)(x− 2),$ то нули подмодульных выражений: $x =− 1$ и $x = 2$ для первого и $y =− 1$ и $y =2$ для второго. Эти четыре прямые разбивают плоскость $xOy$ на 9 областей, в которых каждый из двух модулей раскрывается с определенным знаком. Рассмотрим эти области, обозначив каждую как « $∗∗$ », где $∗$ — один из знаков $+$ или $−$ , причем первый знак отвечает за первый модуль, а второй знак отвечает за второй модуль.

$xy11++++++−−−++++−−++−$

Рассмотрим первое уравнение в каждой из областей.

$++$ :: $x2+ x+ x2− x− 2= y2+ y+ y2− y− 2 ⇔ y =±x;$
$+−$ :: $2 2 2 2 2 x + x+ x − x− 2= y + y− y + y+ 2 ⇔ y =x − 2;$
$− +$ :: $2 2 2 2 2 x + x− x + x+ 2= y + y+ y − y− 2 ⇔ x =y − 2;$
$− −$ :: $2 2 2 2 x + x− x + x+ 2= y + y− y + y+ 2 ⇔ y =x.$

Тогда получаем следующий график первого уравнения:

$xy11((12))$

(1) и (2) — граничные положения прямой $y = −x+ a,$ задаваемой вторым уравнением исходной системы. Все $a,$ соответствующие положениям этой прямой между (1) и (2), включая (2), нам подходят. Положению (1) соответствует $a = −2$ (так как прямая $y =− x+ a$ проходит через точку $(−1;−1)$ ), положению (2) соответствует $a= 0.$ Следовательно, ответ

a ∈(−2;0]

Ответ:

$a ∈(−2;0]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#65520

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых уравнение

∘ -2------- √ ----- x − 6x+ 8 = a− 3x

имеет корни (хотя бы один), ровно один из которых отрицательный.

Источник: ЕГЭ 2023, резервная волна

Показать ответ и решение

Уравнение равносильно

{ 2 { 2 x2 − 6x +8 = a− 3x ⇔ x − 3x+ 8 − a = 0 x − 6x +8 ≥ 0 x ∈(−∞; 2]∪[4;+∞ )

Исходное уравнение имеет корни, причем ровно один отрицательный, если полученное квадратное уравнение имеет ровно один отрицательный корень. Найдем дискриминант этого уравнения:

D = 4a− 23

Если $D = 0,$ то квадратное уравнение имеет единственный корень $x = x0 = 1,5.$ Он неотрицательный, следовательно, случай $D = 0$ нам не подходит.

Пусть $D > 0 ⇔ a > 243.$ Рассмотрим квадратичную функцию $y = x2− 3x + 8− a.$ Её графиком является парабола, ветви которой направлены вверх и которая пересекает ось абсцисс в двух точках: $x1 <1,5$ и $x2 >1,5.$

Заметим, что $x1 ∈(−∞; 2]∪[4;+ ∞),$ то есть при любом $23 a> 4$ является корнем исходного уравнения, причем только $x1$ может быть отрицательным (так как $x > 1,5 > 0 2$ ). Следовательно, необходимо, чтобы $x < 0, 1$ причем при выполнении этого требования нам неважно, каким будет $x2 :$ исходное уравнение уже точно будет иметь как минимум один корень и этот корень будет отрицательным.