Тема 18. Задачи с параметром
18.01 Задачи №18 из ЕГЭ прошлых лет
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи с параметром
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#65521

Найдите все значения параметра a,  при каждом из которых система

{  2      2          2       2
  x + x+ |x  − x − 2|= y + y+ |y − y− 2|
  x+ y = a

имеет более двух решений.

Источники: ЕГЭ 2023, резервная волна, Москва

Показать ответ и решение

Так как x2 − x − 2 = (x +1)(x− 2),  то нули подмодульных выражений: x =− 1  и x = 2  для первого и y =− 1  и y =2  для второго. Эти четыре прямые разбивают плоскость xOy  на 9 областей, в которых каждый из двух модулей раскрывается с определенным знаком. Рассмотрим эти области, обозначив каждую как «∗∗ », где ∗ — один из знаков +  или − , причем первый знак отвечает за первый модуль, а второй знак отвечает за второй модуль.

xy11++++++−−−++++−−++−

Рассмотрим первое уравнение в каждой из областей.

++  :

x2+ x+ x2− x− 2= y2+ y+ y2− y− 2  ⇔   y =±x;

+− :

 2      2         2      2                2
x + x+ x − x− 2= y + y− y + y+ 2  ⇔   y =x  − 2;

− +  :

 2      2         2      2                2
x + x− x + x+ 2= y + y+ y − y− 2  ⇔   x =y  − 2;

− − :

 2      2         2      2
x + x− x + x+ 2= y + y− y + y+ 2  ⇔   y =x.

Тогда получаем следующий график первого уравнения:

xy11((12))

(1) и (2) — граничные положения прямой y = −x+ a,  задаваемой вторым уравнением исходной системы. Все a,  соответствующие положениям этой прямой между (1) и (2), включая (2), нам подходят. Положению (1) соответствует a = −2  (так как прямая y =− x+ a  проходит через точку (−1;−1)  ), положению (2) соответствует a= 0.  Следовательно, ответ

a ∈(−2;0]
Ответ:

a ∈(−2;0]

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!