Сделаем замену Тогда система равносильна

Пусть — множество точек плоскости лежащих либо на части параболы лежащей ниже прямой либо на прямой

Необходимо найти те при которых прямая проходящая через начало координат плоскости имеет ровно две точки пересечения с множеством

Найдем точки пересечения параболы и прямой

Получаем точки и

Изобразим граничные положения прямой

Нам подходят положения 1 и 2, а также все положения между 3 и 4, включая 3.

п. (1)

Прямая касается параболы если уравнение

имеет единственное решение. Следовательно, его дискриминант

При прямая касается части параболы, лежащей выше прямой то есть не принадлежащей множеству (так как точка касания ищется по формуле ). При прямая касается нужной нам части параболы. Следовательно, подходит

п. (2)

Прямая параллельна прямой

п. (3)

Прямая проходит через точку

п. (4)

Прямая проходит через точку

Следовательно, ответ

Будем пользоваться той же заменой Подставим в первое уравнение. Так как замена линейная, то полученная система относительно должна иметь 2 решения:

Тогда система равносильна

Число при любом является решением системы. Следовательно, квадратное уравнение либо должно иметь 1 корень, меньший либо два корня, причем ровно один из них меньше (а второй соответственно ).

Дискриминант квадратного уравнения Абсцисса вершины параболы равна

Если то Но эти не удовлетворяют условию

Если то или Ветви параболы направлены вверх, она пересекает ось абсцисс в двух точках. Значит, число должно находиться между корнями или совпадать с большим корнем:

Это задается следующими условиями:

Следовательно, в этом случае получаем

Тогда система равносильна

при любом является решением системы. Следовательно, квадратное уравнение либо должно иметь 1 корень, больший либо два корня, причем ровно один из них больше (а второй соответственно ).

Дискриминант квадратного уравнения Абсцисса вершины параболы равна

Если то При получаем — не подходит. При получаем — подходит.

Если то или Тогда парабола пересекает ось абсцисс в двух точках и необходимо, чтобы число находилось между этими точками либо совпадало с левой точкой.

Получаем такую картинку:

Это задается следующими условиями:

В случае не получаем никаких значений параметра.

Получается, при нам подходит только

Тогда система равносильна

Следовательно, нам подходит.

Следовательно, ответ