Сделаем замену Тогда система равносильна

Пусть — множество точек плоскости лежащих либо на части параболы лежащей ниже прямой либо на прямой

Необходимо найти те при которых прямая проходящая через начало координат плоскости имеет ровно две точки пересечения с множеством

Найдем точки пересечения параболы и прямой

Получаем точки и

Изобразим граничные положения прямой

Нам подходят следующие положения.

Положение 1, при котором прямая параллельна прямой

Все положения между положением 2, когда прямая проходит через точку и положением 3, когда прямая проходит через точку включая положение 2.

Положение 4, когда прямая касается левой ветви параболы.

Выпишем соответствующие каждому положению значения параметра.

Положение 1. Так как угловые коэффициенты параллельных прямых равны, то

Положение 2. Прямая проходит через точку

Положение 3. Прямая проходит через точку

Положение 4. Прямая касается параболы если имеет единственное решение уравнение

Следовательно, его дискриминант

При прямая касается части параболы, лежащей выше прямой то есть не принадлежащей множеству так как точка касания ищется по формуле При прямая касается нужной нам части параболы. Следовательно, подходит

Тогда исходная система имеет ровно два различных решения при

 

Подставим в первое уравнение. Так как замена линейная, то полученное уравнение относительно должно иметь 2 решения:

Тогда система равносильна

Число при любом является решением системы. Следовательно, квадратное уравнение либо должно иметь 1 корень, меньший либо два корня, причем ровно один из них меньше а второй соответственно

Дискриминант квадратного уравнения Абсцисса вершины параболы равна

Если то При получаем — не подходит. При получаем — подходит.

Если то или Ветви параболы направлены вверх, она пересекает ось абсцисс в двух точках. Значит, число должно находиться между корнями или совпадать с большим корнем:

Это задается следующими условиями:

Отсюда получаем

Следовательно, в этом случае получаем или

Тогда система равносильна

Число при любом является решением системы. Следовательно, квадратное уравнение либо должно иметь 1 корень, больший либо два корня, причем ровно один из них больше а второй соответственно

Дискриминант квадратного уравнения Абсцисса вершины параболы равна

Если то Но эти не удовлетворяют условию

Если то или Учитывая, что рассматриваем только Тогда а Следовательно, Следовательно, число может находиться разве что между корнями, либо совпадать с меньшим корнем. Получаем такую картинку:

Это задается условием

Отсюда получаем

Эти значения не удовлетворяют условию

Следовательно, в этом случае подходящих значений параметра нет.

Тогда система равносильна

Следовательно, нам подходит.

Тогда исходная система имеет ровно два различных решения при