Система равносильна

Сделаем замену Тогда система примет вид

Пусть — множество точек плоскости лежащих либо на части гиперболы лежащей выше прямой либо на прямой

Необходимо найти те при которых прямая проходящая через начало координат плоскости имеет ровно две точки пересечения с множеством

Найдем точки пересечения гиперболы и прямой

Получаем точки и

Изобразим граничные положения прямой

Нам подходят все (положение 5). При нам подходят все положения между 4 (когда горизонтальна) и 3 (когда проходит через точку ), положение 2 (когда параллельна прямой ), а также положение 1 (когда касается гиперболы), если в положении 1 параметр

п. (1)

Прямая — касательная к графику в точке если

п. (2)

Прямая параллельна прямой

п. (3)

Прямая проходит через точку если

п. (4)

п. (5)

Следовательно, ответ

Подставим в первое уравнение. Так как замена линейная, то полученное уравнение относительно должно иметь 2 решения:

Тогда система равносильна

при любом является решением системы. Следовательно, квадратное уравнение либо должно иметь 1 корень, больший либо два корня, причем ровно один из них больше (а второй соответственно ).

Дискриминант квадратного уравнения Абсцисса вершины параболы равна

Если то есть то единственный корень квадратного уравнения равен Необходимо, чтобы Это выполнено. Значит, нам подходит, так как оно также удовлетворяет

Тогда система равносильна

Следовательно, нам подходит.

Тогда система равносильна

Заметим, что следовательно, квадратное уравнение имеет два корня. Значит, требуется, чтобы один корень был а второй

Ветви параболы направлены вверх, она пересекает ось абсцисс в двух точках. Значит, число должно находиться между корнями или совпадать с большим корнем:

Это задается следующими условиями:

Тогда система равносильна

Следовательно, нам не подходит.

Тогда система равносильна

Заметим, что следовательно, квадратное уравнение имеет два корня. Значит, требуется, чтобы один корень был а второй

Ветви параболы направлены вниз, она пересекает ось абсцисс в двух точках. Значит, число должно находиться между корнями или совпадать с большим корнем:

Это задается следующими условиями:

Следовательно, ответ