Система определена при На этой области определения первое уравнение системы равносильно совокупности

В координатах получаем прямую и гиперболу в области

Второе уравнение задаёт прямую с угловым коэффициентом 2, у которой параметр отвечает за сдвиг вверх-вниз по вертикальной оси.

Точка пересечения прямых и при каждом фиксированном является решением системы. Поэтому ровно 2 решения система будет иметь, если прямая касается одной из веток гиперболы, либо пересекает правую ветку гиперболы один раз в области выше прямой а второй раз в области ниже прямой

Рассмотрим ключевые положения и посчитаем значения параметра в каждом из них.

Положения 1 и 2. Прямая касается гиперболы если уравнение

имеет ровно одно решение. Квадратное уравнение имеет ровно одно решение, если его дискриминант равен нулю:

Гипербола пересекается с прямой при

Получаем и

Найдем значения параметра, при которых прямая проходит через эти точки.

Положение 3:

При этом значении параметра решением системы является точка и вторая точка пересечения гиперболы с прямой которая находится в пределах области выше прямой Всего будет два решения системы, так что это значение параметра нам подходит.

Положение 4:

При этом значении параметра решением системы является точка а вторая точка пересечения гиперболы с прямой находится в пределах области ниже прямой Всего будет одно решение системы, так что это значение параметра нам не подходит.

Тогда окончательно имеем

Так как замена линейная, то система будет иметь 2 решения в том случае, если первое уравнение системы после подстановки будет иметь 2 решения:

Назовем корень числом Заметим, что при любом является решением полученной системы. Следовательно, эта система имеет два решения, если:

1) квадратное уравнение имеет одно решение то есть причем

2) квадратное уравнение имеет два решения, то есть причем меньший из этих двух корней а больший

Найдем Найдем абсциссу вершины параболы — это

Следовательно, для первого случая получаем

Второй случай выполняется, если парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, причем число лежит между этими точками либо совпадает с левой точкой:

Эта картинка задается следующими условиями:

Следовательно, ответ