Задача №56125: Задачи №18 из ЕГЭ прошлых лет — Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Тема 18. Задачи с параметром

18.01 Задачи №18 из ЕГЭ прошлых лет

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи с параметром

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#56125

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

√ ----- 2 2 5x− 7⋅ln(x − 6x +10− a )= 0

имеет ровно один корень на отрезке $[0;3].$

Источники: ЕГЭ 2023, досрочная волна

Показать ответ и решение

На отрезке $[0;3]$ уравнение равносильно

⌊({ 7 ⌊(|{√5x-−-7= 0 | x1 = 5 || 0 ≤ x≤ 3 |||(( a2 < (x− 3)2+ 1 |||(x2 − 6x +10 − a2 >0 ||{ x2 = 3+ a ||( 2 2 ⇔ ||( 7 |||{x − 6x +10 − a =1 ||( 5 ≤x ≤ 3 ⌈|(5x − 7 ≥ 0 ||{ x3 = 3− a 0 ≤ x≤ 3 ⌈( 7 ≤x ≤ 3 5

Назовем число хорошим, если оно удовлетворяет всем условиям, находящимся с ним в системе. В противном случае будем называть число плохим. В такой терминологии нам подходят ситуации, когда среди предполагаемых решений совокупности ровно одно хорошее. Определим, когда каждое из чисел $x1,$ $x2$ или $x3$ хорошее.

$x1$ — хорошее, если

-- -- 2 89 √89- √-89 a < 25 ⇔ − 5 < a< 5

$x2$ — хорошее, если

7 ≤ 3+ a≤ 3 ⇔ − 8≤ a ≤0 5 5

$x3$ — хорошее, если

7 8 5 ≤3 − a ≤ 3 ⇔ 0≤ a≤ 5

Теперь рассмотрим подходящие нам комбинации.

$x1$ — хорошее, $x2,$ $x3$ — плохое:

( √-- √ -- |||− -89-< a< --89 ||||⌊ 5 5 ||||{ a< − 8 ( √-- ) ( √--) ⌈ 5 ⇔ a∈ − -89;− 8 ∪ 8;-89- ||||⌊ a> 0 5 5 5 5 |||| a< 0 |||(⌈ 8 a> 5

$x 2$ — хорошее, $x , 1$ $x 3$ — плохие:

( ⌊ √-- ||| a≤ − -89- |||| || √ -5 ||||| ⌈ --89 |{ a≥ 5 || − 8 ≤ a≤ 0 ⇔ a∈ ∅ |||| ⌊5 |||| ⌈a< 0 |||( a> 8 5

$x3$ — хорошее, $x1,$ $x2$ — плохое:

( ⌊ √-- |||| |a≤ − -89- |||| |⌈ √ -5 |||{ a≥ --89 ⌊ 58 ⇔ a∈ ∅ |||| ⌈a< − 5 ||||| a> 0 ||( 0≤ a≤ 8 5

$x1 = x2$ — хорошее, $x3$ — плохое:

( ||||7 = 3+ a ||||5 8 |{− 5 ≤ a ≤ 0 8 ||⌊ ⇔ a= − 5 |||||⌈a < 0 ||( a > 8 5

$x1 = x3$ — хорошее, $x2$ — плохое:

(|| 7= 3 − a |||| 5⌊ |{ a< − 8 8 || ⌈ 5 ⇔ a= 5 ||||| a> 0 ( 0≤ a≤ 8 5

$x2 = x3$ — хорошее, $x1$ — плохое:

(|3 + a= 3− a |||||⌊ √89- ||{| a≤ −--5- ||⌈ √ -- ⇔ a∈ ∅ |||| a≥ --89- |||(− 8 ≤a5≤ 0 5

Тогда исходное уравнение имеет ровно один корень на указанном отрезке при

( √ -- ] [ √ --) a ∈ −--89;− 8 ∪ 8;--89 5 5 5 5

Ответ:

$( √ -- ] [ √ --) a ∈ −--89;− 8 ∪ 8;--89 5 5 5 5$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет	3

С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения	2
ИЛИ
в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений

В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений	1
ИЛИ
в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Специальные программы

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное обучениев Школково

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное обучениев Школково

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Бесплатное обучение
в Школково

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Бесплатное обучение
в Школково

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ